初三奧數(shù)知識(shí)點(diǎn)小結(jié)

1、初三奧數(shù)總結(jié)第一章 一元二次方程概述形如 ax2 bx c 0（a 0） 的方程稱為一元二次方程，使等式成立的實(shí)數(shù)稱 為此方程的實(shí)數(shù)根。1、含字母系數(shù)的一元二次方程： 解決含字母系數(shù)的一元二次方程的問題，經(jīng)常需要對(duì)該方程的根進(jìn)行分析、處理。 常用方法有： （1）利用解的定義，整體代入法，從而達(dá)到將高次方程降次的目的或其他；（ 2）從兩個(gè)方程的公共實(shí)根出發(fā)，先確定該公共實(shí)根的值，再求各系數(shù)；（ 3）解決整數(shù)根常用方法有：利用韋達(dá)定理，再拆分，然后驗(yàn)根；含字母系數(shù)的一元二次方程，?？?利用因式分解法求根，再雙重檢驗(yàn)（驗(yàn)，驗(yàn)整數(shù)根條件） ；利用縮小字母系數(shù)的范圍， 再驗(yàn)根進(jìn)行取舍。 （4）利用不等式

2、的性質(zhì)（如 x y 2 xy ）；（ 5）求出方程解，再消去未 知系數(shù)，求不定方程的解，再帶回求參數(shù)的方法； （ 6）利用韋達(dá)定理，再消參數(shù)法； （7）參 數(shù)交換法 （即把字母系數(shù)與未知數(shù)的地位互換時(shí)， 所得方程與原方程完全一樣， 從而將一個(gè) 較弱的條件得以加強(qiáng)，從而使問題的本質(zhì)浮出水面）等。2、根的判別式與韋達(dá)定理：概述一元二次方程 ax2 bx c 0（a 0） 有實(shí)數(shù)解的條件是b 2 4ac 0 ，設(shè) x1,x2 為此方程的兩個(gè)根，則根與系數(shù)之間存在如下關(guān)系：bx1 x2acx1x2a3、可化為一元二次方程的方程（組） 概述我們總是將方程的求解問題利用代數(shù)式變形轉(zhuǎn)化為一次方程或一元二次方

3、程 來處理， 這是化規(guī)思想在方程理論中的基本運(yùn)用。 實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)化的方法是多種多樣的， 換元 法是其中最常用的方法。具體到各個(gè)問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)方程的特點(diǎn)靈活處理。常見題型的常用處理辦法： （ 1）一般代數(shù)三次方程盡管有求根公式，但中學(xué)階段不會(huì) 出現(xiàn)需用到求根公式才能處理的三次方程，給出的三次方程，往往容易看出其中的一個(gè)根， 再由因式定理轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)一元二次方程。 （ 2）利用換元法達(dá)到降次的目的； （3）拆、添 項(xiàng)因式分解求解；（ 4）處理系數(shù)對(duì)稱的高次方程 ，常用 下題的 解法（如 解方 程2x43x316x23x22 1 10 。變形得到： 2（ x2 2 ） 3（x ） 16 0 ，進(jìn)而得

4、到：x2 x2 ( x1x)223(x1x)16 0 ，然后再換元求解即可） （5）參數(shù)交換法； （6）利用一xx元二次方程根的判別式，構(gòu)造一元 二次方 程解題 （如：已 知 x、 y 為有 理數(shù)， 且x5 y5 2x2y2。證明 1xy時(shí)一個(gè)有理數(shù)的平方。證明：若 x、y中有一個(gè)為 0，則 1xy 1時(shí)一個(gè)有理數(shù)的平方。 若 xy0，兩邊除以 x2y2，得：x（x）2 y（y）2 2。令 t（x）2， y x y由 x、 y為有理數(shù)，可知關(guān)于 t 的一元二次方程： xt2 2t y 0有有理根。而上述方程的 系數(shù)均為有理數(shù)，故 44xy4（1xy）是一個(gè)有理數(shù)的平方。所以， 1xy 是一個(gè)有

5、 理數(shù)的平方。 ）4、整系數(shù)一元二次方程： 一般地，若整系數(shù)一元二次方程有整數(shù)根，則該方程的根的判別式是一個(gè)完全平方數(shù)。這一性質(zhì)在處理一元二次方程的整數(shù)根問題時(shí)經(jīng)常被用到。常用方法有： （1）利用韋達(dá)定理拆分，再利用數(shù)論方法與技巧；（2）利用整數(shù)理論來處理整系數(shù)一元二次方程的整數(shù)根（如a，b 模 m 同余等）問題是不易考慮到的想法，解題中往往能出奇制勝； （ 3）利用判別式處理（即如利用 （2k 1）2 40 m2 【為完全平方 數(shù)】，再利用平方差展開和整系數(shù)進(jìn)而求解。 ）（4）利用函數(shù)圖像方法。5、勾股數(shù)與完全平方數(shù)：稱滿足不定方程 x2 y2 z2 的正整數(shù)數(shù)組（ x,y,z）為勾股數(shù)組（

6、國際上，一般稱為畢達(dá)哥拉斯數(shù)組） 。勾股數(shù)組有許多有趣的性質(zhì)，例如，若（x ， y， z）為勾股數(shù)組，則 x、 y、z 中有一個(gè)數(shù)為 3 的倍數(shù)；有一個(gè)數(shù)為 4 的倍數(shù)；也有一個(gè)數(shù)為 5 的倍數(shù)。完全平方數(shù)是一類重要的自然數(shù)，競(jìng)賽中許多問題要用到完全平方數(shù)的性質(zhì)。 說明：（1）如果兩個(gè)互質(zhì)的自然數(shù)之積是一個(gè)完全平方數(shù)，則這兩個(gè)自然數(shù)都是完全平方數(shù)。（ 2）如果正整數(shù) x 可表示為兩個(gè)正整數(shù)的平方和，則 2x 也可表示為兩個(gè)正整數(shù)的平22 2 2 2 2方和。（如 x u2v2 ， 2x2u2 2v2（u v）2（u v）2 。于是2x 可表示為兩個(gè)整數(shù)u+v 和 u v 的平方和。（3）相鄰兩

7、個(gè)完全平方數(shù)之間的自然數(shù)都不是完全平方數(shù)。 （4）在勾股三角形中，周長為面積的整數(shù)倍的三角形，可以用勾股數(shù)組來試探，這一 過程是發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)性質(zhì)的一般嘗試方法。第二章 函數(shù)1、函數(shù)及其圖像： 某個(gè)變化過程中有兩個(gè)變量，如果對(duì)于 x 在某個(gè)范圍 D 內(nèi)的每一個(gè)確定的值，按照某 個(gè)對(duì)應(yīng)法則 f， y 都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng)，那么y 就叫做 x 的函數(shù)，記作 y=f（x） ，x D（為方便，這里沿用集合的記號(hào)， x D，讀作 x 屬于 D，表示 x 在范圍 D 內(nèi)變換，或 x 是 集合 D 的元素）。X 的取值范圍 D 叫做函數(shù)的定義域， 和 x 的值相應(yīng)的 y 值叫做函數(shù)值， 函 數(shù)值的全體構(gòu)成的

8、集合叫做函數(shù)的值域。要求會(huì)用函數(shù)解方程組問題，判斷圖像題，求方程的解的題。2、一元二次不等式的解與一元二次方程實(shí)數(shù)根的分布：我們把形如 ax2 bx c 0 ， ax2 bx c 0 (a 0)的不等式叫做一元二次不等式。 要會(huì)二次函數(shù)的圖像來解一元二次不等式。22對(duì)于 ax bx c 0( a> 0)的兩根為 x1、 x2( x1< x2，記 f(x) ax bx c ，則 不等式 ax2 bx c 0(或 ax2 bx c 0 )的解就是 y=f(x)的圖像在 x 軸上方(或 x 軸下方) 所對(duì)應(yīng)的 x 的全體；若 a> 0，> 0，則 ax2 bx c 0 的解集

9、為 x x1 或 x x2 ；2ax bx c 0的解集為 x1 x x2 。2b若 a> 0， 0，則 ax2 bx c 0 的解集為 x 的全體實(shí)數(shù)；2aax2 bx c 0 的解集為空集；若 a> 0，< 0，則 ax2 bx c 0 的解集為全體實(shí)數(shù)；2ax2 bx c 0 的解集為空集；此類題要求會(huì)用二次函數(shù)圖像的方法解題。3、函數(shù)的最大值與最小值：設(shè)函數(shù) y=f(x) 在x0處的函數(shù)值是 f (x0) ，如果不等式 f(x) f ( x0 )對(duì)于定義域內(nèi)任意 x都成立，那么 f (x0)叫做函數(shù) y=f(x)的最大值。類似地，如果不等式 f (x) f (x0)對(duì)

10、于定 義域內(nèi)任意 x 都成立，那么 f (x0) 叫做函數(shù)的最小值。如果 f(x) c 是一個(gè)常數(shù)函數(shù)，那么 c既是 f(x)的最大值，又是 f(x)的最小值。如果自變量 x 的取值范圍為 p x q ，那么一次函數(shù) f(x)=kx+m 既有最大值又有最小 值。當(dāng) k>0時(shí)， f(x)隨著 x 的增大而增加，故 f(q)是它的最大值， f(p)是它的最小值；當(dāng) k<0時(shí)， f(x)隨著 x 的增大而減小，故 f(p)是它的最大值， f(q)是它的最小值；2對(duì)于二次函數(shù) f(x) ax2 bx c而言，經(jīng)過配方，得：b 2 4ac b2f (x) a( x) 22a4 ab 4ac

11、b 2當(dāng) a> 0 時(shí)，當(dāng) x=時(shí)， f(x) 取最小值，而 f(x) 無最大值；2a 4ab 4ac b當(dāng) a< 0時(shí)，當(dāng) x=時(shí)， f(x)取最大值，而 f(x)無最小值；2a 4a對(duì)于二次函數(shù) f(x) ax2 bx c ，如果自變量得取值范圍限制在 p x q ，那么函數(shù)2f(x) ax2 bx c (a0)既有最大值，又有最小值。當(dāng)a>0時(shí)，在滿足 p x q的x中，設(shè)使 x b 最小的 x為x0，則f (x0)即為最小 2a 0 0值；設(shè)使 x b 最大的 x 為 x1，則 f (x1) 為最大值。2a從圖像上看， f(x) ax2 bx c( p x q )的圖

12、像是一段拋物線弧， f(x)的最大值 或最小值只能在拋物線弧的頂點(diǎn)(若拋物線弧頂點(diǎn)橫坐標(biāo) b 滿足 p b q )或兩端 2a 2a 點(diǎn)取到。初中數(shù)學(xué)中的函數(shù)最大值與最小值問題，基本上都能轉(zhuǎn)化為求前面敘述的這些函數(shù)的 最大值與最小值。對(duì)于絕對(duì)值函數(shù)可以把函數(shù)轉(zhuǎn)化成分段函數(shù)。推廣到一般情況，即對(duì) n 個(gè)實(shí)數(shù) a1a2 L an ，求 f(x) x a1x a2L xan 的最小值。由 于 a1, a2 ,L , an 中 有 些允 許 相等 ，因 此 ， 我 們應(yīng) 該 會(huì) 求 函 數(shù)f (x)k1 xa1k2xa2Lknxan 的最小值，這里k1,k2,L,kn 都是自然數(shù)。第三章 解三角形1、

13、三角函數(shù)： 三角函數(shù)是建立在相似三角形的基礎(chǔ)上的。如圖，在 ABC 中， C=90 °，則 a b a b 正弦函數(shù) sin A ；余弦函數(shù) cos A；正切函數(shù) tan A ；余切函數(shù) cot A 。ccba利用銳角三角函數(shù)定義以及比例的性質(zhì)、勾股定理、不等關(guān)系可以得到以下結(jié)論：1）同角三角函數(shù)的三個(gè)關(guān)系式：sin 2 2tan cot1；tan；sin cos 1 ；cos2）互余角三角函數(shù)的關(guān)系式：sin(90 A) cosA； cos(90 A)sin A ；tan(90 A) cot A； cot(90A)tan A 。3）若 090 ，則 0 sinsin1， 1 cos

14、 cos0 ， 0 tantan 。1 sincos 2 （在斜邊給定的直角三角形中，等腰直角三角形的面積最大）對(duì)于鈍角 A ，通過進(jìn)一步學(xué)習(xí)可以得到：sin A sin(180 A) ； cosAcos(180 A) ；tan Atan(180 A) ；0。cot A cot(180 A) 。角度15°30°45°60°75°sin624122232624cos623212624224tan23331323cot233133231 ， tan0 tan90 不存在，1 ， tan180 角的三角函數(shù)值還可以證明同角三角函數(shù)的三個(gè)關(guān)系式對(duì)于鈍角

15、依然成立。 特別地，當(dāng) A=0 °時(shí)， sin0 0， cos0 當(dāng) A 90°時(shí)， sin90 1， cos90 0， 當(dāng) A180°時(shí)， sin180 0， cos180 要求會(huì)求 15°角的倍角的三角函數(shù)值和 180， cot0 不存在。 cot90 0， cot180 不存在。 構(gòu)造黃金三角形） 。sin2cos21 列方程求解。要注意最后檢驗(yàn)方程有無實(shí)數(shù)根。當(dāng)遇到三角函數(shù)與一元二次方程的綜合時(shí)，基本解法是用韋達(dá)定理和2、三角形中的邊角關(guān)系： 對(duì)于直角三角形（如圖， ABC 中， C 90°）邊角關(guān)系主要有：（1）角角關(guān)系：兩銳角互余（

16、 A+B=90 °） ;（2）邊邊關(guān)系：勾股定理（ a2 b2 c2 ）。（3）邊角關(guān)系： a c sin A c cosB b tanA b cotB ； b c sinB c cosA a tanB a cot A.90C理2BC2 BDB= ACD ，22AB,AC 2 AD AB,CD 2對(duì)于斜三角形，通過轉(zhuǎn)化成直角三角形可以得到一般三角形邊角關(guān)系的幾個(gè)重要公式。 如圖， ABC 中， CD 是 AB 邊的高。1)A2)A為銳角，為直角，CDCDb sinA ； b b sin90sinA；3)A為鈍角，CDb sin(180A)b sin A ；所以高 CD bsinA ，

17、S ABC CDABC 21 absin C2這是一般三角形用兩邊及夾角求面積的公式。AB1 bcsin A2同理可得： S ABC1 ca sin B21從這三個(gè)公式可得 12S理。bcsin Aca sin B，同時(shí)乘 abc，得： ab sin Cabc2S同樣，sin AsinBc 2R sinCR 為 ABC 外接圓的半徑） 。此等式稱為正弦定在上述ABC 中， a2 CD 2BD2.（1）A 為銳角， BD AB AD c bcosA 。（2） A 為直角， BD c （c b cos90 ） c bcosA ；（3）A 為鈍角， BD=AB+AD=c+bcos（180 °

18、; A） c-bcosA c bcosA 。所以BD=cbcosA .2 ab22 c2bc cos A ；b22 a2 c2ac cos B ；2 c2 ab22ab cosC 。這三個(gè)等式稱為余弦定理。3、面積問題：11 三角形面積關(guān)系有： S ABCahaabsinC ；ABC 2 a 2由正弦定理abc2Sabsin A sinBcsinC2R 知 b=asin Bsin A21asinB a sin B sinC所以 S ABC asinC2 sinB 2sin ADE 平S ABC p（p a）（p b）（p c） （其中 在選面積公式時(shí)，要適當(dāng)。如在 ABC 中， C=90

19、76;， AC=4 ，abcp ）。此公式稱為海倫公式。BC=3 ，D、E 是 ABC 邊上的點(diǎn)，且直線分 ABC 的面積，求線段 DE 的最短長度。 （DE2，AD=AE= 10 ）等周三角形中，以正三角形的面積最大，此為三角形的“等周定理”4、與三角形有關(guān)的整數(shù)問題：定理：滿足方程 x2 y2 z 2的一切基本勾股數(shù)組 x， y，z（y 為偶數(shù)），都可表示成：2 2 2 2x p q ，y 2pq，z p q ，其中 p,q是滿足 p q 0 ，p，q一奇一偶且（ p,q） 1 的任意整數(shù)。整數(shù) x，y，z 是某個(gè)斜三角形的三邊長，且這個(gè)三角形的面積也是整數(shù)，那么數(shù)組x，13， 14，15

20、 的三角形的面積為 84）。y， z 稱為三斜數(shù)組，也稱為海倫數(shù)組。如（邊長第四章 圓1、圓的有關(guān)性質(zhì)：利用相似三角形，四點(diǎn)共圓等證明或求解。2、四點(diǎn)共圓問題： 四點(diǎn)共圓是平面幾何證題中一個(gè)十分有力的工具。四點(diǎn)共圓這類問題一般有兩種形式： 一是要證明某四點(diǎn)共圓（或以四點(diǎn)共圓為基礎(chǔ)證明若干點(diǎn)共圓） ；二是通過某四點(diǎn)共圓來得 到一些重要的結(jié)果，進(jìn)而解決問題，下面是與四點(diǎn)共圓有關(guān)的一些基本知識(shí)。（1）若干個(gè)點(diǎn)與某定點(diǎn)的距離相等，則這些點(diǎn)在同一圓周上。（2）在若干個(gè)點(diǎn)中有兩點(diǎn)，其他點(diǎn)對(duì)這兩點(diǎn)所成線段的視角均為直角，則這些點(diǎn)共圓。（3）若四點(diǎn)連成的四邊形對(duì)角互補(bǔ)或有一個(gè)外角等于它的內(nèi)對(duì)角，則這四點(diǎn)共圓。

21、（4）若點(diǎn) C、D 在線段 AB 的同側(cè)，且 ACB= ADB ，則 A、B、C、D 四點(diǎn)共圓。（5）若兩線段 AB 、CD相交于點(diǎn) E，且AE*EB CE*ED ，則 A、B、C、D四點(diǎn)共圓。（6）若相交直線 PA、PB 上各有一點(diǎn) C、D，且 PA*PC=PB*PD ，則 A 、B 、C、D 四點(diǎn)共圓。（7）蝴蝶定理：設(shè) O 為圓的弦 MN 的中點(diǎn)，過 O 作弦 AB 、CD，連 AD 、BC 分別交 MN 于 F、 E，如圖，則： EO=FO 。3、直線與圓、圓與圓位置關(guān)系： 直線與圓的位置關(guān)系依據(jù)直線與圓的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)，分為三類：（1）直線與圓相交。直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線稱為圓的

22、割線，圓心到直線的距離 小于圓的半徑，反之亦然。（2）直線與圓相切。直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)直線稱為圓的切線，圓心到直線的距 離等于圓的半徑，反之亦然。（3）直線與圓相離。直線與圓沒有公共點(diǎn)。圓心到直線的距離大于圓半徑，反之亦然。 兩圓的位置關(guān)系可以依據(jù)兩圓的半徑及圓心距來分類，也可以依據(jù)公切線的條數(shù)來分 類。設(shè)兩圓的半徑分別為 R,r ，圓心距為 d。1）兩圓外離2）兩圓外切d R r ；dR r ；3）兩圓相交Rr d R r 。（ R r ）4）兩圓內(nèi)切dR r 。（ R r ）5）兩圓內(nèi)含dR r 。（R r ）4、三角形中重要的點(diǎn)和線：（1）重心：三角形的三條中線的交點(diǎn)，叫做三角

23、形的重心； 三角形的重心到一邊中點(diǎn)的距離等于這邊上的中線長的三分之一。（2）外心： 三角形三邊的中垂線的交點(diǎn)， 叫做三角形的外心， 也就是三角形的外接圓圓心； 銳角三角形的外心，在三角形內(nèi)；直角三角形的外心，是斜邊的中點(diǎn)；鈍角三角形的外心， 在三角形外。（3）垂心：三角形的三條高線的交點(diǎn)，叫做三角形的垂心。 銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)； 直角三角形的垂心，就是直角頂點(diǎn)；鈍角三角形的垂心，在 三角形外。4）內(nèi)心：三角形的三條（內(nèi)）角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心，也就是三角形的內(nèi)切圓的圓心。如圖，設(shè) ABC 的內(nèi)心為 I，則有：AE=AF=p a,BD=BF=p b，CD=CE=p c。1其中

24、p （a b c） 是半圓長。2 另我們常常用垂心來證明兩條直線互相垂直。在 證明多點(diǎn)（大于 4 個(gè)點(diǎn)）共圓時(shí)，我們常常先作其中三個(gè) 點(diǎn)的一個(gè)外接圓，然后證明其余的點(diǎn)在這個(gè)圓上。 西姆松定理：自三角形的外接圓上的一點(diǎn)，引各邊的垂 線，則三個(gè)垂足共線。如圖： 直線 EF稱為西姆松線。只要證明 BDE= CDF。歐拉線：三角形的外心 O ，重心 G，垂心 H 三點(diǎn)共 線。歐拉定理： 已知 ABC 的外接圓半徑為 R，內(nèi)切圓 半徑為 r，外心為 O，內(nèi)心為 I，則： OIR2 2Rr .第五章 專題選講1、四種命題及其關(guān)系： 用來判斷某一件事情的語句稱為命題。命題可分為真命題和假命題。正確的命題稱為

25、 真命題；錯(cuò)誤的命題稱為假命題。一般來說，一個(gè)命題包含“前提”和“結(jié)論”兩部分。若把原命題的前提與結(jié)論互換，就構(gòu)成它的逆命題； 若把原命題的前提與結(jié)論分別換成它們的否定， 就構(gòu)成它的否命題；否命題、逆否命命題的否命題，或者是否命題的逆命題。就是逆否命題，原命題、逆命題、 題這四種命題及其關(guān)系如圖所示：逆命題互否原命題逆否命題互為逆否的兩個(gè)命否命題 原命題和它的逆否命題都是真命題；逆命題同否命題都是假命題。題必同真或同假。 利用這亦規(guī)律我們可以用來解題。 例如， 有時(shí)證明某一命題是真或假都不 太容易，我們可以只證明它的逆否命題是真或假即可。又如， 反證法，其思想其實(shí)也是利用 了原命題與它的逆否命題等價(jià)規(guī)律。2、待定系數(shù)法： 待定系數(shù)法是數(shù)學(xué)中的一種重要的解題方法。在求解某些數(shù)學(xué)命題時(shí)，能根據(jù)已知條 件，確定所求解的基本表達(dá)式， 從而設(shè)出若干各參數(shù)， 并根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為求解方程或方程組 問題。 這種思想方法一般稱為待定系數(shù)法。在中學(xué)階段中，待定系數(shù)法主要應(yīng)用在