(推薦)2.3平面向量的基本定理及坐標表示

1、(推薦)2.3平面向量的基本定理及坐標表示ba 向量 與非零向量 共線的充要條件是當 時， 0與 同向，ba且 是 的 倍;|b|a當 時， 0與 反向，ba且 是 的 倍;|b|a|當 時， 00b ，且 。|0b1.復習:.ba有且只有一個實數(shù) ，使得向量共線充要條件ab向量的加法：向量的加法：obcaaboaabbbaba平行四邊形法則三角形法則1e2e ocabmn ocomon 如圖111omoae 1122ocee 1122 +aee 即222onobe a1e2e a給定平面內兩個不共線的向量給定平面內兩個不共線的向量 , ,可表示該平面內任一向量可表示該平面內任一向量a嗎？嗎？

2、21,ee1e2e ocabmna ocomon 如圖111omoae 1122ocee 1122 +aee 即222onobe 1e2e a給定平面內兩個不共線的向量給定平面內兩個不共線的向量e1, , e2, ,可表示該平面內任一向量可表示該平面內任一向量a嗎？嗎？1122 +aee 1122 +aee 這就是說平面內任一向量 都可以表示成的形式平面向量基本定理平面向量基本定理: : 有且只有一對實數(shù)有且只有一對實數(shù) 、 使使21向量，那么對于這一平面內的任向量，那么對于這一平面內的任一向量一向量 如果如果 、 是同一平面內的兩個不是同一平面內的兩個不共線共線2e1e這一平面內所有向量的一

3、組這一平面內所有向量的一組基底基底。我們把不共線的向量我們把不共線的向量 、 叫做表示叫做表示1e2e1 12 2aeea取取,021使使22110ee1e若若a與與 共線，則共線，則02使使2211eea若若, 0a)(2e),0(11e2e aa?思考1 平面內用來表示一個向量的基底有多少組（有無數(shù)組）（有無數(shù)組）baoma1e2eomaabxy12,? 思考2、若基底選取不同 則表示同一向量的實數(shù)是否相同baoma1e2eomaabxy2123eea yxa423 mnnma23例例則下面的四組向量中不能作為一組基底的是則下面的四組向量中不能作為一組基底的是是平面內所有向量的一組基底，是

4、平面內所有向量的一組基底，若若,1e,2e2121,.eeeea12, 216423 .eeeeb12,2133.eeeec212,.eeed（b）例例2 如圖，如圖， 、 不共線，不共線， ， 用用 、 , 表示表示 .oa ob aptab )(rtoa ob op oabp解：解：aptab opoaap abtoa()oa t ao ob oatoatob obtoat)1 (,abcdbcab acad 例3、已知中， 是的中點，則用表示向量abcd【解析】acababacabbcabbdabad2121)(2121向量的夾角與垂直向量的夾角與垂直:oabba兩個非零向量兩個非零向量

5、 和和 ,作作 ， ,則則abaob叫做向量叫做向量 和和 的的夾角夾角oaa obb ab夾角的范圍：夾角的范圍：00180,0180 與與 反向反向aboabab記作記作ab90 與與 垂直，垂直，aboab ab注意注意:兩向量必須兩向量必須是是同起點同起點的的0 與與 同向同向aboabab特別的：特別的：例例4.在等邊三角形中，求在等邊三角形中，求 (1)ab與與ac的夾角；的夾角； (2)ab與與bc的夾角。的夾角。abc60c0120abcdoxyij思考：如圖，在直角坐標系中，如圖，在直角坐標系中，已知已知a(1,0),b(0,1),c(3,4),d(5,7).設設 ，填空：，

6、填空：,oai obj （1）| |_,|_,|_;ijoc（2）若用）若用 來表示來表示 ，則：，則：, i j ,oc od _,_.ocod34ij 57ij 1153547（3）向量）向量 能否由能否由 表示出來？可以的話，如何表示？表示出來？可以的話，如何表示？cd , i j 23cdij 我們知道，在平面直角坐標系中，我們知道，在平面直角坐標系中，每一個點都每一個點都 可用一對有序實數(shù)（即可用一對有序實數(shù)（即它的坐標）表示。對直角坐標平面它的坐標）表示。對直角坐標平面內的每一個向量，能否用坐標表示？內的每一個向量，能否用坐標表示？ 思考？abcdoxyija平面向量的坐標表示平面

7、向量的坐標表示 +aaijxyxy 對對于于該該平平面面內內的的任任一一向向量量 ，有有且且只只有有一一對對實實數(shù)數(shù) 、 ，可可使使 這里，我們把（這里，我們把（x,y）叫做向量的（直角）坐標，記作）叫做向量的（直角）坐標，記作a( , )ax y 其中，其中，x叫做叫做 在在x軸上的坐標，軸上的坐標，y叫做叫做 在在y軸上軸上的坐標，的坐標，式叫做向量的坐標表示。式叫做向量的坐標表示。aa 如圖，如圖， 是分別與是分別與x軸、軸、y軸方軸方向相同的單位向量，若以向相同的單位向量，若以 為基為基底，則底，則, i j , i j (x, y)是把 平移到以原點為起點的向量的終點的坐標. a定義

8、：定義：aij0ao oyxij11221212( ,),(,)ax ybxyabxxyy如如果果, ,那那么么, ,且且例例1.如圖，分別用基底如圖，分別用基底 ， 表示向量表示向量 、 、 、 ，并求出，并求出 它們的坐標。它們的坐標。ijabcd aa1a2解：如圖可知解：如圖可知1223aaaaaij (2,3)a同理同理23( 2,3);23( 2, 3);23(2, 3).bijcijdij 例題例題1122( ,), (,),a x yb xy 若 則ab 問 1 :設 的坐標與 的坐標有何關系? ,aab a ab、1abij1oxyaa1b1(x1,y1)(x2,y2)p(x

9、,y)b2121(,)xx yy結論1:一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段終點的坐標減去始點的坐標。4321-1-2-3-2246ij），（yxp( , )opxiy jx y 向量的坐標與點的坐標關系向量的坐標與點的坐標關系o向量 p（x ，y）一 一 對 應op xiy j小結:對向量坐標表示的理解:(1)任一平面向量都有唯一的坐標;(2)向量的坐標等于終點坐標減去起點坐標；當向量的起點在原點時，向量終點的坐標即為向量的坐標.(3)相等的向量有相等的坐標.),(),(2211yxbyxaba ，若.,),(),(21212211yyxxyxyx即則例1、已知平面a、b、c三點的坐標分別

10、為 （2，1）、（-3，2）、（-1，3）， 寫出向量 , 的坐標;acbc(2,1)bc ( 3,2)ac 1122( ,),(,),( , ),ax ybxyab abax ya 問題: (1)已知 求 的坐標. (2)已知和實數(shù)求 的坐標.（二）平面向量的坐標運算： 1122(1)abx iy jx iy j1212(,)abxxyy同理得(2)(,)axiy jxiy jxy結論2：兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差.結論3：實數(shù)與向量數(shù)量積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標.1212xxiyyj1212(,)xxyya) 3(2121yx b2222yx b

11、a221221)()(yyxx ),(2121yyxxba),(yxa (,)axy二、向量坐標的運算 2211yxbyxa, 設設兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應兩個向量和（差）的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和（差）坐標的和（差）2 (2,1), ( 3,4), , 34 abab abab 例例 ：已已知知求求的的坐坐標標. .(2,1)( 3,4)( 1,5)ab 解解：(2,1)( 3,4)(5, 3)ab 3 4 3(2,1)4( 3,4)(6,3)( 12,16)ab ( 6,19) 例例3 3 已知向量已知向量 與與 , , 求求 的坐標的坐標1, 4 a2 ,

12、5bba32 2, 82a6 ,153 b 4 ,2362,15832 ba解:因為 所以例例4.4.如圖，已知如圖，已知abcdabcd的三個頂點的三個頂點a a，b b，c c的坐標分別是的坐標分別是（-2-2，1 1），（），（-1-1，3 3），（），（3 3，4 4），試求頂點），試求頂點d d的坐標的坐標. .abcdxyo解法：解法：如圖，設頂點如圖，設頂點d d的坐標為（的坐標為（x,yx,y）. . 因因a ab b = =( (- -1 1, ,3 3) )- -( (- -2 2, ,1 1) )= =( (1 1, ,2 2) )， d dc c = =( (3 3,

13、,4 4) )- -( (x x, ,y y) )= =( (3 3- -x x, ,4 4- -y y) )， 由由a ab b = = d dc c，為得得( (1 1, ,2 2) )= =( (3 3- -x x, ,4 4- -y y) )，1 1= =3 3- -x x，所所以以 2 2= =4 4- -y y，解得解得所以頂點所以頂點d d的坐標為（的坐標為（2 2，2 2）. .x =2,x =2,y =2.y =2.-2 -11 2 34 3 21abcdxyo解法解法2 2：如圖，由平行四邊形法則可得如圖，由平行四邊形法則可得 b bd d = = b ba a+ +b b

14、c c = =( (- -2 2- -( (- -1 1) ), ,1 1- -3 3) )+ +( (3 3- -( (- -1 1) ), ,4 4- -3 3) ) = =( (3 3, ,- -1 1) )，而而 o od d = = o ob b+ +b bd d = =( (- -1 1, ,3 3) )+ +( (3 3, ,- -1 1) ) = =( (2 2, ,2 2) )，所以頂點所以頂點d d的坐標為（的坐標為（2 2，2 2）. .-2 -11 2 34 3 21兩個向量共線的充要條件是什么兩個向量共線的充要條件是什么?那么，如何用坐標表示兩個共線向量那么，如何用坐

15、標表示兩個共線向量?.0,2211bababyxbyxa，使當且僅當存在實數(shù)共線，與其中設復習復習.0 )0( 1221時當且僅當共線與yxyxbba推導過程：推導過程：,2121yyxx),(),( 2211yxyxba得：由. 01221yxyx：消去. 0),(),(2211byxbyxa其中設向量共線的坐標表示向量共線的坐標表示:)0(/bba ba. 01221yxyx向量共線的兩個等價條件向量共線的兩個等價條件或5.(4,2),(6,),/ / ,.abyaby例已知且求0264, 6,2 , 4,/yybaba解：3y例例6.設點設點p是線段是線段p1p2上的一點，上的一點，p1

16、、p2的坐標分別是的坐標分別是 。（1）當點）當點p是線段是線段p1p2的中點時，求點的中點時，求點p的坐標；的坐標；（2）當點）當點p是線段是線段p1p2的一個三等分點時，求點的一個三等分點時，求點p的坐標。的坐標。1122( ,),(,)x yxyxyop1p2p(1)(1)m1212121()2(,)22 opopopxxyy 解解：（：（1）所以，點所以，點p的坐標為的坐標為1212(,)22xxyyxyop1p2p例例6.設點設點p是線段是線段p1p2上的一點，上的一點，p1、p2的坐標的坐標分別是分別是 （2）當點）當點p是線段是線段p1p2的一個三等分點時，求點的一個三等分點時，求點p的坐標。的坐標。1122( ,),(,)x yxy 12121111211112121121121212121212121212121 1若若pp =pp ,pp =pp ,則則2 21 1 op = 0p +pp = 0p +p p op = 0p +pp = 0p +p p3 31 1 = 0p + (0p -0p ) = 0p + (0p