以形助數(shù)以數(shù)輔形0001

1、摘 要：數(shù)形結(jié)合”既是數(shù)學(xué)學(xué)科的重要思想，又是數(shù)學(xué)研究的常用方法。教師在教學(xué)中經(jīng)常引導(dǎo) 學(xué)生創(chuàng)設(shè)數(shù)形結(jié)合”的情境，不僅可以溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系 ，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的 直觀描述有機地結(jié)合起來，從而在這種結(jié)合中尋找到解題的思想與方法 ，而且有利于開拓學(xué)生的解 題思路，發(fā)展學(xué)生的形象思維能力 。關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合”函數(shù)圖像 抽象以形助數(shù)” 以數(shù)輔形”恩格斯指出：純數(shù)學(xué)的對象是現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系?！皵?shù)”與 形”是數(shù)學(xué)的基本研究對象，它們之間存在著對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。我們要認識兩者的辯證關(guān)系，要認識到矛盾雙方的相互轉(zhuǎn)化。在解決數(shù)學(xué)問題時，將抽象的數(shù)學(xué)語言同直觀的圖形相結(jié)合，實現(xiàn)抽象的

2、概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化，這就是數(shù)形結(jié)合”。在高中數(shù)學(xué)中，數(shù)形結(jié)合”是一條重要的數(shù)學(xué)原則，主要體 現(xiàn)在平面解析幾何和立體幾何中。在解決集合問題、方程、不等式及函數(shù)問題時，如果能注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，尋找解題思路，就能使問題化難為易、化繁為簡，從而得到解決。華羅庚先生說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休?！痹跀?shù)形轉(zhuǎn)化結(jié)合的過程 中，必須遵循下述原則：轉(zhuǎn)化等價原則，數(shù)形互補原則，求解簡單原則。在教學(xué)滲透數(shù)形結(jié)合”時, 教師應(yīng)指導(dǎo)學(xué)生掌握以下幾點：1 .善于觀察圖形，以揭示圖形中蘊含的數(shù)量關(guān)系。2 .正確繪制圖形，以反映圖形中相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系。3 .切實把握 數(shù)”與 形

3、”的對應(yīng)關(guān)系，以圖識性，以性識圖。下面從幾個方面談一談數(shù)形結(jié)合”在解題中的應(yīng)用。一、數(shù)形結(jié)合”在解決集合問題中的應(yīng)用1 .利用文氏圖法解決抽象集合問題。一般用圓來表示集合，兩圓相交則表示兩集合有公共元素，兩圓相離則表示兩個集合沒有公共元素。利用文氏圖法能直觀地解答有關(guān)集合之間的關(guān)系的問題。如：例1 :開校運動會時，高一(五)班共有28名同學(xué)參加比賽，有15人參加游泳比賽，有8人 參加田徑比賽，有14人參加球類比賽，同時參加游泳和田徑比賽的有 3人，同時參加游泳和球類 比賽的有3人，沒有人同時參加三項比賽，問同時參加田徑和球類比賽的有多少人？只參加游泳一項比賽的有多少人？解：設(shè)a=參加游泳比賽的

4、學(xué)生 , b=參加田徑比賽的學(xué)生 , c=參加球類比賽的學(xué)生,同 時參加田徑和球類比賽的學(xué)生有x人，作出符合題意的文氏圖：由題意可知：card(a n b)=3 ,card(a A c)=3 , card(b A c)=x ,貝U 15+8+14-3-3-x=28,得 x=3。因此，同時參加田徑和球類比賽的有3人，只參加游泳一項比賽的有15-3-3=9 人。2 .利用數(shù)軸解決集合的有關(guān)運算和集合的關(guān)系問題。例2：若非空集合 a=x|2a+1 x3a -5 , b=x|3 x6o又; a?鬻b,如圖所示：可知2a+1 33a-5 22 ,1 a49 綜上所得：6 a0)與x軸的相關(guān)位置分為三種情

5、況，這可以由一元二次方程ax +bx+c=0 的判別式8=b -4ac的三種取值情況來確定。因此，在解不等式時一定要注意最高項系數(shù)是否為正，要分兩種情況討論。例3 :求不等式-x +2x-3 0的解集。分析：我們先聯(lián)想對應(yīng)的二次函數(shù)y=-x +2x-3 的圖像草圖，很明顯，無論x取任何值時都有y 0,即-x +2x-30的解集為空集，因而-x +2x-30f(1)0 或 k0。解：由以上分析可知，令f(x)=2kx -2x-3k-2。為使方程f(x)=0的兩個根一個小于 1,另一個大于1 ,只需使k0f(1) 0,解得k0或kv -4。一般的，關(guān)于根的分布問題均可引入函數(shù)，由函數(shù)圖像的特征構(gòu)造

6、解法，使問題得以巧妙解決通過以上幾道例題的分析求解，可知二次函數(shù)有豐富的內(nèi)涵和外延。作為最基本的募函數(shù)，可以以它為代表來研究函數(shù)的性質(zhì)，可以建立起函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系，可以編擬出層出不窮、靈活多變的數(shù)學(xué)問題，區(qū)分出學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識和思想方法解決數(shù)學(xué)問題的能力。3 .利用函數(shù)圖像解決方程的近似解或解的個數(shù)問題，即數(shù)形對照，相互滲透。例5 :解方程3 =2-x 。分析：由方程表達式我們可以聯(lián)想起函數(shù)y=3與y=2-x ，作出這兩個函數(shù)的圖像，這兩個函數(shù)圖像交點的橫坐標為方程的近似解，可以看出方程的近似解為x0.4。4 .利用函數(shù)的圖像解不等式，即由數(shù)想形，直觀顯現(xiàn)。例6:解不等式 x+1

7、。解：設(shè)y=,即y=2(x+ )(x - , y0),對應(yīng)的曲線是以a(-, 0)為頂點，開口向右的拋物線的上半支。而函數(shù)y=x+1的圖像是一直線。解方程可求出拋物線上半支與直線交點的橫坐標 為2,取拋物線位于直線上方的部分，故得原不等式的解集是x|-x0.3 log 0.3。四、利用方程的幾何意義轉(zhuǎn)化數(shù)形結(jié)合”例8:如果實數(shù)x、y滿足（x-2 ） +y =3,則的最大值為（）。解：設(shè)點a （x, y）在圓（x-2） +y =3 上，圓心為c（2 , 0）,半徑等于。如圖，則是點a 與原點連線的斜率。當oa與。c相切，且切點a落在第一象限時，k有最大值，即 有最大值。 因為 ca= , oc=2 ,所以 oa= =1 ,所以（）=tan / aoc= 。由此可知，數(shù)和形”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的兩個基本對象，對于一些問題，單純地從 數(shù)”的角度去分析探求需要分類討論，運算會較繁冗，因此應(yīng)當設(shè)法從 形”的角度去構(gòu)造直觀圖形來刻畫問題的條 件和結(jié)論，使錯綜復(fù)雜的關(guān)系變得清晰可辨，從而起到優(yōu)化解題途徑的目的。數(shù)形結(jié)合”是一個重要數(shù)學(xué)方法，是研究數(shù)學(xué)問題的一個基本方法，它包含 以形助數(shù)”和以數(shù)輔形”兩個方面。數(shù)“與形結(jié)合，相互滲透，把代數(shù)式的精確刻畫與幾何圖形的直觀描述相結(jié) 合，使代數(shù)問題、幾