平面向量的坐標(biāo)表示

1、7.2.2 平面向量的坐標(biāo)表示7.2.3 共線向量的坐標(biāo)表示課 型： 新授課 課 時(shí)：1 課時(shí) 一、教材分析1. 前面學(xué)習(xí)了平面向量的坐標(biāo)表示 , 實(shí)際是平面向量的代數(shù)表示 .在引入了 平面向量的坐標(biāo)表示后可使向量完全代數(shù)化 ,將數(shù)與形緊密結(jié)合起來(lái) , 這就可以 使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟知的數(shù)量運(yùn)算 .2. 本小節(jié)主要是運(yùn)用向量線性運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律 , 推導(dǎo)兩個(gè)向 量的和的坐標(biāo)、差的坐標(biāo)以及數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算 . 推導(dǎo)的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用向量線性 運(yùn)算的交換律、結(jié)合律和分配律 .3. 引進(jìn)向量的坐標(biāo)表示后 , 向量的線性運(yùn)算可以通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)實(shí)現(xiàn) , 一個(gè) 自然的想法是向量的某些關(guān)

2、系 , 特別是向量的平行、垂直,是否也能通過(guò)坐標(biāo)來(lái)研 究呢?前面已經(jīng)找出兩個(gè)向量共線的條件 （如果存在實(shí)數(shù) ,使得 a b,那么 a與b共線）, 本節(jié)則進(jìn)一步地把向量共線的條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表示 . 這種轉(zhuǎn)化是比 較容易的 ,只要將向量用坐標(biāo)表示出來(lái) , 再運(yùn)用向量相等的條件就可以得出平面 向量共線的坐標(biāo)表示 .要注意的是 ,向量的共線與向量的平行是一致的 . 二、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能目標(biāo)進(jìn)一步掌握平面向量正交分解及其坐標(biāo)表示；會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、 減及數(shù)乘運(yùn)算；會(huì)推導(dǎo)并熟記兩向量共線時(shí)坐標(biāo)表示的充要條件 .2、過(guò)程與方法 在平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上得到平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及向量平行

3、 的坐標(biāo)表示；最后通過(guò)講解例題， 鞏固知識(shí)結(jié)論， 能利用兩向量共線的坐標(biāo)表示 解決有關(guān)綜合問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用能力 .3、情感態(tài)度與價(jià)值觀 通過(guò)學(xué)習(xí)向量共線的坐標(biāo)表示，讓學(xué)生領(lǐng)悟到數(shù)形結(jié)合的思想；使學(xué)生認(rèn)識(shí) 事物之間的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生辨證思維能力；培養(yǎng)學(xué)生勇于創(chuàng)新的精神 .、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn) ：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 .難點(diǎn) ：對(duì)平面向量共線的坐標(biāo)表示的理解 .四、教學(xué)過(guò)程1、創(chuàng)設(shè)情境前面，我們學(xué)習(xí)了平面向量可以用坐標(biāo)來(lái)表示，并且向量之間可以進(jìn)行坐標(biāo) 運(yùn)算。這就為解決問(wèn)題提供了方便。 我們又知道共線向量的條件是當(dāng)且僅當(dāng)有一 個(gè)實(shí)數(shù) ,使得 a b，那么這個(gè)條件是否也能用坐標(biāo)來(lái)表示呢？ 復(fù)習(xí)引入

4、：平面向量的坐標(biāo)表示分別取與 x軸、 y軸方向相同的兩個(gè)單位向量 i、j 作為基底.任作一個(gè)向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) x 、 y ，使得a xi yj把 (x, y)叫做向量 a的(直角)坐標(biāo)，記作 a (x,y)其中 x叫做 a在x軸上的坐標(biāo)， y叫做 a在 y軸上的坐標(biāo)， 特別地， i (1,0) ， j (0,1) ，0 (0,0). 因此，我們有必要探究一下這個(gè)問(wèn)題：兩向量共線的坐標(biāo)表示。2、新知探究(1)問(wèn)題 1：我們研究了平面向量的坐標(biāo)表示 , 現(xiàn)在已知 a (x1, y1),b (x2, y2),你能得出 a b,a b, a 的坐標(biāo)表示嗎 ?活動(dòng): 教師

5、讓學(xué)生通過(guò)向量的坐標(biāo)表示來(lái)進(jìn)行兩個(gè)向量的加、 減運(yùn)算,教師可以讓學(xué)生到黑板去板書步驟 .可得:a b (x1iy1j)(x2i y2 j) (x1 x2)i (y1 y2) j即a b (x1x2,y1y2)a b (x1i y1j) (x2i y2j) (x1 x2)i (y1 y2)ja (x1i y1 j) x1i y1 j 即 a ( x1, y1)結(jié)論 : 兩個(gè)向量的和與差的坐標(biāo)等于兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差； 數(shù)乘向量的坐標(biāo)等于數(shù)乘上向量相應(yīng)坐標(biāo)的積 .例 1：已知 ar =(2 ,1) ， b =(-3 ,4) ，求 ar +b ，ar - b，3ar +4b.解： a b (2,

6、1) ( 3,4) (2 3,1 4) ( 1,5)a b (2,1) ( 3,4) (2 ( 3),1 4) (5, 3)3a 4b 3(2,1) 4( 3,4) (6,3) ( 12,16) (6 12,3 16) ( 6,19) r r r r r r練習(xí)：已知 a=(-2 ,4) ，b=(1 ,2) ，求a+b，-3 a-2b.(2)問(wèn)題 2：如何用坐標(biāo)表示兩個(gè)共線向量 ?若 a (x1,y1),b (x2, y2), 那么y1 y2 是向量 a,b 共線的什么條件 ?活動(dòng): 教師引導(dǎo)學(xué)生類比直線平行的特點(diǎn)來(lái)推導(dǎo)向量共線時(shí)的關(guān)系 .此處教師要對(duì)探究困難的學(xué)生給以必要的點(diǎn)撥 : 設(shè)a (

7、x1,y1),b (x2,y2),其中 b 實(shí)數(shù) , 使得 a 如果用坐標(biāo)表示 ,可寫為(x1,y1)0.我們知道 , a,b共線,當(dāng)且僅當(dāng)存在 b(x2, y2).x1x2y1y2消去 后得x1y2 x2 y1 0.這就是說(shuō) , 當(dāng)且僅當(dāng) x1y2 x2y1 0時(shí)向量 a,b ( b 0) 共線.又我們知道 x1y2 x2y1 0與 x1y2 x2 y1x 是等價(jià)的 ,但這與 y1 y2 是不等價(jià)的 . x1 x2因?yàn)楫?dāng) x1 x2 0 時(shí), x1y2 x2y10成立,但 y1y2均無(wú)意義.x1x2因此 y1 y2 是向量 a,b 共線的充分不必要條件 x1 x2注：1消去 時(shí)不能兩式相除

8、, y1, y2有可能為 0,而b 0,x1,y2中至少有一 個(gè)不為 0.abx1y2 x2 y1 02充要條件不能寫成 y1 y2 ( x1,x2有可能為 0). x1 x23從而向量共線的充要條件有兩種形式 : a b (b 0)3、典型例題例1已知a (4,2) ， b (6,y)，且ab，求 y. 解： ar /br ， 4y 2 6 0 y 3點(diǎn)評(píng)：利用平面向量共線的充要條件直接求解 .變式訓(xùn)練：已知平面向量 a (1,2) ，b ( 2,m) ，且a/b，則2a 3b等例2: 已知A( 1, 1) ， B(1,3) ， C(2,5) ，試判斷A 、 B 、 C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系解:

9、在平面直角坐標(biāo)系中做出 A、 B、C 點(diǎn)共線，下面給出證明 .uuur uuur AB (1 ( 1),3 ( 1) (2, 4) ， AC 又 2 6 3 4 0，uuur uuur AB/ AC .直線 AB 、直線 AC 有公共點(diǎn) A 點(diǎn)評(píng): 若從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)向量共線 變式訓(xùn)練 2：若 A( x，-1)例 3：設(shè)點(diǎn) P是線段 P1P2 上的一點(diǎn)B（1 ，3） ，C（2 ，5）P1、點(diǎn)，觀察圖形我們猜想 A、 B、C 三(2 ( 1),5 ( 1) (3,6) ， A ， B ， C 三點(diǎn)共線則這兩個(gè)向量的三個(gè)頂點(diǎn)共線 .三點(diǎn)共線，則 x 的值為 P2 的坐標(biāo)分別是 (x1,y1),(

10、x2,y2).(1) 當(dāng)點(diǎn) P是線段 P1P2 的中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)； (2) 當(dāng)點(diǎn) P是線段 P1P2的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo) .x解：（1）如圖（1）由向量的線性運(yùn)算可知 OP12 (OP1 OP2)x1 x2 y1 y2所以，點(diǎn) P的坐標(biāo)為 x12x2,y12y2P 是線段2）如圖，當(dāng)點(diǎn)P1P2 的一個(gè)三等分點(diǎn)時(shí)，有兩種情況，即P1P 1 PP2 或P1P212PP2 .如果 P1P 1 PP2 (圖22）, 那么OP OP1P1POP113P1P2OP1(OP2OP1)2OP1 1OP23 1 3 22x1 x2 2y1y2即點(diǎn) P 的坐標(biāo)為：2x1 x2 2y1 y233同理，如果 P1P 2PP2時(shí)（圖（3），那么點(diǎn) P的坐標(biāo)為： x1 32x2 , y1 32y2點(diǎn)評(píng): 此題實(shí)際上給出了線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式和線段三等分點(diǎn)坐標(biāo)公式 .4、課堂小結(jié)熟悉平面向量共線充要條件的兩種表達(dá)形式；會(huì)用平面向量平行的充要條件的坐標(biāo)形式證明三點(diǎn)共線和兩直線平行；