高二選修45證明不等式的基本方法ppt課件

1、一、比較法一、比較法2233, 1abbabababa 求求證證且且都都是是實實數(shù)數(shù)已已知知例例)()()()(:32232233babbaaabbaba 證證明明)()()(2222babababbaa 2)(baba 0, 0, baba0)(2 baba又又0)()(0)(22332 abbabababa即即故故2233abbaba (1)作差比較法作差比較法., 2并并給給出出證證明明問問題題將將這這個個事事實實抽抽象象為為數(shù)數(shù)學學增增加加到到此此時時溶溶液液的的濃濃度度白白糖糖若若在在上上述述溶溶液液中中再再添添加加則則其其濃濃度度為為糖糖溶溶液液白白糖糖制制出出如如果果用用例例mb

2、mamkgbabkgakg bambmabamba 則則且且并并都都是是正正數(shù)數(shù)已已知知如如下下不不等等式式問問題題可可以以把把上上述述事事實實抽抽象象成成解解,:bambmabamba 則則且且并并都都是是正正數(shù)數(shù)已已知知如如下下不不等等式式問問題題可可以以把把上上述述事事實實抽抽象象成成解解,:下面給出證明下面給出證明)()(mbbabmbambma 0)(, 0)(, 0 mbbabmmbaabab都是正數(shù)都是正數(shù)又又bambmabambmambbabm 0 0)()(即即., 3等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當求求證證是是正正數(shù)數(shù)已已知知例例babababaabba baabbaa

3、bbababababa :證證明明.,1, 0, 1, 0),(等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當則則不不妨妨設(shè)設(shè)不不等等式式不不變變的的位位置置交交換換點點根根據(jù)據(jù)要要證證的的不不等等式式的的特特bababababababa .,等等號號成成立立時時當當且且僅僅當當bababaabba (2)作商比較法作商比較法3)(,:cbacbaabccbaRcba 則則若若求求證證變變式式引引申申aaaaa)1(log)1(log:, 2: 求求證證已已知知補補充充例例題題.2,123:題題第第題題第第課本課本課堂練習課堂練習Pbnamnbmanmnmba 試試證證明明且且都都是是正正實實數(shù)數(shù)若若補

4、補充充練練習習, 1,:補充練習補充練習:dcDdbcaCdbcaBdcdbcadbcabaadbcdcba. 22. . baA.) (,22,.1 中中最最大大的的是是則則且且都都是是正正數(shù)數(shù)已已知知D不不能能確確定定的的大大小小關(guān)關(guān)系系是是與與則則且且若若. 1 .1 . qA.1) (1, 1, 0. 2nmDqqqCqqqBqqqqqNnmqqnmnmnmnmnmnmnm A 不不能能確確定定的的大大小小關(guān)關(guān)系系為為與與則則中中和和等等差差數(shù)數(shù)列列在在等等比比數(shù)數(shù)列列D. baC, bB.a bA.a) (, 0, 0,. 35555 5555313311 baaabababannA

5、abDabCbaBbabbaabbaba2 . 2 . . A.a) (2 ,2 , 10. 42222 中中最最大大的的值值是是則則設(shè)設(shè)B_,42, 5. 5222滿滿足足的的條條件件為為則則實實數(shù)數(shù)若若設(shè)設(shè)baQPaaabQbaP 21 abab或或_,),(log),log(log21,2log, 10. 621212121的大小關(guān)系是的大小關(guān)系是則則若若MQPbaMbaQbaPba QPM二、綜合法與分析法二、綜合法與分析法(1)綜合法綜合法在不等式的證明中在不等式的證明中,我們經(jīng)常從知條件和不等式我們經(jīng)常從知條件和不等式的性質(zhì)、根本不等式等出發(fā)的性質(zhì)、根本不等式等出發(fā),經(jīng)過邏輯推理經(jīng)

6、過邏輯推理,推導推導出所要證明的結(jié)論出所要證明的結(jié)論.這種從知條件出發(fā)這種從知條件出發(fā),利用定義、利用定義、公理、定理、性質(zhì)等公理、定理、性質(zhì)等,經(jīng)過一系列的推理、論證經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立而得出命題成立,這種證明方法叫做綜合法這種證明方法叫做綜合法.又叫又叫順推證法或由因?qū)Ч樛谱C法或由因?qū)Ч?用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系)()(21結(jié)結(jié)論論必必要要條條件件逐逐步步推推演演不不等等式式成成立立的的已已知知BBBBAnabcbacacbcbacba6)()()(, 0, 1222222 求求證證且且不不全全相相等等已已知知例例abccbaabccb

7、2)(, 0,2 :2222 證證明明abcacbbacac2)(, 0,2 2222 abcbaccabba2)(, 0,2 2222 abcbacacbcbacba6)()()(,222222 把把它它們們相相加加得得取取等等號號少少有有一一個個不不所所以以上上述述三三個個式式子子中中至至不不全全相相等等由由于于nnaaaaa2)1()1)(1(1,aa,Ra,a, 221n21n21 求求證證且且已已知知例例.1,21 ,122)1()1)(1(,21 ,21,21, :21.21212122111時取等號時取等號所以原式在所以原式在取等號取等號時時得得由不等式的性質(zhì)由不等式的性質(zhì)同理同

8、理證明證明 niiinnnnnnnaaaaaaaaaaaaRaaaaaaaaaRa)0(2);0(2;2)4(22;4)(;2)3(;0)2(;0)1(:,2222222 ababbaababbaabbababaabbaabbaaa它它的的變變形形形形式式又又有有它它的的變變形形形形式式又又有有常常用用的的不不等等式式有有不不等等式式的的使使用用應應注注意意對對已已證證時時利利用用綜綜合合法法證證明明不不等等式式(2)分析法分析法從要證的結(jié)論出發(fā)從要證的結(jié)論出發(fā),逐漸尋求使它成立的充分條逐漸尋求使它成立的充分條件件,直至所需條件為知條件或一個明顯成立的現(xiàn)直至所需條件為知條件或一個明顯成立的現(xiàn)實

9、實(定義、公理或已證的定理、性質(zhì)等定義、公理或已證的定理、性質(zhì)等),從而得從而得出要證的命題成立出要證的命題成立,這種證明方法叫做分析法這種證明方法叫做分析法.這這是一種執(zhí)果索因的思索和證明方法是一種執(zhí)果索因的思索和證明方法.用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系知知成立的充分條件成立的充分條件論論已已步步尋求不等式步步尋求不等式結(jié)結(jié) ) ( 21ABBBBn用分析法證用分析法證“假設(shè)假設(shè)A那么那么B這個命題的方這個命題的方式是式是:為了證明命題為了證明命題B為真為真,只需證明命題只需證明命題B1為真為真,從而有從而有只需證明命題只需證明命題B2為真為真,從而有從而有 只需證

10、明命題只需證明命題A為真為真.而知而知A為真為真,故故B必真必真.6372 3 求求證證例例.6372,1814,1814,1814,18291429,)63()72(,6372,6372 :22成立成立所以所以成立成立只需證只需證只需證只需證展開得展開得只需證只需證所以要證所以要證都是正數(shù)都是正數(shù)和和證明證明 abccbaaccbbacba 222222, 0, 4求求證證已已知知例例yzxzyxcbaabcaccbba22222222222)(,)(: 可以考慮用可以考慮用右邊各項涉及三個字母右邊各項涉及三個字母平方之積平方之積左邊各項是兩個字母的左邊各項是兩個字母的觀察上式觀察上式要證的

11、不等式可化為要證的不等式可化為分析分析abccbaaccbbacba 222222, 0, 4求求證證已已知知例例abccbaaccbbacbacbacbacbaabcaccbbaabcacbbcaaccbbaabcbaccabbaacbacbbacacbcacbaabccb 222222222222222222222222222222222222222222, 01, 0, 0,)(222)(22)(, 0,22)(, 0,22)(, 0,2 :故故又又證明證明三、反證法與放縮法三、反證法與放縮法(1)反證法反證法先假設(shè)要證的命題不成立先假設(shè)要證的命題不成立,以此為出發(fā)點以此為出發(fā)點,結(jié)合知

12、條件結(jié)合知條件,運用公理運用公理,定義定義,定理定理,性質(zhì)等性質(zhì)等,進展正確的推理進展正確的推理,得到和得到和命題的條件命題的條件(或已證明的定理或已證明的定理,性質(zhì)性質(zhì),明顯成立的現(xiàn)實等明顯成立的現(xiàn)實等)矛盾的結(jié)論矛盾的結(jié)論,以闡明假設(shè)不正確以闡明假設(shè)不正確,從而證明原命題成立從而證明原命題成立,這種方法稱為反證法這種方法稱為反證法.對于那些直接證明比較困難的命對于那些直接證明比較困難的命題經(jīng)常用反證法證明題經(jīng)常用反證法證明. 21,1, 2, 0, 1中至少有一個小于中至少有一個小于試證試證且且已知已知例例xyyxyxyx 211.2,2)(22,21 ,21,0,21,21,21,1:中

13、中至至少少有有一一個個小小于于與與矛矛盾盾這這與與已已知知條條件件且且即即都都不不小小于于假假設(shè)設(shè)證證明明xyyxyxyxyxyxxyyxyxxyyxxyyx 0.c0,b0,a:0,abc0,cabcab0,cba, 2 求求證證為為實實數(shù)數(shù)已已知知例例cba., 0, 0, 0.0.0, 0)(, 0, 0, 00, 0)2(.0,0, 0, 0)1(.00, 0,:所所以以原原命命題題成成立立同同理理可可證證綜綜上上所所述述也也不不可可能能相相矛矛盾盾這這和和已已知知于于是是又又可可得得那那么么由由如如果果不不可可能能矛矛盾盾與與則則如如果果兩兩種種情情況況討討論論和和下下面面分分不不妨

14、妨先先設(shè)設(shè)正正數(shù)數(shù)即即其其中中至至少少有有一一個個不不是是不不全全是是正正數(shù)數(shù)假假設(shè)設(shè)證證明明 cbaacabcabbccbacabcabacbcbabcabcaaabcabcaaaacba反證法主要適用于以下兩種情形反證法主要適用于以下兩種情形(1)要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)絡(luò)不明顯要證的結(jié)論與條件之間的聯(lián)絡(luò)不明顯,直接由條件直接由條件推出結(jié)論的線索不夠明晰推出結(jié)論的線索不夠明晰;(2)假設(shè)從正面證明假設(shè)從正面證明,需求分成多種情形進展分類討論需求分成多種情形進展分類討論而從反面進展證明而從反面進展證明,只研討一種或很少的幾種情形只研討一種或很少的幾種情形.(2)放縮法放縮法證明不等式時證明不

15、等式時,經(jīng)過把不等式中的某些部分的值放大或經(jīng)過把不等式中的某些部分的值放大或減少減少,可以使不等式中有關(guān)項之間的大小關(guān)系更加明確可以使不等式中有關(guān)項之間的大小關(guān)系更加明確或使不等式中的項得到簡化而有利于代數(shù)變形或使不等式中的項得到簡化而有利于代數(shù)變形,從而到從而到達證明的目的達證明的目的,我們把這種方法稱為放縮法我們把這種方法稱為放縮法.通常放大或減少的方法是不獨一的通常放大或減少的方法是不獨一的,因此放縮法具有因此放縮法具有較在原靈敏性較在原靈敏性;另外另外,用放縮法證明不等式用放縮法證明不等式,關(guān)鍵是放、關(guān)鍵是放、縮適當縮適當,否那么就不能到達目的否那么就不能到達目的,因此放縮法是技巧性因

16、此放縮法是技巧性較強的一種證法較強的一種證法.21, 3 caddbdccacbbdbaaRdcba求求證證已已知知例例cadddcbadbdccdcbacacbbdcbabdbaadcbaadcba , 0, : 證明證明baa bab dcc dcd 21 . caddabccacbbdbaadcdcbabacadddbccacbbdbaadcbadcba即即得得把以上四個不等式相加把以上四個不等式相加.111, 4bbaabababa 求證求證是實數(shù)是實數(shù)已知已知例例.1111111111110 :bbaababbaababababababababa 證明證明補充例題補充例題:mccmb

17、bmaamcbaABC :,. 1求求證證為為正正數(shù)數(shù)且且的的三三邊邊長長是是已已知知mccmbbmaamcccfbafcbabafmbabmbaambbmaabfafxfmxmxmmxxxf )()(,)(mbaba )()(.),0()(),0,0(1)(:又又上上是是增增函函數(shù)數(shù)在在易易知知設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)證證明明)(23,. 2222222zyxxzxzzyzyyxyx：，zyx 求求證證不不全全為為零零已已知知實實數(shù)數(shù)22 )2(43)2(22222yxyxyxyyxyxyx： 證證明明2,22222xzxzxzzyzyzy 同同理理可可得得)(23)2()2()2(,222222zyxxzzyyxxzxzzyzyyxyx，zyx 所以三式相加得所以三式相加得式取不到等號