dsp8離散信號(hào)處理系統(tǒng)設(shè)計(jì)分析和有限字長(zhǎng)效應(yīng)

1、第8章 離散信號(hào)處理系統(tǒng)設(shè)計(jì)分析和 有限字長(zhǎng)效應(yīng)8.1 離散信號(hào)處理系統(tǒng)的設(shè)計(jì)分析與仿真8.2 數(shù)字信號(hào)處理中的有限長(zhǎng)效應(yīng)8.1 離散信號(hào)處理系統(tǒng)的設(shè)計(jì)分析與仿真8.1.1 離散信號(hào)處理系統(tǒng)的設(shè)計(jì)步驟數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的設(shè)計(jì)分析可分為5大類1. 連續(xù)信號(hào)的離散化處理分析2. 設(shè)計(jì)離散時(shí)間信號(hào)處理器3. 離散信號(hào)的連續(xù)化4. 設(shè)計(jì)系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)5. 檢驗(yàn)前置預(yù)濾波器A/D轉(zhuǎn)換器數(shù)字信號(hào)處理器D/A轉(zhuǎn)換器( )ax t( )ay t( )x n( )y n數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)方框圖8.2 數(shù)字信號(hào)處理中的有限長(zhǎng)效應(yīng)有限長(zhǎng)字效應(yīng)：在實(shí)際的處理過程中，數(shù)字信號(hào)和系統(tǒng)都不是無限精度的，而是有限精度，精度的大小則有

2、字長(zhǎng)的大小決定，正是由于有限精度，從而給原有的數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)帶來了影響，這種影響稱為數(shù)字信號(hào)處理中的有限字長(zhǎng)效應(yīng)。有限字長(zhǎng)效應(yīng)主要在以下三個(gè)方面進(jìn)行影響(1)將模擬信號(hào)量化為數(shù)字信號(hào)過程中的A/D量化效應(yīng)。(2)將系統(tǒng)參數(shù)表示為有限位二進(jìn)制時(shí)產(chǎn)生的系統(tǒng)量化效應(yīng)。(3)在運(yùn)算過程中由于字長(zhǎng)限制而進(jìn)行尾數(shù)處理。8.2.1 二進(jìn)制的表示及誤差基本概念定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)：小數(shù)點(diǎn)在數(shù)碼中的位置固定不變，小數(shù)點(diǎn)左邊為整數(shù)部分，右邊為小數(shù)部分。1. 定點(diǎn)二進(jìn)制數(shù)的編碼方式(1)原碼原碼也稱“符號(hào)幅度碼”，最高符號(hào)位 表示正數(shù)， 表示負(fù)數(shù)，尾數(shù)值 表示絕對(duì)值大小。原碼定義如下00a 01a 12.ba aa 01

3、110 xxxxx 原所代表的十進(jìn)制數(shù)值為：01( 1)2baiiixa (2)反碼反碼定義如下：所代表的十進(jìn)制數(shù)值為： -b01(2-2 )-10 xxxxx 反01(12)2bbiiixaa (3)補(bǔ)碼補(bǔ)碼定義如下： 012-10 xxxxx 反所代表的十進(jìn)制數(shù)值為：012biiixaa 2. 誤差的基本概念(1)溢出 對(duì)定點(diǎn)二進(jìn)制，無論采用原碼表示還是采用補(bǔ)碼或反碼表示，這些表示在整個(gè)運(yùn)算過程中所有運(yùn)算結(jié)果的絕對(duì)值都不能超過1，否則就會(huì)產(chǎn)生運(yùn)算錯(cuò)誤，稱為溢出。(2)截尾及截尾誤差 定點(diǎn)數(shù)每次乘法運(yùn)算后需要進(jìn)行尾數(shù)處理，使計(jì)算結(jié)果保持b位字長(zhǎng)，一種簡(jiǎn)單的處理方法就是除超過字長(zhǎng)b的所有尾數(shù)值

4、，這種處理方法稱為截尾，由截尾處理帶來的誤差稱為截尾誤差。(3)舍入及舍入誤差 對(duì)定點(diǎn)乘法運(yùn)算尾數(shù)處理的另一個(gè)方法是舍入，它相當(dāng)于十進(jìn)制中的四舍五入近似法處理，在舍去超過字長(zhǎng)的位數(shù)時(shí)，若舍掉部分的值大于或等于保留部分最低位的權(quán)值的一半，則給留下的部分的最低位加1，由舍入處理帶來的誤差稱為舍入誤差。8.2.2 定點(diǎn)表示的量化誤差 假定運(yùn)算前定點(diǎn)數(shù)字長(zhǎng)度為b，運(yùn)算后增加的為b1，需要對(duì)尾數(shù)進(jìn)行量化處理使字長(zhǎng)從b1減小為b。1. 定點(diǎn)制截尾誤差(1)正數(shù)的誤差設(shè)x是b1位的正數(shù)， ，截尾后為b字長(zhǎng)，對(duì)x截尾112biiixa后的量化值 表示為 TQ x1 2biTiiQ xa截尾量化誤差為：11 2

5、biTTii bEQ xxa 由于x為正數(shù)，截尾后 故 ，當(dāng)被截尾均為1時(shí)，截尾誤差達(dá)到最大： TQ xx0TE ia11max12(22)bbibTii bEa 所以有令 表示截尾后最小碼位的值，稱為量化寬度或者量化步階。1(22)0bbTE0 x 2 ,b (2) 負(fù)數(shù)的截尾誤差 對(duì)于原碼負(fù)數(shù)112biiixa11111 2(2 )2bbbiiiTTiiiiii bEQ xxaaa 故截尾誤差滿足：10(22),0bbTEx即0,0TEx 對(duì)于反碼負(fù)數(shù)111122bbiiixa 1111111 122( 122 )222bbbbbbiiibTTiiiiii bEQ xxaaa 故截尾誤差滿

6、足：0,0TEx 即10(22),0bbTEx對(duì)于補(bǔ)碼負(fù)數(shù)1112biiixa 11111 12( 12 )2bbbiiiTTiiiiii bEQ xxaaa 故截尾誤差滿足：1(22)0,0bbTEx例8-1 若有限字長(zhǎng)為b=2，當(dāng)經(jīng)過某種運(yùn)算處理后字長(zhǎng)增為b1=4，若采用截尾處理，試分別求出原碼負(fù)數(shù)1.1001、反碼負(fù)數(shù)1.1100和補(bǔ)碼負(fù)數(shù)1.1010引起的誤差。解: (1)原碼負(fù)數(shù)x=1.1001表示-0.5625, QTx=1.10表示-0.5所以截尾處理引起的誤差為0.5( 0.5625)0.0625TE (2)反碼負(fù)數(shù)x=1.1100表示-0.1875, QTx=1.11表示0所

7、以截尾處理引起的誤差為0( 0.1875)0.18750TE (3)補(bǔ)碼負(fù)數(shù)x=1.1010表示-0.375, QTx=1.10表示-0.5所以截尾處理引起的誤差為0.375( 0.5)0.1250TE 2.定點(diǎn)誤入誤差所謂舍入，是指類似于十進(jìn)制中的四舍五入規(guī)則，逢1進(jìn)1，逢0舍去。例8-2 當(dāng)有限字長(zhǎng)b=2時(shí)，用逢1進(jìn)1，逢0舍去的原則，試求給下列數(shù)帶來的舍入誤差。(1)x=0.1001 (2)x=0.1011 (3)x=0.1010解：若x=0.1001, 舍去0.0001， 0.10RQx 4 0.00012RREQxx 若x=0.1011, 舍去0.0001， 0.11RQx 4 0.

8、00012RREQxx若x=0.1010, 此時(shí)既可作舍去處理，也可作上入處理。若舍去0.001， ；若上入，則上入0.001， 。但是按照十進(jìn)制中的四舍五入規(guī)則上入0.001，則 3 0.0012RREQxx 3 0.0012RREQxx30.0012RE8.2.3 A/D轉(zhuǎn)換的量化效應(yīng)模擬信號(hào)經(jīng)過A/D轉(zhuǎn)換為b位數(shù)字信號(hào)，即 kekxkx精確抽樣值量化誤差 分析A/D轉(zhuǎn)換器的量化效應(yīng)目的在于選擇合適的字長(zhǎng)，以滿足信噪比指標(biāo)。8.2.4 數(shù)字濾波器的系數(shù)量化效應(yīng)設(shè)系統(tǒng)只有單極點(diǎn)，理想低通的系統(tǒng)函數(shù)可表示為00111( )( )( )1(1)MMkkkkkkNNkkrkrb zb zB zH

9、zA za zp z1. 系統(tǒng)的實(shí)際頻響與所要求的頻響出現(xiàn)偏差。2. 系統(tǒng)函數(shù)零極點(diǎn)的實(shí)際位置也與設(shè)計(jì)位置不同。 嚴(yán)重時(shí)，使系統(tǒng)失去穩(wěn)定。因此字長(zhǎng)有限，濾波器系數(shù) 量化后產(chǎn)生誤差,kka b1. 系數(shù)量化對(duì)濾波器零點(diǎn)、極點(diǎn)位置的影響,kka b是系統(tǒng)直接型結(jié)構(gòu)的無限精度系數(shù)，若實(shí)際系統(tǒng)的量化為： ,kka bkkkkkkaaabbb其中 表示系統(tǒng)量化造成的誤差。實(shí)際濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為：,kkab00( )1MkkkNkkkb zH za z若 的極點(diǎn)為 , 的極點(diǎn)為 ， 為極點(diǎn)的偏移量，由各系數(shù) 的量化引起的，因此(1,2,.,)izz iN( )H z( )H ziizzzizka1,1,2

10、,.,Niikkkzza iNa式中 的值決定著系數(shù)量化誤差 對(duì)極點(diǎn)偏差 的影響程度，因此 被稱為系統(tǒng)函數(shù) 的第i個(gè)極點(diǎn) 對(duì) 分母的第k個(gè)系數(shù) 變化的靈敏度。kaiz( )H z( )H zkaiz/ikza/ikza其大小可以推導(dǎo)得：1()NkiiNkilll izzazz11,1,2,.,()NkNiikNkilll izza iNzz結(jié)論：由于級(jí)聯(lián)型結(jié)構(gòu)和并聯(lián)型結(jié)構(gòu)是由一階或二階濾波器級(jí)聯(lián)或并聯(lián)而成，因此它們的極點(diǎn)位置偏移量對(duì)系數(shù)量化誤差要小得多。例8-3 設(shè)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 01212( )1bH za za z其系數(shù) 利用 變化造成的極點(diǎn)位置靈敏度，試確定系數(shù)量化所需的最小字長(zhǎng)

11、。要求保證極點(diǎn)位置誤差小于0.5%。1201.7,0.745,0.0373,aab 2a解：設(shè)H(z)分母為零，求得兩個(gè)極點(diǎn)10.850.15zj 20.850.15zj 求得a2對(duì)z1和z2的影響090121213.3333jzeazz090222113.3333jzeazz可見， a2對(duì)z1和z2的影響是相同的。因而2222zzaa故2232220.5%1.295 10/3.3333zzaza2. IIR數(shù)字濾波器的有限字長(zhǎng)效應(yīng)若考慮系數(shù)采用b位量化長(zhǎng)度和舍入方式進(jìn)行量化，系數(shù) 的量化誤差分別為 ，且誤差變化范圍為 ，均值為0，方差為 。設(shè)量化后系統(tǒng)函數(shù)的誤差為：,kka b,kk(/2,

12、/2)2/12 akkkkkkkkaQ abQ bb令量化后系統(tǒng)函數(shù)的偏差為：因此實(shí)際系統(tǒng)函數(shù) 可以表示為理想系統(tǒng)函數(shù) 與系統(tǒng)函數(shù)的偏差的并聯(lián)，可得系統(tǒng)量化造成的頻響偏差：( )( )( )EHzH zH z( )EHz( )H z()()()jjjEHeH eH e3. FIR濾波器的有限字長(zhǎng)效應(yīng)線性相位FIR濾波器第一種情況的頻率響應(yīng)為1()2()( )NjjH eHe其中(3)/2011( )2 ( )cos() ()22NnNNHh nnh設(shè)系數(shù)采用b位量化長(zhǎng)度和舍入方式進(jìn)行量化，系數(shù)量化誤差為e(n)，其變化范圍(/2,/2)，均值為0，方差為2/12 則實(shí)際系數(shù)為：( )( )(

13、)h nh ne n0(1)/2nN且量化后 也一定滿足偶對(duì)稱，即( )h n( )(1)h nh Nn 因此有：( )( )( )H zH zE z( )( )( )HHE實(shí)際濾波器的頻率響應(yīng)偏差(3)/2011( )( )( )2 ( )cos() ()22NnNNEHHe nne因此，F(xiàn)IR數(shù)字濾波器的系數(shù)h(n)最后量化后，得到的實(shí)際濾波器可以表示為無限精度濾波器和一個(gè)頻響為的濾波器的并聯(lián)。 8.2.5 FFT算法的有限字長(zhǎng)效應(yīng)12( )NjEe1. 定點(diǎn)FFT計(jì)算中有限字長(zhǎng)效應(yīng)若x(n)序列的長(zhǎng)度為N=2L，原位運(yùn)算的基-2DIT-FFT算法共有 級(jí)，每級(jí)有N個(gè)數(shù)構(gòu)成運(yùn)算序列，含個(gè)蝶

14、形運(yùn)算。由m列到m+1列的蝶形運(yùn)算可表示為2logLN/2N11( )( )( )( )( )( )rmmNmrmmNmXiXiW XjXjXiW Xj用定點(diǎn)數(shù)實(shí)現(xiàn)算法時(shí)，如暫不考慮溢出，則只有乘法才舍入。以加性誤差來考慮舍入的影響。用e(m,j)表示 與 相乘所引起的舍入誤差。( )mXjrNW( )mXi( )mXj1( )mXi1( )mXj-1rNW( , )e m j基-2 DIT-FFT算法蝶形運(yùn)算定點(diǎn)舍入統(tǒng)計(jì)模型( , )e m j假設(shè)這些誤差 的統(tǒng)計(jì)特性如下：(1) 是白噪聲，在 范圍內(nèi)均勻分布， 則均值為0，方差為(2)各 相互獨(dú)立，且某一復(fù)乘的四個(gè)誤差源于其他復(fù)乘的誤差源也互不相關(guān)。(3)所有 與輸入互不相關(guān)，因而與輸出也互不相關(guān)。 ( , )ie m j( , )ie m j( , )ie m j(/2,/2)2/12 兩種防止溢出的方法：(1)在輸入端乘以1/N的比例因子。(2)在每級(jí)蝶形運(yùn)算的輸入端乘以1/2的比例因子。2. 系數(shù)量化對(duì)FFT的影響理想FFT運(yùn)算 系數(shù)量化后可以表示為10( )( )NnkNnX kx n W10( )( )( )( )NnkNnX kx