初二數(shù)學(xué)與三角形有關(guān)的線段和角

1、與三角形有關(guān)的線段和角內(nèi)容基本要求略高要求較高要求三角形了解三角形的有關(guān)概念：了 解三角形的穩(wěn)定性；會(huì)正確 對(duì)三角形進(jìn)行分類：理解三 角形的內(nèi)角和、外角和及三 邊關(guān)系；會(huì)畫三角形的主要 線段：了解三角形的內(nèi)心、 外心、重心會(huì)用尺規(guī)法作給定條件的三角形；會(huì)運(yùn)用三角 形內(nèi)角和定理及推論:會(huì)按要求解三角形的邊、 角的計(jì)算問題：能根據(jù)實(shí)際問題合理使用三角 形的內(nèi)心、外心的知識(shí)解決問題；會(huì)證明三角 形的中位線定理，并會(huì)應(yīng)用三角形中位線性質(zhì) 解決有關(guān)問題閡視劇8模塊一、與三角形有關(guān)的邊1三角形的基本概念：三角形的定義：由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫做三角形.三角形具有穩(wěn)定性.三角

2、形的內(nèi)角：三角形的每?jī)蓷l邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角.在同一個(gè)三角形內(nèi)，大邊對(duì)大角.三角形的外角：三角形的任意一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做三角形的外角.（4）三角形的分類：'直角三角形:三角形中有一個(gè)角是直角三角形（按角分），銳角三角形:三角形中三個(gè)角都是銳角“二用形鈍角三角形:三角形中有一個(gè)角是鈍角不等邊三角形:三邊都不相等的三角形三角形（按邊分）J底邊和腰不相等的等腰三角形:有兩條邊相等的三角形等腰二力形等邊三角形（正三角形）:有三邊相等的三角形注意：每個(gè)三角形至少有兩個(gè)銳角，而至多有一個(gè)鈍角.三角形的三個(gè)內(nèi)角中，最大的一個(gè)內(nèi)角是銳角（直角或鈍角）時(shí)，該三角形即為銳角三角

3、形（直角三角形或鈍 角三角形）.2與三角形相關(guān)的邊三角形中的三種重要線段三角形的角平分線：三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線 段叫做三角形的角平分線.注：每個(gè)三角形都有三條角平分線且相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心，而且它一定在三角形內(nèi) 部.三角形的中線：在三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.注：每個(gè)三角形都有三條中線，且相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的中心，而且它一定在三角形內(nèi)部.三角形的高：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊畫垂線，頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高線.注：每個(gè)三角形都有三條高且三條高所在的直線相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)叫做三角形的

4、垂心.銳角三角形的高均在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)也在三角形的內(nèi)部：鈍角三角形的高線中有兩個(gè)垂足落在邊的延長(zhǎng)線上，這兩條高落在三角形的外部，直角三角形有兩條高分別與兩條直角邊重合.反之也成立.畫三角形的高時(shí)，只需要向?qū)吇驅(qū)叺难娱L(zhǎng)線作垂線，連接頂點(diǎn)與垂足的線段就是該邊的高.三角形三條邊的關(guān)系三角形三邊關(guān)系：三角形任何兩邊的和大于第三邊.三角形三邊關(guān)系定理的推論：三角形任何兩邊之差小于第三邊.即4、/八C三條線段可組成三角 形0- c|<4< + c =兩條較小的線段之和大于最大的線段.注意：在應(yīng)用三邊關(guān)系定理及推論時(shí)，可以簡(jiǎn)化為：當(dāng)三條線段中最長(zhǎng)的線段小于另兩條線段之和時(shí), 或當(dāng)三

5、條線段中最短的線段大于另兩條線段之差時(shí)，即可組成三角形.模塊二、與三角形有關(guān)的角三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180。.三角形的外角：三角形的外角與相鄰的內(nèi)角互為鄰補(bǔ)角，因?yàn)槊總€(gè)內(nèi)角均有兩個(gè)鄰補(bǔ)角，因此三角形共有 六個(gè)外角，其中有三個(gè)與另外三個(gè)相等.每個(gè)頂點(diǎn)處的兩個(gè)外角是相等的.三角形的外角和：每個(gè)頂點(diǎn)處取一個(gè)外角，再相加，叫三角形的外角和(并非6個(gè)外角之和).三角形的外角和等于360。.三角形內(nèi)角和定理的三個(gè)推論：推論1:直角三角形的兩個(gè)銳角互余.推論2:三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.推論3:三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.三角形內(nèi)角和18。的幾種證明方

6、法：添加平行線法：帕斯卡(法國(guó)數(shù)學(xué)家)折紙法:3更具動(dòng)手可行性的剪角法：(不嚴(yán)密)把三角形的三個(gè)內(nèi)角剪下來能拼成一個(gè)平角. 三角形外角和360。的證明法：三角形按最大角的大小來分類:銳角三角形:直角三角形:鈍角三角形:最大的內(nèi)角為銳角的三角形 最大的內(nèi)角為直角的三角形 最大的內(nèi)角為鈍角的三角形三角形的角與不等式：1若為銳角三角形，則 0。</4<90。，00<ZB<90°, 0°<ZC<90°：2.若 AA3C 為直角三角形，且 Z4 = 90。，則 0。<4<90°, 0°<ZC<9

7、0°,ZA = Z£? + ZC = 90°, ZB = ZA-ZC, ZC = ZA-Z£?.3若 A43C 為鈍角三角形，且 Z4>90。，5!'J 00<ZB<90° , 0°<ZC<90°, 0°<Zfi + ZC<90° .模塊三、多邊形及其內(nèi)角和1基本概念(1)多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.(2)多邊形的邊：組成多邊形的各條線段叫做多邊形的邊.(3)多邊形的頂點(diǎn)：每相鄰兩邊的公共端點(diǎn)叫做多邊形的頂點(diǎn).(4)

8、多邊形的對(duì)角線：在多邊形中，連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線.(5)多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角.(6)多邊形的外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做多邊形的外角.(7)正多邊形：各個(gè)角相等，且各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.(8)凸多邊形：如果多邊形的任何一邊所在直線都使余下的邊都在這條直線的同一側(cè)的多邊形.2基本性質(zhì)穩(wěn)定性.(2)內(nèi)角和與外角和定理.如下圖，邊形的內(nèi)角和為(-2)、180。(，3),多邊形的外角和都是360。.分割成(n2)個(gè)三角形求內(nèi)角和n個(gè)平角內(nèi)角和(3) 邊形的對(duì)角線：一個(gè)頂點(diǎn)有(-3)條對(duì)角線，共有(- 3)“條對(duì)角

9、線. 2(4)不特別強(qiáng)調(diào)多邊形都指凸多邊形，凸多邊形的每個(gè)內(nèi)角都小于180。.板塊一、與三角形有關(guān)的線段【例1】若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6cm, 9cm,則其第三邊的長(zhǎng)可能為()A. 2cmB. 3cmC. 7cm D. 16cm【答案】c【例2】現(xiàn)有長(zhǎng)度分別為2cm、3cm、4cm、5cm的線段，從中任取三條，能組成三角形的個(gè)數(shù)是.【解析】2cm、3cm、4cm 3cm、4cm、5cm2cm、4cm、5cm【答案】3【例3】一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是偶數(shù)，其中的兩條邊分別是4和1997,則滿足上述條件的三角形的個(gè)數(shù)【解析】設(shè)第三邊為 x,周長(zhǎng)為/.則 1993vxv2001, 1993 + 4+199

10、7 </<2001 + 4+1997 , 3994</<4002【答案】3【例4】用9根同樣長(zhǎng)的火柴棒在桌面上擺一個(gè)三角形(不允許火柴折斷，并且全部用完)，能擺出不同 形狀的三角形的個(gè)數(shù)是.【解析】2, 3, 43, 3, 34, 4, 1【答案】3【例5】在等腰中，AB = AC, 一邊上的中線3。將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為15和12兩部分，則這 個(gè)等腰三角形的底邊長(zhǎng)為.【解析】注意，需要分類討論，同時(shí)也要考慮三角形的三邊關(guān)系【答案】7或11【例6】如圖，加油站A和商店4在馬路MN的同一側(cè)，A到MN的距離大于3到MN的距離AB = 7?，一個(gè)行人戶在馬路MN上行走.問：當(dāng)

11、0到A的距離與0到8的距離之差最大時(shí)，這個(gè)差 等于.【解析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，PA PB<AB,當(dāng)A"、P三點(diǎn)共線時(shí)，取得最大值24-心=4?【答案】1m【例7】三角形三邊的長(zhǎng)都是正整數(shù)，其中最長(zhǎng)邊的長(zhǎng)為10.這樣的三角形有.【解析】因?yàn)樽铋L(zhǎng)邊為10,故其他兩邊都不可能超過10.當(dāng)一邊為10,另一邊可以從1到10,即(1,10,10),(10, 10, 10)故這邊可以是為 10, 9, 8, 7,6【答案】40【例8】周長(zhǎng)為30,各邊長(zhǎng)為互不相等的整數(shù)，則最長(zhǎng)邊的取值范圍是.【解析】設(shè)vc ,a + = 30c ,又+ >c ,故cvl5,當(dāng)三邊相等時(shí)，最長(zhǎng)邊最短，

12、故10<c<15【答案】10<c<15【例9】將長(zhǎng)為154的木棒截成長(zhǎng)度為整數(shù)的三段，使他們構(gòu)成一個(gè)三角形的三邊，則不同的截法 有.【解析】設(shè), + = 15-c ,又a+>c ,故c<7.5,當(dāng)三邊相等時(shí)，最長(zhǎng)邊最短，故5Wc<75,當(dāng)最長(zhǎng)邊為7時(shí)，有4種，當(dāng)最長(zhǎng)邊為6時(shí)，有2種，當(dāng)最長(zhǎng)邊為5時(shí)，有1種.【答案】7【例10】不等邊的兩條高長(zhǎng)度分別為4和12,若第三條高的長(zhǎng)也是整數(shù)，則第三條高的長(zhǎng)為.【解析】設(shè)面積為S,這條高為人 則至一竺 <竺<笠+竺，故3v<6,又當(dāng)6 = 4時(shí)為等腰三角形，412 h 412故舍去,所以 =5【

13、答案】5【例11如圖，P是AA3C內(nèi)任意一點(diǎn)，求證：PB + PC<AB + AC；【說明】要求學(xué)生寫下其證明過程【答案】如圖，延長(zhǎng)外交AC于點(diǎn)(1)由三角形的三邊關(guān)系，得到、AB + AD > BP+PDPD + DC>PC.+得 +PB + PC<AB + AC.D【例12】已知，如圖，P,Q為三角形ABC內(nèi)兩點(diǎn),3,P,Q,C構(gòu)成凸四邊形，求證： AB + AC>BP + PQ + QC.10【說明】該題為上一題的拓展，要求學(xué)生寫下其證明過程.【答案】方法一：pd + dq>pq9 AB+AC>BD+CD （例2已證）, HAB + AC>

14、BP + （PD + DQ） + QC>BP + PQ + QC方法二：作直線P。，分別與A8,AC交于點(diǎn)M,NAM +AN> MP + PQ + QN 由三角形的三邊關(guān)系可得A4P+PB>BPNQ + NC>QC+得 AM+AV + A/P+P8 + NQ + NC>/WP+PQ + QN + 8P + QC :.AM +AN + PB + NC>PQ + BP + QC 即 AB + AC > BP+PQ + QC【例13如圖，已知ABC.（1）請(qǐng)你在8c邊上分別取兩點(diǎn)。，E（8C的中點(diǎn)除外），連接A。，AE,寫出使此圖中只存在 兩對(duì)面積相等的三角

15、形的相應(yīng)條件，并表示出而積相等的三角形：（2）請(qǐng)你根據(jù)使（1）成立的相應(yīng)條件，證明A8+AOAO+AE.A【說明】該題為08年中考題，要求學(xué)生寫下其證明過程【答案】（1）如圖1,相應(yīng)的條件就應(yīng)該是8D=CE初E, S a* = S. mF t-i /tv.（2）如圖2,法一：分別過點(diǎn)。、8作CA、E4的平行線，兩線相交于尸點(diǎn)，。尸于A8交于G點(diǎn)AAECFBD, BG+FG>FB, AG+OGAA。，兩式相加，故 AB+AOAO+AE.法二：（需要用到全等，可以給有能力的同學(xué)補(bǔ)充此法）取。石中點(diǎn)/，然后倍長(zhǎng)，連接G8、GD,故AFEgAGFO、/AFC四AFB（SAS） , AB + BG

16、>AD+DG （例 2 已證），所以 AB+AOAD+AE板塊二、三角形的角【例14】一副三角板，如圖所示疊放在一起，則圖中Na的度數(shù)為【答案】750【例15】如下圖，中，NA = 80。，剪去Z4后，得到四邊形5CED,則Nl + N2 =【答案】260°.【例16】在小鉆。中，高8。和CE所在直線相交于。點(diǎn)，若/XABC不是直角三角形，且N4 = 60°,則 ABOC =度.【解析】當(dāng)AABC是銳角三角形時(shí)，4OC = 120。當(dāng)/ABC是鈍角三角形時(shí)，ZBOC= 60°【答案】120?；?0?！纠?7】如圖，將紙片/XABC沿著。石折疊壓平，則NA與N

17、1和N2的關(guān)系為【解析】將A折登回去為A',則N1 = 2N3 ,N2 = 2N4,故N1+N2=2NA【答案】Z1+Z2=2Z4【例18如圖，Z1 = 27.5°, N2 = 95。，N3 = 38,5。，求N4的大小.【解析】V ZAZX7 = Z2 + Z3, ZAZX7 + Zl + Z4=180°, 二 Z2 + Z3 + Zl + Z4 = 180°, 二 95° + 38.5° + 27.5° + Z4 = 180°, 二 Z4 = 19°.【答案】19°【例19】如圖，P是A4BC

18、內(nèi)一點(diǎn)，求證：4BPC> NA【答案】圖中沒有三角形的外角，可適當(dāng)引輔助線構(gòu)造外角，再比較.延長(zhǎng)8P交AC于則有尸C>NP0C,且NP0C>NA,所以NBPC>NA.【例20在/ABC中,(1)如圖1, 3P、CP為Z4BC和Z4C8的角平分線，求NP與NA之間的關(guān)系？(2)如圖2, 3P、"為NABC和NACE的角平分線，求NP與NA之間的關(guān)系？(3)如圖3, BP、CP為NCBD和/BCE的角平分線,求NP與Z4之間的關(guān)系?【解析】這些是三角形角平分線的經(jīng)典題型，必須讓學(xué)生掌握這些證明過程【答案】如圖，可得NA + 2(x + y) = 180°

19、, ZP + (a +y) = 180° ,化簡(jiǎn)可得/尸=90。+ ；24如圖，可得2y = 2x+N4, y = x + ZP ,化間可得NP = ；NA如圖，2a- + 2v = 18O° + ZA, x+y + NP = 180° ,ZP = 90°-lzA【例21(1)如圖，求Z4、ZB、NC與NP的關(guān)系(2)如圖，若BP、CP為ZAB。、ZACO的角平分線，求Z4與NP和的關(guān)系A(chǔ)A【解析】(1)該圖為燕尾形，必須讓學(xué)生掌握這些證明過程，圖®可以用下圖幾種方法來證明，過程略444（2）根4居燕尾形，故NP = x + y + NA, Z

20、D = 2x + 2y + ZA,所以2NP=N4 + ND【答案】(1) ZP = ZA + Zfi+ZC (2) 2ZP=ZA+ZD【例22(1)若ZA = 40。，N8 = 30。，求NC+ND的度數(shù)(2)若BP、CP為/ABC、NACO的角平分線，NP與Z4和NO之間的關(guān)系【解析】對(duì)頂八字形，需妥掌握Z4 + NB = NC+，第二問便是這個(gè)結(jié)論的應(yīng)用【答案】(1) ZC + ZD = 70°. (2)如圖，x+ZA = y + NP, x+NP=y + NO ,化間可得 2ZP = Z4 + ZD【例23如圖，若點(diǎn)尸是Z4BC和NAC3的角平分線的交點(diǎn)，則/尸=90。+ 1

21、442如圖，若點(diǎn)P是Z4BC和外角NACE的角平分線的交點(diǎn)，則NP = 90°-NA如圖，若點(diǎn)P是外角NC8O和N5CE的角平分線的交點(diǎn)，則/尸=90。-一乙4 2上述說法中正確的個(gè)數(shù)是(A.0個(gè)B. 1個(gè)C.2個(gè)I【答案】C 【例24如圖，點(diǎn)尸是與NAC。的角平分線的交點(diǎn)，若NA = 600, ZD = 120%則N8PC =NP = 35。，則 NO =如圖，點(diǎn)戶是NA8Q與ZAC。的角平分線的交點(diǎn)，若NA = 40。,【答案】(l)NBPC = 9O042)N0 = 3()o【例25如右圖所示，在中，CD、應(yīng):是外角平分線，BD、CE是內(nèi)角平分線，BE、CE交于E,BD、CD交于D ,試探索N0與NE的關(guān)系：.【解析】ZD = 1ZA ,Z£ =，Z