線性方程組在數(shù)學(xué)上應(yīng)用

1、個人收集整理僅供參考學(xué)習線性方程組在現(xiàn)代數(shù)學(xué)上地應(yīng)用一問題工程技術(shù)中許多問題都可以歸結(jié)為求解大型矩陣A 構(gòu)成地線性方程組Axd（1）問題常用地求解線性方程組地方法有Gauss 消去法，三角分解法和迭代法，若方程組 (1)為病態(tài)方程組： 即系數(shù)矩陣 A或右端常數(shù)項 d 有一個微小變化時， 引起方程組地解地巨大變化， 這樣地方程組稱為病態(tài)方程組， 但是病態(tài)方程組用 Gauss消去法，三角分解法或迭代法求解誤差都是很大地.b5E2RGbCAP一般來講有下列性質(zhì)地方程組為病態(tài)方程組（1） 用主元消去法求解時出現(xiàn)小主元（2） 矩陣某些行或列幾乎線性相關(guān)（3） 矩陣 A 地元素間數(shù)量相差很大且無規(guī)律對于病

2、態(tài)方程組用正常地 Gauss消去法，三角分解法或迭代法求解誤差通常會很大，今天我們介紹一種用 Schmidt 正交化技術(shù)求解線性方程組地新方法.這種方法只要矩陣 A 非奇異，就可以求出方程組地精確解.p1EanqFDPw二：用 Schmidt 正交化技術(shù)求解線性方程組1 Schmidt 正交化00設(shè) eii1為 Rn 中地向量，則 e1 , e2en 為 R n 中地標準正交基， 若 A 非奇異，00則 AT 為非奇異矩陣，令biATeii 1,2,3n 則 bi為 R n 中 n 個線性無關(guān)地向量下面對 R n 中地 n 個線性無關(guān)地向量組 bi in1 由行 Schmidt 標準正交化記b

3、1| b1|21b1 b1 b1 / |b1 | b1 | b1|2nnn(x, yRn ,x, yxi yi | x |22x, xxi2 ,| x |2xi2 )111記 b2b221b10令 (b2 , b1 ) (b2 ,b1 )21 (b1, b1 ) (b2, b1 )21則 21(b2 ,b1 )1 / 8個人收集整理僅供參考學(xué)習令b2|b2|b2 |2 b2b2| b2 |2記 b3 b332 b132 b2 0令 (b3 , b1 )(b3 ,b1 )31 (b1 ,b1 )32 (b2 ,b1)31(b3 , b1 ) 令 (b3 ,b2 ) (b3 , b2 )31 (b

4、1, b2 )32 (b2, b2 ) 032 (b3 , b2 )記b3 0b3(|b3 |21, (b3 , b2 ) 0, (b3, b1)| b3 |2一般設(shè) bkbkk 1b1k 2b2k, k 1bk 1令)0( b k , bi )(b k , b iki) i1,2k1ki(bk , bi記bk|20i1,2k 1)bk|2則 (| bk1, (bk , bi )| bk則nn中地標準正交基 bk k 1 為 R2，求解方程組（1）Ax d，其 中A R n n d Ae t0 d (d1, d 2dn )TRn x ( x1 , x2 xn ) TR n則 n為n中地標準正交

5、基xnbk k1RRn x( x, bk )bkk 1kik bkk 1,2n ik 稱為 Schmidt 正交化系數(shù)設(shè) bki 1n則有x( x,bk )bkk12 / 8個人收集整理僅供參考學(xué)習nk( x,bi )bkk1i1nkk1i1ik ( x, bi )bknkTik ( x, A,ei)bkk1i1nkik ( Ax, ei )bkk1i1nkik (d , ei )bkk1i1nkik d i bkk1i1要求方程組（ 1）地解，將 bk ,ik 求出代入上式得到方程組地特殊解算法設(shè)計第一步：先求出 bkbk AT ek k1,2n第二步：對n進行 Schmidt 正交化，求標

6、準正交基 nbk k 1bk k 1（ 2,1） b1b1b1b1b1 b1| b1 |2|b1 |2x12x22xn2（ 2,2）對 k2,3n（2,2,1）先求 k1,2k1(bk , bi ) i（2,2,2）令 bkbkk1b1k,k 1 bk 1（2.2.3） | bk|2bk21bk22bkk21bk/ |bk|2（2.2.4） bkn地標準正交基n得到 R bk k1第三步：求 Schmidt 正交系數(shù)kjk 令jk b jbkj 13 / 8個人收集整理僅供參考學(xué)習3,1k1時11b111b11b1b112b122b1nnb111|b1 |2| b1|2k 2時b2b2b221

7、 11b121b1?112111bb2(b2b1 )12b122 b22| bk|2| b2 |2| b2 |2122111221|b2|2| b2|2求出 1222k3時已知11, 12 ,22求 13,23 ,333,2設(shè)11 ,12 ,221 k ,2kk1k 已經(jīng)求出，欲求 kk 時 1k , 2kkkbkbkk1i1ki bibkk1iji b jkii1j 1k1k1bk(ikji )b jj1iji11k11b1i22 k 12 b12 k 22b2i33k13b13k23b23k33b3i k 1k 1k 1k 11k 1k 2 k 1 b2k 1k 1 k 1k 1 bk 1

8、按行加轉(zhuǎn)換為按列加k1ik1k1kiji bj(ikji)b ji1j 1j1ijbkbk1k 1k 1k(ikji )b jjk b jbk| bk |2| bk |2| bk |2j 1 i jj 1k11ikjiijkk,jk| bk |2| bk |24 / 8個人收集整理僅供參考學(xué)習注：| bk|2 還可以用定義來計算bkk 1bkjk b jj 1bkk 1bkjk b jj 1kk 1|bk22|jk |222|2| bk |2| bk |2jkj 1j 12k 12| bk |2 | bk |2jkj 1第四步：代入公式求解nkxik d i bkk1 i1第五步估計誤差：一般

9、用Hilber 矩陣做例子11123111H 3342111345三，積分方程地數(shù)值解u( s)bk (s,t )u(t )dt f (s)（ 1）af (s) 以離散形式地和，即f ( s) 以數(shù)值形式地和， k( s, t), 已知，求此方程地解 u(s)即已知n0求出是方程（ 1）地函數(shù)u(Sk) 近似值，若u(s)是方程（ ） f ( Sk ) k1地解則 u(s)bk(s, t )u(t )dtf (s)方程在 sSk 上精確成立即有au( Sk )bf ( Sk ) k（2）k (Sk ,t)u(t)dt1,2 nabk (Sk ,t)u(t) dt 數(shù)值近似計算曲邊梯形面積ank

10、( Sk , S j )u(S j ) Sjj1（ 2）化為5 / 8個人收集整理僅供參考學(xué)習nu( Sk )k( Sk , S j )u(S j )S jf (Sk ) k 1,2n u(Sk ) 未知j1第 1個方程k1 時nu( S1 )k(S1 , Sj )u( Sj )Sjf ( S1 )j 1(1k( S1 ,S1 )S1 )u( S1 )k (S1, S2 ) S2 u( S2 )k( S1, Sn ) Snu(Sn )f (S1 )第 k 個方程nu( Sk )k (Sk , Sjk )u( Sj ) Sjf ( Sk )j1k( Sk , S1 ) S1u(S1 )k(Sk

11、, S2 ) S2 u(S2 )k (Sk , Sn ) Snu(Sn )f (Sk )kjk( Sk , Sj ) Sj j kakk1k(Sk , Sk )Sknakj u( Sj )f (Sk ) k1,2n解方程組得函數(shù)解 u(Sk )j 1算例u( s) s, k (s, t)est1est tdtf ( s)s01 stts1 tseetdete dte00f (s)sesu( s)1ses0es t u(t )dt精確解為 u(s)s版權(quán)申明本文部分內(nèi)容，包括文字、圖片、以及設(shè)計等在網(wǎng)上搜集整理.版權(quán)為個人所有This articleincludessome parts,incl

12、udingtext,pictures,and design. Copyright is personal ownership.DXDiTa9E3d用戶可將本文地內(nèi)容或服務(wù)用于個人學(xué)習、研究或欣賞，以及其他非商業(yè)性或非盈利性用途， 但同時應(yīng)遵守著作權(quán)法及其他相關(guān)法律6 / 8個人收集整理僅供參考學(xué)習地規(guī)定，不得侵犯本網(wǎng)站及相關(guān)權(quán)利人地合法權(quán)利. 除此以外，將本文任何內(nèi)容或服務(wù)用于其他用途時，須征得本人及相關(guān)權(quán)利人地書面許可，并支付報酬 . RTCrpUDGiTUsers may use the contents or services of this article for personal s

13、tudy, research or appreciation, and other non-commercial or non-profit purposes, but at the same time, they shall abide by the provisions of copyright law and other relevant laws, and shall not infringe upon the legitimaterights of this website and its relevant obligees. In addition, when any conten

14、t or service of this article is used for other purposes, written permission and remuneration shall beobtained from the person concerned and the relevantobligee.5PCzVD7HxA轉(zhuǎn)載或引用本文內(nèi)容必須是以新聞性或資料性公共免費信息為使用目地地合理、善意引用，不得對本文內(nèi)容原意進行曲解、修改，并自負版權(quán)等法律責任. jLBHrnAILgReproduction or quotation of the content of this articlemust be reasonable and good-faith citation for the