高中數(shù)學(xué)不等式證明典型例題(精選.)

1、word.不等式證明典型例題例 1 If0<x< 1» 證明|log“(lx)| >|loga(l + x)| ( a >0 且W1).分析1用作差法來證明.需分為和0<<1兩種情況，去掉絕對值符號(hào)，然后比較法證明.解法I (1)當(dāng)時(shí)，因?yàn)?0vl-xvl+ x> 1,所以 |loga(l-A-)|-|logJl + x)| =-logn(l-x)-logfl(l + x) =-logfl(l-x2)>0.(2)當(dāng)Ovavl時(shí)，因?yàn)?Ovl-xvl,l+x>l所以 |loga(l-X)|T】Og(l+X)| =logn(l-X)+

2、 logfl(l+X)=logfl(l-X2)>0.綜合(1) (2)知|loga(lr)|>pog(l + M.分析2直接作差，然后用對數(shù)的性質(zhì)來去絕對值符號(hào).解法2作差比較法.因?yàn)?|loga(l_X)|Tlog(l+X)|詈2=出忸1一刈一回1+刈=出一.一此一十刈二溫網(wǎng)一號(hào)。所以 |k)ga(1 -刈 > |loga(l 4-X)|.例2設(shè)求證：/廬證明:察=加咻嚴(yán)Va>b>0, ：,->,a-b>0.：. (-)a-b > 1.bbahba又.%“ >0, ：.aabb >abba.例3對于任意實(shí)數(shù)a、b,求證人出之(匕2)

3、4 (當(dāng)且僅當(dāng)。=。時(shí)取等號(hào)) 22證明： a2 +b2 > 2ab (當(dāng)且僅當(dāng)/=時(shí)取等號(hào))兩邊同加(/ +/ ) ： 2(a4+h4)> (/ +/?2 )2 ,即:a4+b4 y a2+b2 2八一*/(1)例 6 若。>0,>0,且 2c>a+，求證：c yjc2 -ab <a <c + Jc2 -ab.證明：為要證 r-Jc。- ab < a <c + y/c2 - ab.只需證Jdab<a-c< y/c2 -ab , 即證|t/-c|< jc2 -ab ,也就是(。一。)？ <一。，即證/-2“c v-a

4、，即證2ac > 4(“ + Z?),a > 0,2c > a + b,b>0 ,/. c > -_- > -Jab ，故c> ab 即有/ -ab > 0 , 2又由2c > a+b可得2cic> a(a +。)成立，/.所求不等式c - ab <a <c + >/c2 - ab 成立.例 7 若“3+r=2,求證 a+042.證法一：假設(shè) a + >2,則/+/ =(。+ )(。2一4 + 2)>2(。2-4 + 2), 而/ +b3 = 2 ,故(a' ab + h1)< ./. +

5、ab>a +b2 >2ab .從而 a<l, /. a2 +b2 < + ab<2.(a + b)2 =(r +b2 + 2ab <2 + lab <4 . *. a + b<2 .這與假設(shè)矛盾，故a + A«2.證法二：假設(shè)a + >2,則。>2，故 2 = “3+/0 >Q 一萬)3+3,即 2>8-12/? + 6，即(-1)2<0,這不可能.從而。+。42.證法三：假設(shè)二+ b>2, WlJ (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) > 8 .由 a'+/=

6、2,得3a"a + A)>6,故a(a + Z>)>2.又 a，+ /=(a + b)(a - ab + 3) = 2 ,:.ab(a + b)> (a + b)(a2 - ab + b2)./. a2 - ab + b1 <ab ,即(«-£>)2 <0 .這不可能，故a + <2.例8設(shè)x、y為正數(shù)，求證yjx2 + y2 >壯+.分析：用綜合法證明比較困難，可試用分析法.證明：要證 J/ + y2 >y/+y3 ,只需證(小+/)3>(/+),3)2,即證 f +3/),2 +3"2

7、y4 +y6 >46 +2fy3 +),6,化簡得3x4y2 + 3x2y4 >y2(3x2 - 2xy + 3y") > 0 . = 4y2 -4x3x3y2 <0, A 3x2 -2 + 3y2 >0./. x2y2(3x2 - 2at+ 3y2)>0.工原不等式成立.例 9 已知 lK-+y2K2,求證l4%2x），+y2«3.2證明：從條件看，可用三角代換，但需要引入半徑參數(shù)九 Vl<x2+y2<2,可設(shè)工=，-05。，y = rsin 6 ,其中 1S r W, 0< 0 < 2k .，x1 -xy+y2

8、 =r2 -r2 sin6cosG = r2(1 - - sin20)2由，Kl-，sin2eK2，故，/ <r2(l- -sin26)<-r2.22222241而上/-r2 <3,故 上«*2一葉 2<3.2222例io設(shè)是正整數(shù)，求證?$_+1二+<i.2 /i + l n + 2 2n分析：要求一個(gè)項(xiàng)分式一匚+不+的范圍，它的和又求不出來，可以采用“化整為零” 的方法，觀察每一項(xiàng)的范圍，再求整體的范圍.證明：由2N + A>（A = 1,2,），W2/1 n + k n當(dāng)=1 時(shí)，-L< <1：In n + i n當(dāng)女=2 時(shí)，&

9、lt;!<1In n + 2 n當(dāng)&=時(shí)，<L<1. 2/7 n + n n.1ft11nt22nn + n + 22nn2-i a.f 八(a - b) ci + h i (a -廠例 11 已知求uE： <-y/ab <8428b證明：欲證"上一疝<ii, 8a 28b只須證""二< a + / 一 2疝仁“二.4a4bnnm、“4 - /rr a - b 口. Ja+yZ? Ja+J即要證<&一揚(yáng)即要證一<1<-J, 2yja2yh2yla2"即要證& t?'

10、;% <2<弧.即要證1 +巫<2<g + l ,即已<1口.47i 4b反 斑 V a V b即要證(*) a b9：a>b>0, ：. (*)顯然成立，故135<絲空&128b例12 如果 x, y, zeR,求證：x8 + / + z8 > x2y3z3 + y2z3A：3 + z2x3y3 .證明：: X8 + y8 + / =(丁尸 + ()4 尸 +(z4)2>x4/+yV+z4x4 = (x2y2)2+(y2z2)2 +(z2x2)2> x y- y-z. +,Lz z.廠 +廠廠 = (x)2z)2 +(

11、yz2x)2 +(zx2y)2>xy2z yz2x + yz2x-zx2y + zx2y- xy2z=x2y3z? + >,2z3a-3 + z'V . / + / + z«> x2/z3 + y2z V + z2x3y3 .例13己知0<4<l, O<Z?<1, O<C<1,求證：在(1一)4(1 一份c,(l-c)a三數(shù)中，不可能都大于1.4證明：假設(shè)(1 一 a)b,(lb)c, (1 c)。三數(shù)都大于 4即(1 一，(1-Z?)c>- . (l-c)a> . 444又 丁 0 v。v 1, 0 <

12、 /? < 1, 0 < c < 1,* y/(l-a)b > - , J(1 -I)c > , J(1 - c)n > 222 3-l)c + J(1 -c)a > 又&T育4上二F，灰匚歷匕口，尸礪三土色. 乙乙乙以上三式相加，即得：J(1 - a) . b + Ji1 b) c + yl( c)-a 4 弓 顯然與相矛盾，假設(shè)不成立，故命題獲證.例14已知“、b、c都是正數(shù)，求證：21色裂、1石)43；匕二一4次).證法一：要證彳等卜而431號(hào)上只需證4 + 一 2>ab <a + b + c - 3>Jabc ,即 一

13、 2， <c- 3labc ,移項(xiàng)，得c + 2yab > 3>labc .由 、b、c 為正數(shù)，c + 2ylab = c + y/ab + y/ab >3y/abc .原不等式成立.證法二："、b、。為正數(shù)，/. c + ylab + yab > ?Cyab - 4ab = 3labc.即 c + 2yab > 3labc ,故一2八區(qū) <c - 3abc ./. a + b- 2yab <a + b + c- 3fabc ，說明：題中給出的7, g +：一£,師，只因?yàn)椤?、。都是正?shù)，形式同算術(shù)平均 數(shù)與幾何平均數(shù)定理一

14、樣，不加分析就用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理來求證，問題就不好解決了.例 15 已知>0, /?>0 ,且0 = 1.求證：。,（右一工乂后 + L）<1 .Cl y/ay/b證明：令“usee?。，/? = tan20, KO<0< >2則,(G - 1)(北+ 4)= (sece 工).(lane +)a yja y/h sec-。 sec0tan©=cos2 6(cos0八、zsin6 cos。、一 cos6) (+)cos0 sin 62n snre 1.八= cos 0= sm Gcos0 sin 0 cos 0VO<0< ,

15、.,.0<sme<l,即 0v,(6-二)(赤+ ：)vl 成立.例16已知;r是不等于1的正數(shù)，是正整數(shù)，求證（1 +/乂1 +幻”>22f.證明：x是不等于1的正數(shù), /. +X> 2yfx > 0 ,A (1 + xf >2/j7F.又1 + x" > 2">0.將式，兩邊分別相乘得(1 + / )(1 + A-)w > 2". 2” .而，(1 + X” )(1 + W > 2"L / .word.例 17 已知，x, y, z wRj 且x + y + z = l,求證6 +J7 +證

16、明：要證6+行+兵工的，只需證x+y + z + 2（/E +J五+ J貢）43 ,只需證毒、石3 +/？工1.；X, y, zwR-,/. x + y > 2y , x + z> 2yxz , y + z> 2yyz , ，2（x + y + z）> 2（/ + 4 + yfyz） >，+ 4xz + yfyz < 1 成立.，yx + J7 + Vz <V3 .例18求證1 + 4 +二+. +<2 2- 3-irFB 11 1111/立E 明 = 一 一 <=（ 之 2）,%（九一1）一 1-1 11 ” “ a n 1 n c 1

17、。22 32 n2 U 2）12 3）（一1 n） n例19在AA8C中，角A、B> C的對邊分別為a, b, c,若A + CK28,求證(J+cJwZZ/.分析：因?yàn)樯婕暗饺切蔚倪吔顷P(guān)系，故可用正弦定理或余弦定理進(jìn)行邊角的轉(zhuǎn)化.證明： A + C = 7i-3W23, A B>-9 cosB<-. 32由余弦定理得=a2 +c2 - 2accos B>cr +c2 -ac/. a2 +c2 <b2 + ac ,，a4 +c4 =(a2 +c2)2 - 2a1 c2= (a2 +c2 + y/2ac)(a2 +c2 - 2ac)<b2 +(V2+ )ac

18、 . b2 -(72 - )ac=b4 + 2ac - b2 -a2c2= -(ac-b)2 +21/ < 2b4一元二次不等式：【規(guī)律方法】(D不等式a/+Ar+cO的解集是全體實(shí)(2不等式ax'+ 工+c<0的解染是全體實(shí)數(shù)(或恒成數(shù)(或恒成立)的條件是當(dāng)0=0時(shí),6=0,c>0;土附條件是當(dāng)a=°時(shí)，b=0.c<0:當(dāng)a#0時(shí).4°.當(dāng)aK。時(shí)，：類似地還有/(力&a恒成立Of( < aif(恒成立Q f( x),.ui.2a一元一次不等式的解法：(依據(jù)、步驟、注意的問題，利用數(shù)軸表示)X2 + (3-)X +< 0

19、例1、已知關(guān)于入的不等式在（-2, 0）上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.例2.關(guān)于x的不等式y(tǒng)=og2（-ax2+ax + l）對所有實(shí)數(shù)x£R都成立，求，的取值范圍.例3、若關(guān)于x的不等式/ ar 。> 0的解集為（s,+s）,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是：若關(guān)于工的不等式-的解集不是空集，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是o （ -4.0） , （ oo,6 U 2,-K>o）幾個(gè)重要不等式（1）若awR.則 lalNO./no（2）若0、+b2 >2abia2 +b >2ab2ab）（當(dāng)僅.當(dāng) a=b 時(shí)取等號(hào)）（3）如果力都是正數(shù)，那么石竽.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）一正、二定、

20、三相等.若公b、c".賬羅際（當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）（5）若岫>。,則曙2 （當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)） a h">OH寸，Ix 1> “ u> a' >a' co x< -u 或 x>a；I xl<a c=> x' < u' o -a < x<a（7）若“、beRMa-bla+ba + b常用不等式（1）聲 > 且尹>yb> 產(chǎn)（根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用）； a + b（2）小 b、cgR, a2+b2+c2>ab + bc + ca （

21、當(dāng)且僅當(dāng)a= = c時(shí)，取等號(hào)）：（3）若m>0,則2<處絲（糖水的濃度問題）。如 a a + m如果正數(shù)、8滿足，心= 4 + 6 + 3,則，力的取值范圍是（答：9,+S）常用不等式的放縮法：二-L =yLy=_L _1（m2）n + 1 （"+ 1） n' n（n-） n- n jn + y/n = = Y = Y = y = y/fl y/ll I（7? > 1）利 JU 函數(shù)的單調(diào) 5+。 + 1 2yjn yjn + y/7-I性簡單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正：（2

22、）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線：并注意奇穿過偶彈回：（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)/（X）的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集。如（1）解不等式（工一1）（工+ 2）2之0。（答：xIxNl或x = 2）；（2）不等式（x-2）x/x2-2x3N0的解集是（答：*1x2 3或x = l）：（3）設(shè)函數(shù)/（x）、g（x）的定義域都是R，且/（x）N0的解集為"ll<xv2, g（x）N0的解集為0，則不等式/（x）g（x）>0的解集為 （答：（/）U2,y） ）： word.（4）要使?jié)M足關(guān)于工的不等式2/-9x + a<0 （解集非空）的每一

23、個(gè)x的值至少滿足不等式Q 1/4x + 3v0和/一6工+ 8。中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.（答：7,）8分式不等式的解法：先移項(xiàng)使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系 數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。 如（1）解不等式 <5一” <一（答：（t/）U（2,3）：廠一 2x-3（2）關(guān)于x的不等式依一>0的解集為（L+s）,則關(guān)于x的不等式竺吆>0的解集為 x 2 （答：（8,-1）U（2,+S）.絕對值不等式的解法：（1）分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的井集）：如卜+ 1|-卜-2

24、|>"在xeH上有解，則”的取值范圍是（-s,3）利用絕對值的定義；岡 va（a >0）。一a < x <a , |x| >a（a >0） <=>x <-acx > a（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式Ixl+如一lb>3 （答： ）U（2,一）4（4）兩邊平方：如若不等式l3x + 2以2x + al對xwH恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為。（答：）3含參不等式的解法：求解通法是“定義域?yàn)榍疤?，函?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵.”注意解完之后 要寫上：“綜上，原不等式的解集是"。注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其

25、解集：但若按未 知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.22如（1）若loga-Vl,則。的取值范惘是 （答：或0<。<一）；（2）解不等式一二>x（"£R） ax-（答：。=0 時(shí)，x x<0） ： >0 時(shí)，xlx>L 或 xvO；。<0 時(shí)，x|L vx0或 xv。）aa提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示：（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于x的不等式at-8>0的解集為（-匕1）,則r 7不等式上二>0的解集為（答：（- 12）ax + b含絕對值不等式的

26、性質(zhì)：a、b同號(hào)或有0 U>la+bHal + WINIIal-gllTaVI：。、b異號(hào)或有0+之如設(shè)/（x） = %2 -x + 13 ,實(shí)數(shù)。滿足 lx-alvl,求證：l/（x）-/（a）l<2（lal+l）不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分word.離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法)1) .恒成立問題若不等式/(x) > A在區(qū)間。上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D ±/(j)n,n > A若不等式/(x)< 8在區(qū)間。上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間。上f(x

27、 <B如(1)設(shè)實(shí)數(shù)X,)，滿足/+()，1尸=1 ,當(dāng)x+y + cNO時(shí)，c的取值范圍是 (答：(2)不等式卜-4| +卜-3|>。對一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)"的取值范圍 (答：a<)；(3)若不等式1)對滿足|歸2的所有機(jī)都成立，則x的取值范圍 (答:V7-1 百+1(，)；(4)若不等式(一1)。<2 +(一1)川對于任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（答:(5)若不等式/一2a+ 2? + 1>0對04工1的所有實(shí)數(shù)不都成立，求加的取值范圍.(答:m >)22) .能成立問題若在區(qū)間。上存在實(shí)數(shù)x使不等式/(x)> A成立,則等

28、價(jià)于在區(qū)間。上/(1),心> A ：若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式/(X)< B成立,則等價(jià)于在區(qū)間。上的/(xL < 3 ,如已知不等式k-4| +k-3|<4在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)。的取值范圍(答：。>1) 兩個(gè)重要函數(shù)Jxl + U - ”>3函數(shù)y=x+：練習(xí)：4511、已若X>1,求2 + 3x + 的最小值.已知XV二，求函數(shù)y=4x-2+的最大值x-144x-51 92、知且一+ = 1,則x+y的最小值是.若x + 2y = l,則2'+4''的最小值是3、知a, b, c, d均為實(shí)數(shù)，有下列命題:

29、<1> 若 ab > 3 be-ad >0 9 PIO - - - > 0 ： <2> 若"Z?>0, - - - > 0 , 510 be ad > 0 a ba bword.c （1v3>若匕c a>0,則（曲>0其中正確命題是（）a b4 ,求函數(shù)的最小值.小）二1；%>-1） 人* A5、求證：l + y + -p-HFy<2X（l -V）2= -2x（1 X）（l X）< （） 3=二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題1 .二元一次不等式表示的平面區(qū)域：直線7: ax+by+c=O把直角坐標(biāo)平面分成了三個(gè)部分：（1）直線/上的點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)滿足ax+by+c=O（2）直線/一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)都滿足ax+by+c>0（3）