拉普拉斯變換公式總結(jié)

1、拉普拉斯變換、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的S域分析基本要求通過(guò)本章的學(xué)習(xí)，學(xué)生應(yīng)深刻理解拉普拉斯變換的定義、收斂域的概念：熟練掌握拉普拉斯變換的性質(zhì)、卷積定理的意義及它們的運(yùn)用。能根據(jù)時(shí)域電路模型畫(huà)出S域等效電路模型，并求其沖激響應(yīng)、零輸入響應(yīng)、零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)。能根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)的零、極 點(diǎn)分布情況分析、判斷系統(tǒng)的時(shí)域與頻域特性。理解全通網(wǎng)絡(luò)、最小相移網(wǎng)絡(luò)的概念以及 拉普拉斯變換與傅里葉變換的關(guān)系。會(huì)判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。知識(shí)要點(diǎn)1. 拉普拉斯變換的定義及定義域(1) 定義單邊拉普拉斯變換：正變換 f(t) F(s) 0f(t)esdt逆變換 F(s) f (t) 丄 J F(s)estds 2 j j d雙邊

2、拉普拉斯變換：正變換 Fb(s) f (t)e stdt逆變換f(t)jstF B（s）eds(2) 定義域ttst若 o時(shí)，pm f(t)eo則f(t)e 在o的全部范圍內(nèi)收斂，積分0 f(t)e dt存在，即f(t)的拉普拉斯變換存在。°就是f(t)的單邊拉普拉斯變換的收斂域。o與函數(shù)f (t)的性質(zhì)有關(guān)。2. 拉普拉斯變換的性質(zhì)(1) 線性性若fl(t)FdS),f2(t)F2(S), !,2 為常數(shù)時(shí)，則ifl(t)2f2(t)iFl(S)2F2(S)(2) 原函數(shù)微分若f (t) F (s)則埜 sF(s) f(0 )dt式中f(0 )是r階導(dǎo)數(shù)X©在0時(shí)刻的取值

3、。dtr(3) 原函數(shù)積分若f (t) F (s)，貝U f (t)dt式中 f(1)(0)0 f(t)dtss(4) 延時(shí)性若f (t) F (s)，貝U f (t t°)u(t t。) est0F(s)(5) s域平移若f (t) F(s)，貝U f (t)e at F(s a)(6) 尺度變換1 s若f F (s)，則f (at) -F(-) (a 0)a a(7) 初值定理 lim f(t) f(0 ) limsF(s)t os(8) 終值定理 lim f(t) lim sF(s)ts(9) 卷積定理若fi(t) Fi(s) ,f2(t) F2(s)，則有fl(t) f2(t

4、)Fi(s)F2(s)1 1 jfi(t)f2(t) 2 jFi(s) F2(s)=-j Fi(p)F2(s p)dp3. 拉普拉斯逆變換(1)部分分式展開(kāi)法首先應(yīng)用 海維賽展開(kāi)定理將F(s)展開(kāi)成部分分式，然后將各部分分式逐項(xiàng)進(jìn)行逆變換,最后疊加起來(lái)即得到原函數(shù)f (t)。(2)留數(shù)法留數(shù)法是將拉普拉斯逆變換的積分運(yùn)算轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)F(s)est在圍線中所有極點(diǎn)的留數(shù)1j1運(yùn)算，即 (1)F(s) F (s)estds ？ F(s)estdsF(s)est的留數(shù)2 j j2 j -c極點(diǎn)n若Pi為一階級(jí)點(diǎn)，則在極點(diǎn)s Pi處的留數(shù)ri (s p)F(s)estX2 s pii 1若Pi為k

5、階級(jí)點(diǎn)，則rik 11 r d口 (s (k 1)! dsPi)kF(s)ests Pi4. 系統(tǒng)函數(shù)(網(wǎng)絡(luò)函數(shù))H (s)(1)定義系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)的拉普拉斯變換與激勵(lì)的拉普拉斯變換之比稱(chēng)為系統(tǒng)函數(shù)，即H (s) 空廻沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s)構(gòu)成變換對(duì)，即H(s) h(t)系統(tǒng)的頻率響應(yīng) E(s)特性H(jw) H(s) s jw H(jw) ej (w)式中，H(jw)是幅頻響應(yīng)特性，(w)是相頻響應(yīng)特性。(2) 零極點(diǎn)分布圖H(s)腹 K(s Z1)(s z2)L (s也式中，是系數(shù)；，L zm為H(s)的零點(diǎn)； D(s) (s P1)(s P2)L (s Pn)P1，P2，L，

6、Pn為H(s)的極點(diǎn)。在s平面上，用“ d ”表示零點(diǎn)，“ ”表示極點(diǎn)。將H(s) 的全部零點(diǎn)和極點(diǎn)畫(huà)在s平面上得到的圖稱(chēng)為系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布圖。對(duì)于實(shí)系統(tǒng)函數(shù)而言，其零極點(diǎn)要么位于實(shí)軸上，要么關(guān)于實(shí)軸成鏡像對(duì)稱(chēng)分布。(3) 全通函數(shù)如果一個(gè)系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)位于左半平面，零點(diǎn)位于右半平面，而且零點(diǎn)與極點(diǎn)對(duì)于jw軸互為鏡像，那么這種系統(tǒng)函數(shù)稱(chēng)為全通函數(shù)，此系統(tǒng)則為全通系統(tǒng)或全通網(wǎng)絡(luò)。全通網(wǎng)絡(luò)函 數(shù)的幅頻特性是常數(shù)。(4) 最小相移函數(shù)如果系統(tǒng)函數(shù)的全部極點(diǎn)和零點(diǎn)均位于 s平面的左半平面或jw軸，則稱(chēng)這種函數(shù)為最小相移函數(shù)。具有這種網(wǎng)絡(luò)函數(shù)的系統(tǒng)為最小相移網(wǎng)絡(luò)(5) 系統(tǒng)函數(shù)H(s)的求解方法 由沖激

7、響應(yīng)h(t)求得，即H(s) h(t)。 對(duì)系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行零狀態(tài)條件下的拉普拉斯變換，然后由H(s) Rzs獲得。E(s) 根據(jù)s域電路模型，求得零狀態(tài)響應(yīng)的像函數(shù)與激勵(lì)的像函數(shù)之比，即為H(s) o5. 系統(tǒng)的穩(wěn)定性若系統(tǒng)對(duì)任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，則此系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。(1) 穩(wěn)定系統(tǒng)的時(shí)域判決條件h(t)dt M (充要條件)若系統(tǒng)是因果的，則式可改寫(xiě)為0 |h(t)dt M(2) 對(duì)于因果系統(tǒng)，其穩(wěn)定性的s域判決條件 若系統(tǒng)函數(shù)H(s)的全部極點(diǎn)落于s左半平面，則該系統(tǒng)穩(wěn)定； 若系統(tǒng)函數(shù)H (s)有極點(diǎn)落于s右半平面，或在虛軸上具有二階以上的極點(diǎn)，則該系統(tǒng)不穩(wěn)定； 若系

8、統(tǒng)函數(shù)H (s)沒(méi)有極點(diǎn)落于s右半平面，但在虛軸上有一階極點(diǎn)，則該系統(tǒng)臨界穩(wěn)定內(nèi)容摘要1拉氏變換的定義和收_.拉普拉斯斂域-1部分分式展開(kāi).單邊拉氏變換逆變換的求法三拉氏變換的基本性質(zhì)四. 用拉普拉斯變換法分析電路2系統(tǒng)函數(shù)的定義五. 系統(tǒng)函數(shù)-由零極點(diǎn)的決定系統(tǒng)的時(shí)域特性例題例題i求拉氏變換例題2:求拉氏變換，拉氏變換的性質(zhì)例題3:拉氏變換的微分性質(zhì)例題4:系統(tǒng)函數(shù)，求解系統(tǒng)的響應(yīng)例題5:用拉氏變換法分析電路例4-1求下列函數(shù)的拉氏變換ft tu t 1分析拉氏變換有單邊和雙邊拉氏變換 ，為了區(qū)別起見(jiàn)，本書(shū)以F s表示f t單邊拉氏變換，以FB s表示f t雙邊拉氏變換。若文字中未作說(shuō)明，則

9、指單邊拉氏變換。單邊拉氏變換只研究t 0的時(shí)間函數(shù)，因此,它和傅里葉變換之間有一些差異，例如在時(shí)移定理，微分定理和初 值定理等方面。本例只討論時(shí)移定理。請(qǐng)注意本例各函數(shù)間的差異和時(shí)移定理的正確應(yīng)用。解答例4-2求三角脈沖函數(shù)f(t)如圖4-2(a)所示的象函數(shù)本例用多種方法求解。t和傅里葉變換類(lèi)似，求拉氏變換的時(shí)，往往要借助變換和拉氏變換的性質(zhì),分析這比按拉氏變換的定義式積分簡(jiǎn)單，為比較起見(jiàn)， 解答方法一：按定義式求解方法二：利用線性疊加和時(shí)移性質(zhì)求解方法三：利用微分性質(zhì)求解方法四：利用卷積性質(zhì)求解方法一：按定義式求解方法二:利用線性疊加和時(shí)移性質(zhì)求解由于于是Fis2ss2 1 2e es1彳

10、s 21 e方法三：利用微分性質(zhì)求解分析信號(hào)的波形僅由直線組成，信號(hào)導(dǎo)數(shù)的象函數(shù)容易求得，或者信號(hào)經(jīng)過(guò)幾次微分后出 現(xiàn)原信號(hào)，這時(shí)利用微分性質(zhì)比較簡(jiǎn)單。將f t微分兩次，所得波形如圖4-2 (b)所示。顯然根據(jù)微分性質(zhì)由圖4-2( b)可以看出于是方法四：利用卷積性質(zhì)求解f t可看作是圖4-2(c )所示的矩形脈沖f1 t自身的卷積fi t于是，根據(jù)卷積性質(zhì)，所以F1 s1is4ises2圖 4-2( c)例4-3應(yīng)用微分性質(zhì)求圖4-3 (a)中tKU I的象函數(shù)下面說(shuō)明應(yīng)用微分性質(zhì)應(yīng)注意的>,可、3 -3牛t2解答說(shuō)明0fi t3 t(3)t ,f3t是的導(dǎo)數(shù)k f2 t 2 u t圖

11、43( a)20fl t, f2t , fa tj的波形。t ut10(10對(duì)于單邊拉氏變換,由于fitf2(°ut,故二者的象函數(shù)相同，即圖因而4-4 ( b)這是應(yīng)用微分性質(zhì)應(yīng)特別注意的問(wèn)題。由圖4-3 (b)知例4-4某線性時(shí)不變系統(tǒng)，在非零狀條件不變的情況下，三種不同的激勵(lì)信號(hào)作用于系統(tǒng) 當(dāng)輸入Xa t為圖中所示的矩形脈沖時(shí)，求此時(shí)系統(tǒng)的輸出。階躍響應(yīng)則 y31 yzi t gt 1 g t 32et et1ut 1 et3ut 3例4-5電路如圖4-5 (a)所示(1) 求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。(2) 求系統(tǒng)的起始狀態(tài)iL 0、VC 0 '使系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)等于沖激響應(yīng)。

12、(3) 求系統(tǒng)的起始狀態(tài)使系統(tǒng)對(duì)U t的激勵(lì)時(shí)的完解答(1) 求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)。系統(tǒng)沖激響應(yīng)h t與系統(tǒng)函數(shù)H s是一對(duì)拉氏變換的關(guān)系。對(duì) H s求逆變換可求得h t ，這種方法比在時(shí)域求解微分方程簡(jiǎn)便。利用s域模型圖4-5( b)可直寫(xiě)出圖4-5(a)電路的系統(tǒng)函數(shù)沖激響應(yīng)(2) 求系統(tǒng)的起始狀態(tài)為求得系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，應(yīng)寫(xiě)出系統(tǒng)的微分方程或給出帶有初值的s域模型。下面我們用s域模型求解。圖4-5(a)電路的s域模型如圖4-5(b)。e t1HiL 01FVc t4-5(a)由圖4-5(b)可以寫(xiě)出上式中第二項(xiàng)只和系統(tǒng)起始狀態(tài)有關(guān)， 因此該項(xiàng)是零輸入響應(yīng)的拉氏變換。 依題意的要求, 該項(xiàng)應(yīng)和

13、H s相等，從而得故系統(tǒng)的起始狀態(tài)說(shuō)明通過(guò)本例可以看出，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)可以使系統(tǒng)的完全響應(yīng)滿(mǎn)足某些特定要求。本質(zhì) 上，系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)完全由系統(tǒng)的起始狀態(tài)決定，對(duì)一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)而言，零輸入響應(yīng)是 暫態(tài)響應(yīng)中的一部分，因此，改變系統(tǒng)的起始狀態(tài)只能改變系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)，使暫態(tài)響應(yīng) 滿(mǎn)足某些特定要求，例如，本例要求暫態(tài)響應(yīng)為零。（3）求系統(tǒng)的起始狀態(tài)從而求得系統(tǒng)的起始狀態(tài)附錄A拉普拉斯變換及反變換1.表A-1拉氏變換的基本性質(zhì)1線性定理齊次性疊加性2微分定理一般形式初始條件為0時(shí)3積分定理一般形式初始條件為0時(shí)4延遲定理（或稱(chēng)t域平移定理）5衰減定理（或稱(chēng)s域平移定理）6終值定理7初值定理8卷積定理

14、2.表A-2常用函數(shù)的拉氏變換和z變換表序號(hào)拉氏變換時(shí)間函數(shù)e（t）Z變換E(z)E(s)11S1234t567891011121314153.用查表法進(jìn)行拉氏反變換用查表法進(jìn)行拉氏反變換的關(guān)鍵在于將變換式進(jìn)行部分分式展開(kāi)，然后逐項(xiàng)查表進(jìn)行反變換。設(shè)F(s)是s的有理真分式mm 1B(s)bmSbm iSF(s)nnrA(s)ansaniS式中系數(shù)a°,ai,.,an i,an ,b°,bi, bm i,bm都是實(shí)常數(shù)；m, n是正整數(shù)。按代數(shù)定理可將F(s) 展開(kāi)為部分分式。分以下兩種情況討論。A(s) 0無(wú)重根這時(shí)，F(xiàn)(s)可展開(kāi)為n個(gè)簡(jiǎn)單的部分分式之和的形式。F(s)GC2s s s S2CiSSiCn1S Sn i 1 sCis(F-1)式中，s1, s2 ,Sn是特征方程A(s) = 0 的根。Ci為待定常數(shù)，稱(chēng)為F(s)在S處的留數(shù)，可按下式計(jì)算：cilim (sS SjS)F(s)(F-2)C B(s)A(s)(F-3)式中，A(s)為A(s)對(duì)s的一階導(dǎo)數(shù)。根據(jù)拉氏變換的性質(zhì),F-1)可求得原函數(shù)f(t) L1 F(s)nstCei 1(F-4)A(s) 0有