第2章單因素方差分析

1、第 12 章 方差分析(Analysis of Varianc®方差分析是鑒別各因素效應(yīng)的一種有效統(tǒng)計(jì)方法，它是通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀察某一種或多種因素的變化對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果是否帶來(lái)顯著影響，從而選取最優(yōu)方案的一種統(tǒng)計(jì)方法。在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，影響一件事物的因素往往很多，每一個(gè)因素的改變都有可能影響產(chǎn)品產(chǎn)量和質(zhì)量特征。有的影響大些，有的影響小些。為了使生產(chǎn)過(guò)程穩(wěn)定，保證優(yōu)質(zhì)高產(chǎn)，就有必要找出對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量有顯著影響的那些因素及因素所處等級(jí)。方差分析就是處理這類問(wèn)題，從中找出最佳方案。方差分析開(kāi)始于本世紀(jì) 20年代。1923年英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家 R.A. Fisher首先提出這個(gè)概念， （ANOV A）。因當(dāng)

2、時(shí)他在 Rothamsted農(nóng)業(yè)實(shí)驗(yàn)場(chǎng)工作，所以首先把方差分析應(yīng)用于農(nóng)業(yè)實(shí) 驗(yàn)上，通過(guò)分析提高農(nóng)作物產(chǎn)量的主要因素。Fisher1926年在澳大利亞去世。現(xiàn)在方差分析方法已廣泛應(yīng)用于科學(xué)實(shí)驗(yàn)，醫(yī)學(xué)，化工，管理學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域，范圍廣闊。在方差分析中，把可控制的條件稱為 “因素”（factor），把因素變化的各個(gè)等級(jí)稱為“水(treatment)。平”或“處理”若是試驗(yàn)中只有一個(gè)可控因素在變化，其它可控因素不變，稱之為單因素試驗(yàn)， 否則是多因素試驗(yàn)。下面分別介紹單因素和雙因素試驗(yàn)結(jié)果的方差分析。1.1 單因素方差分析（One Way Analysis of Varianee）1. 一般表達(dá)形式2.

3、方差分析的假定前提3. 數(shù)學(xué)模形4. 統(tǒng)計(jì)假設(shè)5. 方差分析：（1）總平方和的分解；（2）自由度分解；（3）F檢驗(yàn)6. 舉例7. 多重比較1.1.1 一般表達(dá)形式首先通過(guò)一個(gè)例子引出單因素方差分析方法。某農(nóng)業(yè)科研所新培養(yǎng)了四種水稻品種，分別用A1, A2，A3，A4表示。每個(gè)品種隨機(jī)選種在四塊試驗(yàn)田中，共16塊試驗(yàn)田。除水稻品種之外，盡量保持其它條件相同（如面積，水分，日照，肥量等），收獲后計(jì)算各試驗(yàn)田中產(chǎn)量如下表：通過(guò)這些數(shù)據(jù)要考察四個(gè)不同品種的單位產(chǎn)量，是否有顯著性差異。類似的例子很多，如勞動(dòng)生產(chǎn)率差異，汽車燃油消耗，金屬材料淬火溫度等問(wèn)題。上述問(wèn)題可控實(shí)驗(yàn)條件是“種子”。所以種子是因素。

4、把不同的品種 Ai, A2, A3, A4稱為“水平”。1，2，3，4表示試驗(yàn)批號(hào)，即每次隨機(jī)的選取某個(gè)地塊種某個(gè)品種的種子。稱此種問(wèn)題為單因素試驗(yàn)。單因素試驗(yàn)通常分多個(gè)試驗(yàn)批號(hào)，目的是平衡一些不可控因素帶來(lái)的影響。如土地的基本條件不一樣。如各品種只試驗(yàn)一次，必然在試驗(yàn)結(jié)果中含有不可控因素帶來(lái)的影響。在眾多的數(shù)據(jù)中，怎樣判別不同品種的水稻產(chǎn)量是否存在顯著性差異？初步觀察A1品種的產(chǎn)量可能低一些， A3, A4的產(chǎn)量可能高一些。這是從平均數(shù)上觀察。若按前面介紹的 兩個(gè)總體的比較，需要作 C24= 6次檢驗(yàn)。比較麻煩，所以需要方差分析方法。首先從數(shù)學(xué)上給出這類問(wèn)題的一般形式(單因素)批號(hào) ijm行

5、平均均值A(chǔ)1X11X1 jX1 mX 1.1AiXi1Xi jXi mX i.iAkXk1 XkjXk mX kk1 - XijXi / k = XNj(k m = N)m次試驗(yàn)現(xiàn)在的目i,( i = 1,m的這表明該可控因素共有 k個(gè)水平，每個(gè)水平都進(jìn)行 m次試驗(yàn)，某個(gè)水平上的 可當(dāng)作一個(gè)樣本看待。 X i j表示第i個(gè)水平上第j次試驗(yàn)的結(jié)果。很容易看出當(dāng)水平只有 2個(gè)時(shí)，這相當(dāng)于兩個(gè)總體的均值的顯著性檢驗(yàn)問(wèn)題。 的是要分析各個(gè)水平上的均值是否有顯著性差異。1.1.2方差分析的假定前題(1 )每個(gè)水平(Ai)上的隨機(jī)變量Xi的分布都是正態(tài)的，即服從N( i, 2)。但 m),2未知。每個(gè)水平

6、上的一系列觀測(cè)值，看作是取自該水平正態(tài)總體的一個(gè)容量為樣本。(方差齊性)。(2) 認(rèn)為k個(gè)水平上的k個(gè)總體方差相等，都是2(3) 觀測(cè)值Xi j相互獨(dú)立。 這三個(gè)假定在實(shí)際中一般都能得到滿足。1.1.3數(shù)學(xué)模型Xi j分解為兩部分，即Xi j造成的影響，可以把i也分解因?yàn)閄i j N( i, 2), (i = 1,k)所以可以把觀測(cè)值Xi j = i + eij ,(i = 1,k) , (j = 1,2,m)其中e j表示Xi j對(duì)i的隨機(jī)偏差。為便于比較水平不同對(duì) 成兩部分(i = 1,k)i，稱為總平均(Grand mean), i稱為Ai水平上的效應(yīng)，它滿足i代入上式則有:Xi j =

7、+ i + ei j ,i = 0,(i=1,2,k) , (j=1,2,m)ei j表示隨機(jī)變量，i表示水平變量。這就是單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型。1.1.4統(tǒng)計(jì)假設(shè)：若可控因素的不同水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果無(wú)顯著性影響，那么觀測(cè)值 體，Xi jXi j應(yīng)該來(lái)自同一正態(tài)總Ho：Hi：N( , 2)。所以對(duì)應(yīng)的零假設(shè)是1 =,i.=k = 或 1 =,i不全相等或i不全為零。當(dāng)Ho成立時(shí)，樣本的行平均數(shù) Xi必然差異不大，差異表現(xiàn)為隨機(jī)誤差，當(dāng)H1為真時(shí),Xi間必存在較大差異，這時(shí)差異表現(xiàn)為系統(tǒng)誤差。1.1.5方差分析方法為判別不同水平對(duì)試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)顯著性影響，關(guān)鍵是把觀測(cè)值變量中的隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差分開(kāi)

8、，并能進(jìn)行比較，問(wèn)題就解決了。(1)分解總離差平方和(Total Sum of Squares),k m 2St =(Xij X)i 1 j 1方法是在St公式中加入行平均數(shù)Xi。因?yàn)閗Sr =i 1m(Xijj 1m(XijX)2Xi)m(Xijj 1m(Xij 1Xi)(XiX)2 +2i 1X)2m(Xij Xi)(Xi X)j 1K m_(Xij Xi)(Xi i 1 j 1X)=(Xi_ m_X) (Xij Xi)= 0j 1所以KSr =im(Xij1X)2m(Xijj 1Xi)m(Xi X)21 j 1Se =(XijXi)2kSa =(XiX)2 =m(XiX)2St= Se

9、+ Sa,其中St稱總離差平方和，總變差。Se稱樣本組內(nèi)離差平方和。它測(cè)量同一水平上因重復(fù)實(shí)驗(yàn)而產(chǎn)生的誤差。這是由于不可控因素引起的，故Se反映的是隨機(jī)誤差。Sa稱樣本組間離差平方和。它表示各個(gè)水平上的樣本平均數(shù)Xj與樣本總平均數(shù) X之間離差的加權(quán)平方和?？梢?jiàn)不同水平上的樣本差異越大，Sa的值就越大。它反映的是系統(tǒng)誤差。(2).求各離差平方和 St , Sa , Se 的自由度(Degrees of freedom), fT, fA, fE。Stm(Xijj 1X)2的自由度。因隨機(jī)變量Xij的個(gè)數(shù)是N個(gè)，相互獨(dú)立，但受一個(gè)約束條件。Sam(Xi1X)2k_m(Xi X)2的自由度。因Xi的個(gè)

10、數(shù)是i 1k個(gè)，但受條件mXi約束,所以自由度為fA = k -1。Se =i 1m(Xijj 1Xi)2的自由度。因Xij的個(gè)數(shù)為N，但受條件Xi =jmXij , (i = 1,k)1fE = N -k。約束，所以自由度為三個(gè)自由度之間也有這樣的關(guān)系。fT = fA + fE, N -1= (N -k) + ( k -1)(3) F檢驗(yàn)在Ho成立條件下，Xij服從正態(tài)分布 N( ,2),又知Xij相互獨(dú)立,所以有St2K m2(Xij X)i 1 j 12 ( N -1)Sa2m_(Xi X)2j 122(k T)Se2m(Xijj 12Xi)22(n -)Xij約束，所以自由度為 N -

11、1,即fT = N -1。1(n 1) , y J(n2),2(n2), 且x與y相互獨(dú)立，則且Sa, Se相互獨(dú)立(證明從略)。由抽樣分布一章知，若 x 2F = x/m _F =殛 F"當(dāng)已知Sa, Se相互獨(dú)立且分別服從(k -1)和(N -k)個(gè)自由度的2分布時(shí)，則有Sa II”(k 1) SA/(k1)Se /(N k)F = = - F(k -) ,( n -k)Se -4/(N k)有了統(tǒng)計(jì)量F就可以做假設(shè)檢驗(yàn)。怎樣制定判別規(guī)則？分析如下: 在Ho成立條件下，有E(已)=E(k(Xi X)2 mi 1(Xi X)'n)=e(廠)k(Xi X)2i 1 )=m E

12、(n_ 2 m Var(Xi) = m mSEE(rT)=e(Sekmk)= E(Xij Xi)2m(Xij Xi)2 j1 可見(jiàn)-S和一SJk 1 N k都是2的無(wú)偏估計(jì)量。所以在 Ho成立條件下,SA/(k1)應(yīng)接F=Se /(N k)k個(gè)總體服從同Ho。這是一個(gè)單端檢驗(yàn)問(wèn)題。臨界值由檢驗(yàn)水平確PF F ,( k -1)(N - k)= 檢驗(yàn)步驟是：(1)(2)(3)(4)建立假設(shè)H :1= 2 =選統(tǒng)計(jì)量F , Ho成立條件下 由計(jì)算臨界值F (k -1, N- k) 判別規(guī)則：若F* F(k-1, n -k)接受Ho若 F* F (k -1, n -k)拒絕 Ho由樣本計(jì)算F*值，按判

13、別規(guī)則給出檢驗(yàn)結(jié)果。F檢驗(yàn)。k=F F(k -1)，(N -k)(5)通常使用方差分析表來(lái)完成近1。當(dāng)F值很大時(shí)，說(shuō)明組間均方誤差，大于組內(nèi)均方誤差，則不能認(rèn)為 一個(gè)正態(tài)分布，即拒絕 Ho,否則接受 定。方差來(lái)源離差平方和自由度均方F值臨界值F組間Sak - 1S/ (k -1)F (k -1, N - k)LSa /(k1)F -(單側(cè))Se /(N k)組內(nèi)SeN -kSe / (N -k)總和StN - 1St/ ( N -1)用Eviews進(jìn)行方差分析案例1國(guó)家統(tǒng)計(jì)局城市社會(huì)經(jīng)濟(jì)調(diào)查總隊(duì)1996年在遼寧、河北、山西 3省的城市中分別調(diào)查了 5個(gè)樣本地區(qū)，得城鎮(zhèn)居民人均年消費(fèi)額（人民幣元

14、）數(shù)據(jù)如下表。省12345LN（遼寧）3493.023657.123329.563578.543712.43HB（河北）3424.353856.643568.323235.693647.25SX（山西）3035.593465.072989.633356.533201.06用方差分析方法檢驗(yàn)3省城鎮(zhèn)居民的人均年消費(fèi)額是否有顯著性差異。EViews 數(shù)據(jù)窗 口如下（file:ANOV A02 ）:¥i8廿IfrocsIOtjacta| Frint|ffanafratra| E五Vh/TSmpL十obsLNHQIISXI13493.0203424.3503035.53023657.1203

15、656 6403455.07D33339.66D3568.3202939.63043576.540323SG9C3356.53053712.4303647.2503201.060點(diǎn)擊transpose鍵，得到與數(shù)據(jù)表格一致的表達(dá)形式。yj ey|FV&c51 Otj eetal Frint | Kama I F r etid Edi t+/- 5嘩1卄-| I nsD fri | Tr msposel TitL*obs1 I2 I1311 45 1LN3 如 3.0203S57.1203329 5G03573.S403712 430HB3424.3533356.&40J563.

16、320刃35田03547.250 1SX3035.590別 6&WD2369.6303356.5303201 .oea從View選Tests of Equality o Test Equality of中的缺省選擇是 Mean ,即均值單因素方差分析。 Croup: LIN7ITLEDWorkhoup MembersSpksadehe&tted Data Tafcle雖日phMultiple Graphsfecriptive StitE卜1 Tests of Equdft/.p.W-A/ay Tabulation.,.Test Between Scries匚 ommonafin

17、pleCaric：el點(diǎn)擊0K ,TeM fcr Equality of Means B si ween Series Date： 11Z2M2 Time: 17：2Gample: 1 5Included observations 5MsthoddfValue Probabil ityAnova F-statsticP, 12)4 8963300.0279Analysis of VarianceSource cfVariationdf Sum df Sq. Mean Sq常用格式是，BetweenWithinTotal233710E.G193£52.e12474357,339523,7614961462.961533.06VairiatleCountMeanSid. Devof Meat!LN53554 134150.356167.24128HB63646 450233.G327104.4637SX53209.576203 46539C.39246All15343e72D249.050664.34845Std, Err,Category Statistics方差來(lái)源離差平方和自由度均方FFo.O5 (2, 12)Sa組間3871