梁昆淼_數(shù)學(xué)物理方法第7章

1、第七章第七章 數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題數(shù)學(xué)物理方程定解問(wèn)題7.2 7.2 定解條件定解條件7.3 7.3 數(shù)學(xué)物理方程的分類數(shù)學(xué)物理方程的分類( (自學(xué)）自學(xué)）7.1 7.1 三類數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出三類數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出第二篇第二篇 數(shù)學(xué)物理方程數(shù)學(xué)物理方程7.4 7.4 達(dá)朗貝公式、定解問(wèn)題達(dá)朗貝公式、定解問(wèn)題（一）、梯度（一）、梯度矢量矢量zkyjxi令令7.1 7.1 三類數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出三類數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出)()(zkyjxizkyjxi222222zyx222222zyx有時(shí)記有時(shí)記22222yx2222223zyx記記22tuutt22xuuxxtuut222222zyx（二）、三

2、類數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出（二）、三類數(shù)學(xué)物理方程的導(dǎo)出1 1、弦的橫振動(dòng)、弦的橫振動(dòng)xx+ x1T2T1M2M12),(txFxydsdm0coscos1122TT1122sinsinTTttdsuTT1122sinsin弦的橫向位移為弦的橫向位移為 u(x,t)ttdmu考慮小振動(dòng)考慮小振動(dòng)xx+ x1T2T1M2M12xy22)()(dydxds0coscos1122TTttdsuTT1122sinsin012TTttdsuTT1122sinsindx22sintgxxxu11sintgxxuttxxdxxxdxuTuTu)()(xx+ x1T2T1M2M12xyttxxdxxxdxuuuT)

3、(ttxxdxxxudxuuT)(TTT12ttxxuTu0 xxttTuuTa 202xxttuau記記例：一長(zhǎng)為例：一長(zhǎng)為l的均勻柔軟的均勻柔軟輕繩輕繩，其一端固定在豎直軸上，其一端固定在豎直軸上，繩子以角速度繩子以角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，試推導(dǎo)此繩相對(duì)于水平線的橫轉(zhuǎn)動(dòng)，試推導(dǎo)此繩相對(duì)于水平線的橫振動(dòng)方程振動(dòng)方程xx+ x1T2T1M2M12xydxdm弦的橫向位移為弦的橫向位移為 u(x,t)xy lxx+ xttdxuTT1122sinsinxdxTT22211coscosxdxdT2lxxdxxTlT2)()(ttxxdxxxdxuTuTu)()(ttxxdxxxdxuTuTu)()(lxxd

4、xxT2)()(21222xlttxxdxxxdxuuxluxl)(21)(212222220)(21222xttuxlxu整理得：整理得：2 2、均勻桿的縱振動(dòng)、均勻桿的縱振動(dòng)將細(xì)桿分成許多段將細(xì)桿分成許多段t時(shí)刻，時(shí)刻，A段伸長(zhǎng)段伸長(zhǎng)),(txu),(),(txutdxxutduF)(xuxxdxx )(dxxuABCt時(shí)刻，時(shí)刻，B段伸長(zhǎng)段伸長(zhǎng)相對(duì)伸長(zhǎng)相對(duì)伸長(zhǎng)dxtxutdxxu),(),(xu事實(shí)上，相對(duì)伸長(zhǎng)事實(shí)上，相對(duì)伸長(zhǎng)是位置的函數(shù)，如是位置的函數(shù)，如xxudxxxu相對(duì)伸長(zhǎng)相對(duì)伸長(zhǎng)由虎克定律，由虎克定律，B兩端的兩端的張應(yīng)力（單位橫截面張應(yīng)力（單位橫截面的力）分別為的力）分別為x

5、xudxxxuxxuYdxxxuYB段運(yùn)動(dòng)方程為段運(yùn)動(dòng)方程為22)(tuSdxxuYSxuYSxdxxttxxdxxxudxuuYF)(xuxxdxx )(dxxuABCB段運(yùn)動(dòng)段運(yùn)動(dòng)方程為方程為ttxxdxxxudxuuYttxuxuYttxxuYuYa 202xxttuau記記22)(tuSdxxuYSxuYSxdxx3 3、擴(kuò)散方程、擴(kuò)散方程由于濃度不同引起的分子運(yùn)動(dòng)由于濃度不同引起的分子運(yùn)動(dòng)uDq擴(kuò)散流強(qiáng)度擴(kuò)散流強(qiáng)度q ，即單位，即單位 時(shí)間內(nèi)流時(shí)間內(nèi)流過(guò)單位面積的分子數(shù)或質(zhì)量，與過(guò)單位面積的分子數(shù)或質(zhì)量，與濃度濃度 u(單位體積內(nèi)的粒子數(shù)）單位體積內(nèi)的粒子數(shù)） 的的下降成正比下降成正

6、比 D 為擴(kuò)散系數(shù)為擴(kuò)散系數(shù))(kzujyuixuDqxuDqxyuDqyzuDqz 負(fù)號(hào)表擴(kuò)散方向負(fù)號(hào)表擴(kuò)散方向與濃度梯度相反與濃度梯度相反nuDq大小大小dydzdtqxxuDqxyuDqyzuDqz),(zyxxyzdxdydz x方向左表面，方向左表面，dt 時(shí)間時(shí)間流流入六面體的流量為入六面體的流量為流出六面體的流量為流出六面體的流量為dydzdtqdxxxdydzdtqxx x方向左表面，單位時(shí)間方向左表面，單位時(shí)間流入六面體的流量為流入六面體的流量為單位時(shí)間流出六面體的流量為單位時(shí)間流出六面體的流量為dydzdtqdxxx凈流入量為凈流入量為dydzdtqdydzqdxxxxxd

7、ydzdtqqxxdxxx)(dxdydzdtxqx),(zyxxyzdxdydzx 方向凈流入量為方向凈流入量為dxdydzdtxqxdxdydzdtxuDx)(y 方向凈流入量為方向凈流入量為dxdydzdtyuDy)(z 方向凈流入量為方向凈流入量為dxdydzdtzuDz)(),(zyxxyzdxdydz立方體凈流入量為立方體凈流入量為dxdydzdtzuDzdxdydzdtyuDydxdydzdtxuDx)()()(如立方體內(nèi)無(wú)源和匯如立方體內(nèi)無(wú)源和匯dxdydzuutdtt)(dt時(shí)間內(nèi)粒子增加數(shù)為時(shí)間內(nèi)粒子增加數(shù)為dxdydzduzyx,),(zyxxyzdxdydzdxdydz

8、dttudxdydztudxdydzzuDzdxdydzyuDydxdydzxuDx)()()(0)()()(dxdydzzuDzyuDyxuDxtuD=恒量，恒量， 令令 a2=D0)(2zzyyxxtuuuau02uaut02xxtuau 一維一維02uaut02xxtuau若單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)為若單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)為 F=(x,y,z,t) 與與 u 無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)),(2tzyxFuaut),(2tzyxFuaut若單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)為若單位時(shí)間內(nèi)單位體積中產(chǎn)生的粒子數(shù)為 b2u ubuaut22022ubuaut3、熱傳導(dǎo)方程、熱傳導(dǎo)方程),(),

9、()(txuttxuxAcQ0t設(shè)有一根恒截面為設(shè)有一根恒截面為A的均勻細(xì)桿，沿桿長(zhǎng)有溫度差，的均勻細(xì)桿，沿桿長(zhǎng)有溫度差，其側(cè)面絕熱其側(cè)面絕熱u(x,t) 為為 x 處處 t 時(shí)刻溫度，時(shí)刻溫度， 為桿密度為桿密度xxx+ x （1）、）、dt 時(shí)間時(shí)間內(nèi)引起小段內(nèi)引起小段 x溫溫度升高所需熱量度升高所需熱量為為txAucQtxxx+ x （2）、）、Furier s實(shí)驗(yàn)定理：?jiǎn)挝粚?shí)驗(yàn)定理：?jiǎn)挝?時(shí)間內(nèi)流過(guò)單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)單位面積的熱量面積的熱量 q (熱熱流強(qiáng)度量）流強(qiáng)度量）與溫與溫度的下降成正比度的下降成正比nnukq k 為熱傳導(dǎo)系數(shù)為熱傳導(dǎo)系數(shù) 一維情況下如圖有一維情況下如圖有xukqx

10、nukq大小大小Adtqxx x方向左表面，方向左表面，dt 時(shí)間時(shí)間流入流入圓圓柱體的熱量為柱體的熱量為dt 時(shí)間時(shí)間流出流出圓柱體的熱量為圓柱體的熱量為Adtqdxxxxxx+ xAdtqAdtqdxxxxxdt 時(shí)間凈流時(shí)間凈流入的熱量為入的熱量為AdxdtxqxdxdtAucQtAdxdtkudxdtAucxxtAdxdtkuxxxukqx02xxtuaucka24 4、泊松方程、泊松方程電通量的高斯定理電通量的高斯定理0qSdEdV01SdEdVE0/ Errl dErVrV0)()(0VE02/V稱為泊松方程稱為泊松方程02/V稱為泊松方程稱為泊松方程稱為稱為 Laplace La

11、place 方程方程002V),(2tzyxFuaut對(duì)于對(duì)于穩(wěn)定濃度分布有穩(wěn)定濃度分布有0tu),(),(zyxFtzyxF2/ ),(azyxFu為泊松方程為泊松方程0),(zyxF0u為為 Laplace Laplace 方程方程5 5、穩(wěn)定濃度分布、穩(wěn)定濃度分布和和若若若若7.2 7.2 定解條件定解條件對(duì)于輸運(yùn)方程對(duì)于輸運(yùn)方程（一）、初始條件（一）、初始條件02uaut初始條件要求已知初始條件要求已知),(),(0zyxtzyxutt對(duì)于弦振動(dòng)方程對(duì)于弦振動(dòng)方程02uautt初始條初始條件要求件要求已知已知),(),(0zyxtzyxutt),(),(0zyxtzyxuttt位移滿足

12、位移滿足速度滿足速度滿足x=l / 2xyx=lhx00)(ttxu0),(0ttttzyxu位移滿足位移滿足速度滿足速度滿足2/, 0)/2(lxlh, 2/)(2llxllh（二）、邊界條件（二）、邊界條件),(),(000000tzyxftzyxuzyx第一類邊第一類邊界條件界條件),(),(000000tzyxfntzyxuzyx第二類邊第二類邊界條件界條件第三類邊第三類邊界條件界條件),(),(000000tzyxfntzyxuHuzyx),(),(000000tzyxftzyxuzyx如兩端固定弦如兩端固定弦, ,端點(diǎn)位移端點(diǎn)位移x=l / 2xyx=lhx00),(0 xtxu0

13、),(lxtxu（1 1）、第一類邊界條件）、第一類邊界條件如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)溫度如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)溫度l0 x00),(utxuxllxutxu),(（如擴(kuò)散端點(diǎn)濃度）（如擴(kuò)散端點(diǎn)濃度）A）、如細(xì)）、如細(xì)桿的縱振動(dòng)，桿的縱振動(dòng)，x=a 處受力處受力 f(t)()(tfSYuaxn（2 2）、第二類邊界條件）、第二類邊界條件)()(tfSYuaxxYStfuaxx)(如桿端自由如桿端自由 f(t)=00axxu),(000000tzyxfuzyxna0 x)(tf如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)有熱量流出點(diǎn)有熱量流出)(tfaxnkuaxxq如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端如細(xì)桿熱傳導(dǎo)端點(diǎn)有熱量流入點(diǎn)有熱量流入axa

14、xxxukq)(tfB B）、熱傳導(dǎo)）、熱傳導(dǎo)axxuk0 xa如細(xì)桿熱傳導(dǎo)，如細(xì)桿熱傳導(dǎo)，一端自由冷卻一端自由冷卻)(axuh則熱流強(qiáng)度與桿端則熱流強(qiáng)度與桿端 u|x=a 和周圍介質(zhì)溫度和周圍介質(zhì)溫度 差有關(guān)系差有關(guān)系axaxxnukq（3 3）、第三類邊界條件）、第三類邊界條件axxHuu)(axxuk),()(000000tzyxfHuuzyxn0 xahkH/x=0 處處0 xa)(0 xuh00 xxxnukq0)(xxHuu0 xxukaxxHuu)(0)(xxuk（三）、銜接條件（三）、銜接條件0sinsin)(21TTtF)(tFx0 xy012), 0(), 0(00txut

15、xu11sintg), 0(0txux22sintg), 0(0txux)(), 0(), 0(00tFtxTutxTuxx), 0(), 0(00txutxu例：半徑為例：半徑為a,表面熏黑的金屬長(zhǎng)圓柱，受到陽(yáng)光照射，表面熏黑的金屬長(zhǎng)圓柱，受到陽(yáng)光照射，陽(yáng)光的方向垂直于柱軸，熱流強(qiáng)度為陽(yáng)光的方向垂直于柱軸，熱流強(qiáng)度為M，寫出熱傳導(dǎo)的，寫出熱傳導(dǎo)的邊界條件。邊界條件。dSdtMQsin1解：解：xy陽(yáng)光照射，陽(yáng)光照射，流出流出圓柱的熱量為圓柱的熱量為dS由于溫度梯度，由于溫度梯度，流出流出圓柱的熱流為圓柱的熱流為dSdtkuQan2dtdSukadSdtMQsin1xy設(shè)柱面外溫度為設(shè)柱面外溫

16、度為u0dtdSukQa2柱面溫度柱面溫度 u| = a由牛頓冷卻定律由牛頓冷卻定律dSdtuuhQQa)(021dtdSuuhdtdSukdSdtMaa)(sin0令令kMm khH 0sin)(HumHuua0)(HuHuua02dtdSuuhdtdSukdSdtMaa)(sin0當(dāng)當(dāng)M=0，m=0 xy例：一根導(dǎo)熱桿由兩段構(gòu)成，兩段例：一根導(dǎo)熱桿由兩段構(gòu)成，兩段熱傳導(dǎo)系數(shù)、比熱、密熱傳導(dǎo)系數(shù)、比熱、密度分別為度分別為kI, cI, I, kII, cII, II, 初始溫度為初始溫度為u0, 然后保持兩端然后保持兩端溫度為零，寫出熱傳導(dǎo)問(wèn)題的定解方程。溫度為零，寫出熱傳導(dǎo)問(wèn)題的定解方程。

17、解：解：第一段第一段0IxxIItuckuII00uutI01xxIu第二段第二段0IIxxIIIItuckuIII00uutII03xxIIu22xxIIxxIuu22xxIIxIIxxIxIukuk銜接條件：銜接條件：溫度相等溫度相等熱流相等熱流相等1x3x2xx7.4 7.4 達(dá)朗貝公式、定解問(wèn)題達(dá)朗貝公式、定解問(wèn)題（一）、（一）、 達(dá)朗貝公式達(dá)朗貝公式02xxttuau考慮弦的振動(dòng)方程考慮弦的振動(dòng)方程表示為：表示為：022222xuatu或：或：0)(uxatxat令：令：0)(uxatxat)(axtxxttxatxxtt)(xat02u)(21x)(21at令：令：)(axtatx

18、atx02u對(duì)對(duì) 積分積分)(fu)()(2fdfu再積分再積分)()(21ff)()(21atxfatxf表示以速度表示以速度a a沿沿x x正負(fù)方向的行波正負(fù)方向的行波函數(shù)函數(shù) f1 和和 f2 的確定的確定)()()(21xxfxf考慮定解問(wèn)題考慮定解問(wèn)題02xxttuau)()(),(0 xxtxut)()(),(0 xxtxutt)()(21atxfatxfu)( )( 21atxafatxafut)()( )( 21xxafxaf求導(dǎo)有求導(dǎo)有)()()(21xxfxf積分有積分有2)(21)(21)(01Cdaxxfxx)()( )( 21xxafxafCdaxfxfxx0)(1)

19、()(21)()(0201xfxfC2)(21)(21)(02Cdaxxfxx2)(21)(21)(01Cdaxxfxx2)(21)(21)(02Cdaxxfxx)()(21atxfatxfuatxatxdaatxatxu)(21)()(21atxatxdaatxatxu)(21)()(2102xxttuau2),()cos(),(00ttttxuxtxu例：求定例：求定解問(wèn)題解問(wèn)題atxatxdaatxatxtxu221)cos()cos(21),(tatx2coscos1x2x221xx 0u)(x02xxttuau0),(0tttxu例：求定解問(wèn)題例：求定解問(wèn)題)(),(0 xtxut1

20、2102xxxxu12202xxxxu02211xxxx2212xxxx21,xxxx)()(21),(atxatxtxu1x2x0u)()(21),(atxatxtxu0t1tt 2tt 02xxttuau)0()(),(0 xxtxutt例：求一端固定弦的振動(dòng)情況例：求一端固定弦的振動(dòng)情況（反射波定解問(wèn)題）（反射波定解問(wèn)題）)0()(),(0 xxtxut)0(0),(0ttxux2)(21)(21)(01Cdaxxfxx2)(21)(21)(02Cdaxxfxx)()(21atxfatxfu)0( x)0( x代入初始條件代入初始條件O Ox（二）、端點(diǎn)反射（二）、端點(diǎn)反射2)(21)(

21、21)(01Cdaxxfxx2)(21)(21)(02Cdaxxfxx)0( x)0( x代入邊界條件代入邊界條件0)()(21atfatf)0(at令令atx 0)()(21xfxf)0( x)()(12xfxf)0( x2)(21)(21)(01Cdaatxatxftaxx2)(21)(21)(02Cdaatxatxftaxx（1）、）、x at, 即即 x - at 0taxtaxdaatxatxu)(21)()(212)(21)(21)(01Cdaatxatxftaxx2)(21)(210Cdaxatxtax（2）、）、x at, 即即 x -at 0taxxtadaxatatxu)(

22、21)()(21)()(22xatfatxf)(1xatf)()(12xfxf)0( xtaxxtadaxatatxu)(21)()(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt )(axt 物理意義：物理意義：為討論方便計(jì)設(shè)初速為為討論方便計(jì)設(shè)初速為0 00)(xaxt . 1解與達(dá)朗貝爾解一致，說(shuō)明端點(diǎn)的解與達(dá)朗貝爾解一致，說(shuō)明端點(diǎn)的影響未傳到。影響未傳到。axt . 2)(21)(21xatatxu)(21)(21xatatxuO Ox)(atx )(xat )(atx )(xat )(21)(210atatux0 x =0處處為波節(jié)。為波節(jié)。x =0處處入射波與反射

23、波位相相反，有半波損失入射波與反射波位相相反，有半波損失。為入射波。為入射波。為反射波。為反射波。（三）、延拓（三）、延拓02xxttuau)0()(),(0 xxtxutt)0()(),(0 xxtxut)0(0),(0ttxux)()(12xfxf)0( x半無(wú)限長(zhǎng)問(wèn)題半無(wú)限長(zhǎng)問(wèn)題求解中有求解中有0),(0 xtxu提示無(wú)限長(zhǎng)桿提示無(wú)限長(zhǎng)桿u(x,t)是奇函數(shù)是奇函數(shù)提示無(wú)限長(zhǎng)桿初始位移提示無(wú)限長(zhǎng)桿初始位移 (x)和初始和初始 (x)是奇函數(shù)是奇函數(shù))0()(xx)0()(xx)(x)0()(xx)0()(xx)(xtaxtaxdaatxatxu)(21)()(21taxtaxdaatxa

24、txu)(21)()(21)(axt 稱為稱為沿拓沿拓taxtaxdaatxatxu)(21)()(21axtatx即00)(21)(21)()(21taxtaxdadaxatatx00)(21)(21xtataxdada)(axt 00)(21)(21)()(21xtataxdadaxatatxu00)(21)(21xtataxdadataxxatdaxatatx)(21)()(21taxxtadaxatatxu)(21)()(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt )(axt 02xxttuau)0()(),(0 xxtxutt)0()(),(0 xxtxut)0

25、(0),(0ttxuxx例：求解半無(wú)限長(zhǎng)問(wèn)題例：求解半無(wú)限長(zhǎng)問(wèn)題桿端點(diǎn)自由，桿端點(diǎn)自由，相對(duì)伸長(zhǎng)量相對(duì)伸長(zhǎng)量為為0 0提示無(wú)限長(zhǎng)桿提示無(wú)限長(zhǎng)桿u(x,t)是偶函數(shù)是偶函數(shù)提示無(wú)限長(zhǎng)桿初始位移提示無(wú)限長(zhǎng)桿初始位移 (x)和初始和初始 (x)是偶函數(shù)是偶函數(shù))0()(xx)0()(xx)(x)0()(xx)0()(xx)(xtaxtaxdaatxatxu)(21)()(21taxtaxdaatxatxu)(21)()(21)(axt 沿拓沿拓taxtaxdaatxatxu)(21)()(21axtatx即00)(21)(21)()(21taxtaxdadaxatatx00)(21)(21xtata

26、xdadaxtada0)(21)(axt taxdaxatatxu0)(21)()(21xtataxdada00)(21)(21xtada0)(2102xxttuau)0(0),(0 xtxutt)0(0),(0 xtxut)0(sin),(0ttAtxux例：求例：求定解問(wèn)定解問(wèn)題題考慮初始條件與半無(wú)限考慮初始條件與半無(wú)限長(zhǎng)，這一擾動(dòng)產(chǎn)生的波長(zhǎng)，這一擾動(dòng)產(chǎn)生的波沿沿x正向正向)(),(atxftxu解：解：由邊界條件由邊界條件tAatftusin)(), 0(令令atz)sin()(azAzf)(),(atxftxu其中其中0atx若若axt/)sin()(azAzf)sin(azA)sin

27、(aatxA)(sinaxtA)0(00tux)(sinaxtA),(txu0axt/axt/（四）、達(dá)朗貝解的適定性（四）、達(dá)朗貝解的適定性)(1x0),(ttxu考慮初始條件有兩組，差別微小考慮初始條件有兩組，差別微小 (x)有直到二階導(dǎo)數(shù)，有直到二階導(dǎo)數(shù)， (x)有直到一階導(dǎo)數(shù)，有直到一階導(dǎo)數(shù)，達(dá)朗貝解存在達(dá)朗貝解存在1 1、達(dá)朗貝解的存在性、達(dá)朗貝解的存在性2 2、達(dá)朗貝解的穩(wěn)定性、達(dá)朗貝解的穩(wěn)定性)(2x0),(ttxu)()(21xx)()(21xx)(1x)(2x)()(21xx)()(21xxtaxtaxdaatxatxu)(21)()(21)()(212121atxatxuu)()(2121atxatxtaxtaxda)()(2121taxtaxda212121)1 (t達(dá)朗貝解的穩(wěn)定達(dá)朗貝解的穩(wěn)定解：解