用不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列通項(xiàng)

1、用不動(dòng)點(diǎn)法求數(shù)列的通項(xiàng)定義：方程f(x) x的根稱為函數(shù)f(x)的不動(dòng)點(diǎn).利用遞推數(shù)列f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，可將某些遞推關(guān)系anf (an 1)所確定的數(shù)列化為等比數(shù)列或較易求通項(xiàng)的數(shù)列，這種方法稱為不動(dòng)點(diǎn)法定理1 ：若f (x) ax b(a 0,a 1), p是f (x)的不動(dòng)點(diǎn)，an滿足遞推關(guān)系anf(an 1),(n 1),則 anp a(an 1 p)證明：因?yàn)閜是f(x)的不動(dòng)點(diǎn)b p ap 由 an a an 1 b 得 an p a所以anp是公比為a的等比數(shù)列.、一 一 ax bte理 2：設(shè) f(x) (c 0,ad bc 0),cx d初值條件a1f(a1 )a(1)：右f

2、(x)有兩個(gè)相異白不動(dòng)點(diǎn) p, q,則 一1(2):若f (x)只有唯一不動(dòng)點(diǎn) p ,則 an p證 明 ： 由 f (x) x 得，即anp是公比為a的等比數(shù)列an 1 b p a(an 1 p)an滿足遞推關(guān)系anf (an 1), n 1,p. an 1papc、k (這里 k )q an 1qaqc1.2ck (這里k )an 1 pa dax bf(x) x , 所 以cx d2cx (d a)x b 0(1)因?yàn)閜,q是不動(dòng)點(diǎn)，所以2cp2cq(d(da)p b a)q ban panaan 1 b can 1 d aan 1 b(apc)anb pdpc(2)can 1更qc(a

3、 qc)an 1 b qda qcankOan 1 q因?yàn)閜是方程cx2(da)x b 。的唯一解,所以cp2所以b2pd cpapa d所以2canaan 1can 1(acp)an 1 b pd(a cp)an 1所以ancpcan 1an 12ca dan p設(shè)an滿足 a11,an1例2:數(shù)列an滿足下列關(guān)系:3:設(shè)函數(shù)f(x)2 axa cpananc(an 1ap)2-,na1 2a, anex fbx c /(af(un)確定著數(shù)列un,那么當(dāng)且僅當(dāng)Xk是f (x)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)2axkxk exkbxk cpd ba pc,所以qd bqcpd ba pcqd b1a qc(d

4、a)p2cp apcan 1 dd cp22a ana cpa pc an 1 pa qc an 1 q(a cp)(an 1 p)can 1cpa cpan 1 pan 1 p2ca dan的通項(xiàng)公式,a 0,求數(shù)列an的通項(xiàng)公式0,e 0)有兩個(gè)不同的不動(dòng)點(diǎn)x1，x2，且由b 0,e,un 1 x12a時(shí),上1un 1*2(unxi )2un*22即 c xk f (e a)xkbXk (k 1,2)Un 1XiUn 1X222.aun(bex)un(ea)x1bx1-2-丁；7；2aun(bex?)un(ea)x2bx22aunbun c x1 (eun f)2aunbun c X2(e

5、un f)2aun(b ex)un c x f2-aun(b ex?)un c x2 f于是,xix2方程組有唯一解b 0,e 2a2an2例3：已知數(shù)列an中，a1 2,an 1 ,n N，求數(shù)列an的通項(xiàng).2an其實(shí)不動(dòng)點(diǎn)法除了解決上面所考慮的求數(shù)列通項(xiàng)的幾種情形，還可以解決如下問(wèn)題42例4：已知a10, a11且an 1，求數(shù)列an的通項(xiàng).an6an 1"2 T-4an (an 1)解：作函數(shù)為f (x)42/x 6x 14x(x2 1)，解方程f (x)x得f (x)的不動(dòng)點(diǎn)為x11, x21,x3逐次迭代后相：an.3. 3 _/i,x4i .取p 1,q1,作如下代換：3

6、3n 1n144 1)3 1)4n 14n 122已知曲線Cn:x2 2nx y2(a1 1)4(a1 1)4 0(n 12K ).從點(diǎn)P( 1,0)向曲線Cn弓倒率為kn(kn 0)的切線ln,切點(diǎn)為R(xn,yn).(1)求數(shù)列4與丫。的通項(xiàng)公式；(2)證明： x1 x3 x5 L x2n 1j- a/2sin-n,1, 1 xnyn設(shè)p, q為實(shí)數(shù)， 是方程x2 px q 0的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列xn滿足x1p,2x2 p q , xn pxn 1 qxn 2 ( n 3,4,).(1)證明：p , q ； (2)求1 一數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；(3)右p 1, q 一，求xn的刖n項(xiàng)和Sn .4已知函數(shù)f(x) x2 x 1, 是方程f(x) 0的兩個(gè)根()，£儀)是£仁)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)4 1, an1 an -fIan1(n 1,2,L ). 1II II I f 1 / / f (an)的值;(1)求（2）證明：對(duì)任意的正整數(shù) n ,都有ana（3）記bn ln（n 1,2,L ）,求數(shù)列 bn的前n項(xiàng)和Sn an13 陜西文 21 .（本小題滿分 12分）已知數(shù)列an滿足，a1= 1 a22,an+ 2= an an 1 ,n N*.2令bn an 1 an,證明："n是等比數(shù)列；（由求an的通項(xiàng)公式。山東文20.（本小題滿分12分）等比數(shù)列 a