圓錐曲線中的最值問題2名師課件

1、求圓錐曲線的最值求圓錐曲線的最值 常用哪些方法？常用哪些方法？ 圓錐曲線中的最值問題（二）圓錐曲線中的最值問題（二） xy例例1 .設(shè)實數(shù)設(shè)實數(shù)x，y滿足滿足? ? ?1169則則3x? ?4y的最大值是的最大值是 _12 2，? ?12 2.最小值是最小值是 _22y 參數(shù)參數(shù) 法法 判別式法判別式法 x 3O (t,0 )3x? ?4y? ?t想想一一想想 1 .若將橢圓換成雙曲線、若將橢圓換成雙曲線、拋物線又如何進行換元拋物線又如何進行換元呢？呢？22xy2? ?2? ? 1y? ? 2px2aby? ?42 .若將若將3x? ?4y換成換成如何求其范圍呢？如何求其范圍呢？x? ?3y

2、Q(3,4) 利用幾何意義：看成利用幾何意義：看成PQ 的斜率的斜率 x k2P O k? ? ? ? ? ?,k1? ? ? ?k2,? ?k1圓錐曲線中的最值問題（二）圓錐曲線中的最值問題（二） xyA、B是橢圓是橢圓? ? ?1變變 如圖，已知如圖，已知169題題 的兩個頂點，的兩個頂點， C、D是橢圓上兩點，是橢圓上兩點，且分別在且分別在 AB兩側(cè)，則四邊形兩側(cè)，則四邊形 ABCD22y B C A x O D 12 2.面積的最大值是面積的最大值是_xy例例1 .設(shè)實數(shù)設(shè)實數(shù)x，y滿足滿足? ? ?1169則則3x? ?4y的最大值是的最大值是 _12 2，? ?12 2.最小值是最

3、小值是 _22y 3O (t,0 )x 3x? ?4y? ?t圓錐曲線中的最值問題（二）圓錐曲線中的最值問題（二） xyA、B是橢圓是橢圓? ? ?1變變 如圖，已知如圖，已知169題題 的兩個頂點，的兩個頂點， C、D是橢圓上兩點，是橢圓上兩點，且分別在且分別在 AB兩側(cè)，則四邊形兩側(cè)，則四邊形 ABCD22y B C A x O D 12 2.面積的最大值是面積的最大值是_y y P O l B P 知知 識識 遷遷 移移 x O A x 求拋物線上一動點求拋物線上一動點P到到定直線定直線 l的距離的最小值的距離的最小值求求S? ? PAB的最大值的最大值圓錐曲線中的最值問題（二）圓錐曲線

4、中的最值問題（二） 例例2. P為拋物線為拋物線 x? ?4y上的一動點，定點上的一動點，定點A(8,7)，則，則P到到9 x軸與到軸與到 A 點的距離之和的最小值點的距離之和的最小值為為 _.2x方法一：建立目標(biāo)函數(shù)方法一：建立目標(biāo)函數(shù) 設(shè)設(shè)P(x, y)，則，則y? ?422xx2222d? ?y? ?(x? ?8 )? ?(y? ?7)? ? ?(x? ?8 )? ?(? ?7 )44方法二：數(shù)形結(jié)合法方法二：數(shù)形結(jié)合法 y P y P 2A F A F O x O x Q 例3備 圓錐曲線中的最值問題（二）圓錐曲線中的最值問題（二） 22xy變變 F是是? ? ?1 的右焦點，的右焦點

5、， P是其上一點，定點是其上一點，定點B(2,1 ).25917 5則則 |PB|? ?|PF |的最小值的最小值 ? ?_;|PB|? ?|PQ|4題題 410? ?37.|PB|? ?|PF |的最小值的最小值 ? ?_y P B O F Q y P B P1 F1 O F P2 x x 利用圓錐曲線的定義將利用圓錐曲線的定義將 折線段和折線段和的問題的問題化歸化歸為平面上為平面上直線段最短直線段最短來解決來解決. 小 結(jié) 圓錐曲線中的最值問題（二）圓錐曲線中的最值問題（二） y 例例3. 如圖，已知梯形如圖，已知梯形ABCD中中 | AB |? ?2|CD |，點點E分有向線段分有向線段

6、AC所成的比為所成的比為? ?，雙曲線過，雙曲線過 C、2 3D、E三點，且以三點，且以 A、B為焦點為焦點 . 當(dāng)當(dāng)? ? ? ， 時，時，3 4求雙曲線離心率求雙曲線離心率e的最值的最值 .D C E O A B x 轉(zhuǎn)移法轉(zhuǎn)移法 解：建立如圖所示的直解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系角坐標(biāo)系.雙曲線過雙曲線過C、D以以A、B為焦點，由雙曲線的對為焦點，由雙曲線的對稱性知稱性知C、D關(guān)于關(guān)于y軸對稱軸對稱 .22cxyc記記A(? ?c,0)則則C(,h)E(x0,y0)設(shè)雙曲線的方程為設(shè)雙曲線的方程為? ?2? ? 1，則，則e? ?22aba? ?h(? ? ?2)c由定比分點坐標(biāo)公式得由定

7、比分點坐標(biāo)公式得：x0? ?，y0? ?2 (? ? ?1 )? ? ? 1222222cehe? ? ? ?2? ? ? ? ?h將將C、E坐標(biāo)和坐標(biāo)和 e? ?代入雙曲線得：代入雙曲線得：? ?2? ?1和和? ? ? ? ? ? ?2? ?1a4b4? ? ? ?1? ? ?1? ? ? ?bh2e23消去消去2整理得到：整理得到：(4? ?4? ?)? ?1? ?2? ?，即：，即：? ? ?1? ?2b4e? ?22 3由由? ? ?，可以解出：可以解出： e ? ? 7, 10 則則e的最小值為的最小值為7，最大值為，最大值為10 .3 4圓錐曲線中的最值問題（二）圓錐曲線中的最值

8、問題（二） 22xy例例3 . 已知已知e1，e2是共軛雙曲線是共軛雙曲線2? ?2? ? ? ?1 (a? ?0 ，b? ?0 )的離的離ab2 2.心率，則心率，則e1? ?e2的最小值是的最小值是_22xy想想 1. 已知雙曲線已知雙曲線? ? ?1 ，過其右焦點，過其右焦點 F的直線的直線 l交交169一一 2 個個.雙曲線于雙曲線于 AB，若，若 | AB|? ?5 ，則直線，則直線 l有有 _y 想想 y P O 22F x F1 O F2 x xy2 .已知橢圓已知橢圓2? ?2? ?1 的焦點的焦點F1，F(xiàn)2，若在橢圓上存在一點，若在橢圓上存在一點 Pab2?e1 使得使得?

9、?F1PF2? ?90，求離心率，求離心率e的取值范圍的取值范圍.2圓錐曲線中的最值問題（二）圓錐曲線中的最值問題（二） 小結(jié)：小結(jié)： 1. 掌握求圓錐曲線中的有關(guān)最值的基本方法：建立目標(biāo)函數(shù)，掌握求圓錐曲線中的有關(guān)最值的基本方法：建立目標(biāo)函數(shù)， 利用函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)以及通過參數(shù)法、換元法、利用函數(shù)的性質(zhì)和不等式的性質(zhì)以及通過參數(shù)法、換元法、 判別式法、幾何法等途徑來解決判別式法、幾何法等途徑來解決. 2. 解析幾何是研究解析幾何是研究“形形”的科學(xué)，在求圓錐曲線的最值問題的科學(xué)，在求圓錐曲線的最值問題時時 要善于結(jié)合圖形，通過數(shù)形結(jié)合將抽象的問題、繁雜的問題要善于結(jié)合圖形，通過數(shù)形結(jié)

10、合將抽象的問題、繁雜的問題 化歸為動態(tài)的形的問題，從而使問題順利解決化歸為動態(tài)的形的問題，從而使問題順利解決. 3. 涉及焦半徑、焦點弦的問題要靈活地利用圓錐曲線的定義涉及焦半徑、焦點弦的問題要靈活地利用圓錐曲線的定義 去研究解決，涉及中點弦的問題要善于使用去研究解決，涉及中點弦的問題要善于使用“點差法點差法”， 即即 “設(shè)而不求設(shè)而不求”的數(shù)學(xué)思想解決問題。的數(shù)學(xué)思想解決問題。 圓錐曲線中的最值問題（二）圓錐曲線中的最值問題（二） 課后練習(xí)：課后練習(xí)： 1.已知點已知點F1(? ?3,0)、F2(3,0)，求與直線，求與直線x? ?y? ?9? ?0有公共點的橢圓有公共點的橢圓中長軸最短的橢圓方程中長軸最短的橢圓方程.y2.已知雙曲線已知雙曲線 x? ? ?1 上動點上動點 P和定點和定點 A(2,1)，且，且 F為雙曲線的為雙曲線的31右焦點，求右焦點，求 | PA|? ?|PF |的最小值的最小值 .2223.長度為長度為 3 的線段的線段 AB的兩個端點在拋物線的兩個端點在拋物線y? ?x上移動，上移動，線段線段 AB的中點為的中點為 M，求點，求點 M到到y(tǒng)軸距離的最小值軸距離的