數(shù)學選修2-3 第二章隨機變量及其分布列232 離散型隨機變量的方差

1、2.3.2離散型隨機變量的方差離散型隨機變量的方差 1理解離散型隨機變量的方差以及標準差的意義，會根據(jù)分布列求方差和標準差2掌握方差的性質(zhì)，兩點分布、二項分布的方差的求解公式，會利用公式求它們的方差1離散型隨機變量的方差(1)設(shè)離散型隨機變量X的分布列為：標準差(2)隨機變量的方差和標準差反映了隨機變量取值偏離于均值的 ，方差或標準差越小，則隨機變量偏離于均值的越小(3)D(aXb)2兩點分布、二項分布的方差(1)若X服從兩點分布，則D(X)(2)若XB(n，p)，則D(X)平均程度平均程度a2D(X)p(1p)np(1p)思考你能類比樣本數(shù)據(jù)方差的計算公式，理解離散型隨機變量方差的計算公式嗎

2、？2隨機變量的方差與樣本方差的關(guān)系樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此它是一個變量，而隨機變量的方差是通過大量試驗得出的，刻畫了隨機變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，因此它是一個常數(shù)(量)而非變量，對于簡單隨機樣本，隨著樣本容量的增加，樣本方差越來越接近于總體的方差3方差的單位是隨機變量單位的平方；標準差與隨機變量本身有相同的單位4數(shù)學期望與方差的關(guān)系(1)數(shù)學期望和方差是描述隨機變量的兩個重要特征數(shù)學期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均值，而方差表現(xiàn)了隨機變量所取的值相對于數(shù)學期望的集中與離散的程度(2)E(X)是一個實數(shù)，即X作為隨機變量是可變的，而E(X)是不變的，它描

3、述X的取值的平均水平，D(X)表示隨機變量X對E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中(3)D(X)與E(X)一樣也是一個實數(shù)，由X的分布列唯一確定(當然方差是建立在數(shù)學期望這一概念上的).已知Y的分布列為：【分析】(1)利用D(Y)的定義求解；(2)注意到E(Y)是一個常數(shù)，故D(Z)D(2YE(Y)4D(Y)已知隨機變量X的分布列如表：甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個相互獨立的隨機變量，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,

4、9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)【分析】利用分布列的概率和為1，求出a，然后分別列出，的分布列，結(jié)合分布列分別求出E()，E()，D()，D(n)【解】(1)依據(jù)題意，0.53aa0.11，解得a0.1.乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2，乙射中7環(huán)的概率為1(0.30.30.2)0.2.，的分布列分別為(2)結(jié)合(1)中，的分布列可得：E()100.590.380.170.19.2(環(huán))，E()100.390.380.270.28.7(環(huán))，D()(109.2)20.5(99.2)20.3(

5、89.2)20.1(79.2)20.10.96，D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.由于E()E()，說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高；又D()D()，說明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定在實際問題中僅靠離散型隨機變量的均值還不能完善地說明隨機變量的分布特征，有時還要研究其偏離均值的平均程度即方差不能以為兩個隨機變量的均值相同了，就認為兩者的優(yōu)劣性相同，還應(yīng)該比較兩者的方差甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為、，且和的分布列如下：試對這兩名工人的技術(shù)水平進行比較(2012西南師大附中高二檢測)在一個不透明

6、的紙袋里裝有5個大小相同的小球，其中有1個紅球和4個黃球，規(guī)定每次從袋中任意摸出一球，若摸出的是黃球則不再放回，直到摸出紅球為止，求摸球次數(shù)的期望和方差【分析】 的分布列為：由定義知：E()0.2(12345)3，D()0.2(2212021222)2.求離散型隨機變量X的均值與方差的基本步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)由均值的定義求E(X)；(5)由方差的定義求D(X)甲乙兩人獨立解某一道數(shù)學題，已知該題被甲獨立解出的概率為0.6，被甲或乙解出的概率為0.92，(1)求該題被乙獨立解出的概率；(2)求解出該題的人數(shù)的數(shù)學期

7、望和方差若隨機變量A在一次試驗中發(fā)生的概率為p(0p1)，用隨機變量表示A在一次試驗中發(fā)生的次數(shù)(1)求方差D()的最大值；【分析】利用基本不等式求最值解答數(shù)學期望與方差的最值問題的主要途徑有：利用基本不等式；利用二次函數(shù)的最值；利用函數(shù)的單調(diào)性設(shè)一次試驗的成功率為p，進行100次獨立重復(fù)試驗，求當p為何值時，成功次數(shù)的標準差的值最大？并求其最大值答案：C2如果X是離散型隨機變量，E(X)6，D(X)0.5，X12X5，那么E(X1)和D(X1)分別是()AE(X1)12，D(X1)1 BE(X1)7，D(X1)1CE(X1)12，D(X1)2 DE(X1)7，D(X1)2解析：因為E(aXb

8、)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)，由已知可得E(X1)7，D(X1)2.答案：D3已知隨機變量服從二項分布，即B(n，p)，且E()7，D()6，則p等于_4某校甲、乙兩個班級各有5名編號為1,2,3,4,5的學生進行投籃練習，每人投10次，投中的次數(shù)如下表：則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個為s2_.5甲、乙兩個野生動物保護區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個保護區(qū)內(nèi)每個季度發(fā)現(xiàn)違反保護條例的事件次數(shù)的分布列分別為甲乙試評定這兩個保護區(qū)的管理水平解：甲保護區(qū)違規(guī)次數(shù)的均值和方差分別為E()00.310.320.230.21.3；D()(01.3)20.3(11.3)20.3(21.3)20.2(31.3)20.21.21.乙保護區(qū)的違規(guī)次數(shù)的均值和方差分別為E()00.110