工程流體力學(xué)第二章

1、第二章第二章 流體力學(xué)基本方程流體力學(xué)基本方程1. 流體運動的基本概念-流體運動的特征2. 4個重要方程：連續(xù)性方程連續(xù)性方程 根據(jù)質(zhì)量守恒定律導(dǎo)出根據(jù)質(zhì)量守恒定律導(dǎo)出運動方程運動方程 根據(jù)牛頓第二運動定律導(dǎo)出根據(jù)牛頓第二運動定律導(dǎo)出伯努利方程伯努利方程 根據(jù)能量守恒定律導(dǎo)出根據(jù)能量守恒定律導(dǎo)出動量積分方程和動量矩積分方程動量積分方程和動量矩積分方程 根據(jù)動量定理根據(jù)動量定理和動量矩定理導(dǎo)出和動量矩定理導(dǎo)出.這些方程是分析研究和解決流體力學(xué)問題的基礎(chǔ)這些方程是分析研究和解決流體力學(xué)問題的基礎(chǔ).v流體質(zhì)點流體質(zhì)點：是從作為連續(xù)介質(zhì)的流體中取出的是從作為連續(xù)介質(zhì)的流體中取出的宏觀尺宏觀尺度非常小度

2、非常小而而微觀尺度又足夠大微觀尺度又足夠大的任意一個的任意一個物理實體物理實體。它具有它具有 層含義：層含義：宏觀尺度非常小宏觀尺度非常小：幾何尺寸可不計，視為一：幾何尺寸可不計，視為一幾何點幾何點;微觀尺度足夠大微觀尺度足夠大：分子的平均自由行程分子的平均自由行程;包含足夠多分子的物理實體包含足夠多分子的物理實體，也稱，也稱“微團微團”或或“控控制體制體”;形狀可任意劃分形狀可任意劃分；具有一定的物理量具有一定的物理量，如速度、加速度、壓力和密度，如速度、加速度、壓力和密度等等.v空間點空間點: 是一個是一個幾何點幾何點，表示空間位置，表示空間位置。特點一特點一：空間點是空間點是固定不動固定

3、不動的，僅僅是一個幾何位的，僅僅是一個幾何位置置;特點二特點二：同一空間點，不同時刻被：同一空間點，不同時刻被不同的流體質(zhì)點不同的流體質(zhì)點所占據(jù)或經(jīng)過。所占據(jù)或經(jīng)過。1 1拉格朗日拉格朗日(Lagrange)(Lagrange)法法2-1 2-1 描述流體運動的方法描述流體運動的方法 拉格朗日法 從流體質(zhì)點的運動著手,描述每一個流體質(zhì)點自始至終的運動過程.如果知道的了所有流體質(zhì)點的運動規(guī)律,那么整個流體的運動規(guī)律也就清楚了. 是質(zhì)點-時間描述法。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , )xx a b c tyy a b c tzz a b c t質(zhì)點運動的軌跡a, b, c

4、- t = t0 時刻質(zhì)點所在的空間位置坐標(biāo)， 稱為拉格朗日變量，用來指定質(zhì)點。t - 時間變量。速度: xutyvtzwt加速度:222222 xxzuxattvyattwzatt質(zhì)點位置是 t 的函數(shù)，對 t 求導(dǎo)可得速度和加速度： 由于流體質(zhì)點的運動軌跡非常復(fù)雜，而實用上也無須知道個別質(zhì)點的運動情況，所以除了少數(shù)情況外，在工程流體力學(xué)中很少采用拉格朗日法。x, y, z ,t-歐拉變量，其中x，y，z與時間t有關(guān)。歐拉法是常用的方法。2 2歐拉歐拉(Euler)(Euler)法法 歐拉法以以考察不同流體質(zhì)點通過固定空間點的運動情況來了解整個流動空間內(nèi)的流動情況,即著眼于各種運動要素的場分

5、布.流場法,是空間-時間描述法。),(tzyxuuxx),(tzyxuuzz),(tzyxuuyy),(tzyx),(tzyxpp 歐拉法中的加速度歐拉法中的加速度 - - 質(zhì)點速度矢量對時間的變化率。 zuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazuuyuuxuutuazzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx三個分量。zuyuxutzyxuuuuazuyuxutzyxuuuu加速度是流速場的全 導(dǎo)數(shù)。全加速度,隨體導(dǎo)數(shù),質(zhì)點導(dǎo)數(shù)質(zhì)點的加速度包括兩個部分：（1）當(dāng)?shù)丶铀俣龋〞r變加速度,局地加速度） 特定空間點處速度對時間的變化率； （2）遷移加速度（位變加速度,對流加速度） 對應(yīng)于

6、質(zhì)點空間位置改變所產(chǎn)生的速度變化。當(dāng)?shù)丶铀俣冗w移加速度),(tzyxuu dtdzzdtdyydtdxxtdtduuuuua二、跡線 (path line)kjirtcbaztcbaytcbax,dtdvr dttzyxwdztzyxvdytzyxudx,0tt, ,a b c二、流線(streamline)某一時刻處處與速度矢量相切的空間曲線-瞬時性。ddxdydzrijk, , ,x y z tv0vrd),(),(),(tzyxwdztzyxvdytzyxudxv2v1v3v4跡線與流線的區(qū)別例例 已知平面流動 求 t = 0 時，過點 M (-1，-1) 的流線。dxdyxtytlnl

7、nlnx tytc ()()xtytc解解 由式 得將 t = 0，x = -1，y = -1 代入，得瞬時流線 xy = 1, 流線是雙曲線。積分后得到：xyyxudyudxtxuxtyuy三流管三流管, , 流束、流量和平均流速流束、流量和平均流速流管 - 由流線組成的管狀曲面。流束 - 流管內(nèi)的流體。例例 管道內(nèi)、渠道內(nèi)的流動流體可以被當(dāng)成是一個總流?？偭?-多個流束的集合。 過水?dāng)嗝孢^水?dāng)嗝? ,流量流量, ,斷面平均流速斷面平均流速過水?dāng)嗝?與流束或總流流線成正交的斷面。AdA,流量-單位時間內(nèi)通過某一過水?dāng)嗝娴牧黧w體積稱為流量。AAudAdQQ斷面平均流速AQV AVQ 五五一元流

8、一元流, ,二元流二元流, ,三元流三元流一元流動 - 流動參數(shù)只與一個坐標(biāo)變量有關(guān)。x例例二元流動- 流動參數(shù)與兩個坐標(biāo)變量有關(guān)。三元流動(空間流動) - 流動參數(shù)與三個坐標(biāo)變量有關(guān)。),(txuu ),(tzsuu zyMsBBM2.3 連續(xù)性方程連續(xù)性方程V S )(tSSystemControl VolumeVS)(tVControl Surface)(tF微分形式的連續(xù)性方程圖2.3.1 控制體x方向 dt時間內(nèi)流入的流體質(zhì)量tzyvxddd流出的流體質(zhì)量tzyxxvvxxddd)d(X方向質(zhì)量的凈流入量tzyxxvxddddY方向質(zhì)量的凈流入量方向質(zhì)量的凈流入量tzyxyvyddd

9、dZ方向質(zhì)量的凈流入量方向質(zhì)量的凈流入量tzyxzvzdddd控制體內(nèi)流體控制體內(nèi)流體質(zhì)量的增加量質(zhì)量的增加量dxdydzdtt 由質(zhì)量守恒定理得連續(xù)性微分方程0zvyvxvtzyx（2.3.1）均質(zhì)不可均質(zhì)不可壓流體壓流體0zvyvxvzyx0v v不可壓縮流體的二維流動0yvxvyx例例 不可壓縮流體平面流動的速度分布為22 ,uaxyxvxyby 求 a, b 的值。解解 由不可壓縮流體二維流動的連續(xù)性方程知210uvaxxbxy 由此得到 。0.5 , 1ab例 氣體以速度u(x)在多孔壁圓管中流動，管徑為d0，氣體從壁面細孔被吸出的平均速度為v，試證明下式成立04dvxutvdx0d

10、 xu積分形式的連續(xù)性方程單位時間內(nèi)流體流出的質(zhì)量流體流入的質(zhì)量控制體內(nèi)流體質(zhì)量的減少量0CSCVCVCVCSdSdVtdVtdVtdSn nv vn nv v連續(xù)性積分方程（2.3.9）定常流動CSndSv0不可壓縮流體CSndSv02211SvSv定常流動中，定常流動中，從控制體內(nèi)流從控制體內(nèi)流出的質(zhì)量流量出的質(zhì)量流量等于流入控制等于流入控制體的質(zhì)量流量體的質(zhì)量流量對于任意一個流體系統(tǒng)，質(zhì)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達式為0dddddVVttM（2.3.5）對比兩式可得SvVtVtCSnVCVddddd輸運公式SvVtVtCSnVCVddddd任一瞬時，流體系統(tǒng)內(nèi)物理量對時間的變化率等于該瞬時取任一

11、瞬時，流體系統(tǒng)內(nèi)物理量對時間的變化率等于該瞬時取定的控制體內(nèi)物理量的當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)與通過控制面的輸運量之和定的控制體內(nèi)物理量的當(dāng)?shù)貙?dǎo)數(shù)與通過控制面的輸運量之和例 粘性不可壓流體流經(jīng)一圓管，已知進流段速度為均勻的V2，至末端已發(fā)展為完全的拋物線分布，求軸線處的速度Vmax202max11rrvv解：由質(zhì)量守恒定律2max0120220200vvrdrvrvdSvrCSn2.4 運動微分方運動微分方程程理想流體運理想流體運動微分方程動微分方程 圖2.4.1控制體牛頓第二運動定律X方向dtdvxpfdtdvdxdydzdxdydzfdydzxpppdydzxxxx1同理可得tvzpftvypfzzyydd

12、1dd1maF vvvva)(tdtd遷移加速度遷移加速度當(dāng)?shù)丶铀俣犬?dāng)?shù)丶铀俣葰W拉運歐拉運動方程動方程v vv vv v)(1tpf靜止流體靜止流體pp1ff01考慮粘性考慮粘性N-S方程方程v vv vv vv v)(12tpf2.5 伯努利方程伯努利方程伯努利（瑞典），伯努利（瑞典），17381738，流體動力學(xué)流體動力學(xué)“流速增加，壓強降低流速增加，壓強降低”2.5.1 2.5.1 理想流體沿流線的伯努利方程理想流體沿流線的伯努利方程 伯努利方程的推導(dǎo)伯努利方程的推導(dǎo) （1）理想流體）理想流體歐拉運動方程歐拉運動方程（2）定常流動）定常流動0tV（3）質(zhì)量力有勢）質(zhì)量力有勢dzfdyfd

13、xfdzzUdyyUdxxUdUzyx（4）不可壓縮）不可壓縮（5）沿流線積分）沿流線積分dzvdxvdyvdxvvdzvdyvdxxzxyzyxPddP1z單位重量流體的重力勢能單位重量流體的重力勢能 位置水頭位置水頭 pg單位重單位重量量流體的壓強勢能流體的壓強勢能 壓力水頭壓力水頭總機械能總機械能 總水頭總水頭 物理意義 幾何意義單位重量流體的動能單位重量流體的動能 流速水頭流速水頭2gv2gpgvz22伯努利方程伯努利方程Cgpgvz22平面流場平面流場（忽略重力作用）Cp22思 考1. 轎車高速行駛時，為何感覺車身變輕？2. 船舶航行時，船首水位為何會升高？2.5.2 2.5.2 理

14、想流體理想流體總流的伯努利方程總流的伯努利方程動能修正系數(shù)AvAuA3321d21平均流速真實流速與速度分布有關(guān)，分布均勻為1；不均勻大于1。一般取1緩變流緩變流：流線間夾角很小，流線曲率很小，流線幾乎是一些 平行直線的的流動。 特點： （1）質(zhì)量力只有重力 （2）漸變流的過水?dāng)嗝嫔?動水壓強分布規(guī)律于靜水壓強相同,即同一過水?dāng)嗝嫔细鼽c的測壓管水頭為常數(shù)：pzCg緩變流緩變流：流線間夾角很小，流線曲率很小，流線幾乎是一些 平行直線的的流動。 特點： （1）質(zhì)量力只有重力 （2）漸變流的過水?dāng)嗝嫔?動水壓強分布規(guī)律于靜水壓強相同,即同一過水?dāng)嗝嫔细鼽c的測壓管水頭為常數(shù)：pzCg圖2.5.3 理想

15、流體總流假設(shè) A1、A2是緩變流截面，對于微元流束：2211221222pupuzzgggg2211dAudAu通過斷面1和2的能量222222112111d)2(d)2(21AugugpzAugugpzAA2222222211111111)(d)()(d)(21AvgpzAugpzAvgpzAugpzAA由動能修正系數(shù)定義2222222221121111212d22d221AvgvAuguAvgvAuguAA2211AvAvgvgpzgvgpz2222222211112.5.3.2.5.3.實際流體的實際流體的伯努伯努利方程利方程1.沿流線fhgugpzgugpz2222222111能量損失

16、或水頭損失2.總流fhgVgpzgVgpz222222221111伯努利方程應(yīng)用舉例伯努利方程應(yīng)用舉例h01p0p0小孔出流20010112ppVzzggg1101zzh12Vghv2.5.4 相對運動的伯努利方程相對運動的伯努利方程圖2.5.5 葉輪隨體坐標(biāo)系將坐標(biāo)固結(jié)于旋轉(zhuǎn)的葉輪上。r2葉輪的角速度為gfyfxfzyx,22yfyfxfzzUyyUxxUUyyxdddddddgzugzrU2222121Cgugwgpz2222u：隨葉輪旋轉(zhuǎn)的牽連速度w：相對與葉輪的速度B A ABBpp220gHpB)(0hHgpAghppBAB2)(2 2/22121AA22212122pp聯(lián)立求解：聯(lián)

17、立求解：)(1 )2212212AApp（)(1 )221221222AAppAAqV（b b 修正系數(shù)修正系數(shù)，0.950.98 )(1 )2212212AAppAqVb（ghpp)(121)(1 )221212AAghAqVb（例 一大儲水箱底部開有一面積為S0的小圓孔，水在定常出流時，孔口處的速度為v0，試證明距離孔口下面z處的水流截面積為20021vgzss例 兩塊二維平行平板各長2L，相距b，且bL，板間有不可壓流體，當(dāng)上板以緩慢速度v向下板靠攏時，流體從兩側(cè)被擠出，不計粘性作用，求距平板中心x處的流速和壓力2.6 2.6 動量積分方程和動量矩積分方程及其應(yīng)用動量積分方程和動量矩積分

18、方程及其應(yīng)用根據(jù)動量定理：流體系統(tǒng)的動量對時間的變化率等于外界作用在該系統(tǒng)上的合力，即 F Fv vK KVVttddddd由于外力有質(zhì)量力和表面力之分，故上式右邊的等式可寫為SVVtSVVdddddn np pv vf根據(jù)式（2.3.8）可得控制體的動量積分方程SVSvVtSVSnVddddn np pv vv vf f2.6.1 2.6.1 動量積分方程動量積分方程2.6.2 動量矩積分方程 H HF F根據(jù)動量矩定理：流體系統(tǒng)對某點的動量矩對時間的變化率等于外界作用在該系統(tǒng)上的合力對同一點的力矩，即F Fr rv vr rH HVVttdddddSVVtSVVdddddn np pr r

19、r rv vr rf f根據(jù)雷諾輸運方程式（2.3.5）可得控制體的動量矩積分方程SVSvVtSVSnVddddn np pr rr rv vr rv vr rf f關(guān)于控制面（1）與問題有關(guān)的邊界面；（2）已知物理量較多的面；（3）流面即流線組成的面（ vn=0）兩端截面垂直于流線（此時 vn=v）在應(yīng)用控制體的動量積分方程和動量矩積分方程時，還要注意如下幾點：（1）方程是矢量式，為計算方便，要選擇適宜的坐標(biāo)系，以便于求出各項的投影值；（2）法向分量的正負號以控制面外法向為正，向內(nèi)為負；（3）方程未知數(shù)較多時，可聯(lián)立連續(xù)方程和伯努利方程求解；（4）控制面上的壓力計算最好使用相對壓強 2.6.

20、3 2.6.3 動量積分方程和動量矩積分方程的應(yīng)用動量積分方程和動量矩積分方程的應(yīng)用app 動量方程求解步驟動量方程求解步驟:(1)建立坐標(biāo)系, 標(biāo)出控制體(2)分析控制體所受到的力，表明控制面上各種參數(shù)(3)分析動量的變化 (流出減流進, 速度投影有正負)，列動量方程。2.6.3 動量積分方程和動量矩積分方程的應(yīng)用 (a)(b)(c)圖2.6.1 水流對彎管的作用力1. 水流對彎管的作用力動量方程為)()()(12222111v vv vn nn nF FQAppAppaain1sincos2jinsin)(sincos)()()cos(222221112AppQvFAppAppvvQFayaax水流對彎管作用力的兩個分量可寫為 固定此段彎管所需的外力為sin)(sincos)()()cos(222221112AppQvFAppAppvvQFayaax例例 求射流對斜置平板(單位厚度)的作用力F。 設(shè)：流量為 Q，速度為V，