線性方程組在數(shù)學(xué)上應(yīng)用

1、個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)線性方程組在現(xiàn)代數(shù)學(xué)上地應(yīng)用一問題工程技術(shù)中許多問題都可以歸結(jié)為求解大型矩陣A 構(gòu)成地線性方程組Axd（1）問題常用地求解線性方程組地方法有Gauss 消去法，三角分解法和迭代法，若方程組 (1)為病態(tài)方程組： 即系數(shù)矩陣 A或右端常數(shù)項(xiàng) d 有一個微小變化時， 引起方程組地解地巨大變化， 這樣地方程組稱為病態(tài)方程組， 但是病態(tài)方程組用 Gauss消去法，三角分解法或迭代法求解誤差都是很大地.b5E2RGbCAP一般來講有下列性質(zhì)地方程組為病態(tài)方程組（1） 用主元消去法求解時出現(xiàn)小主元（2） 矩陣某些行或列幾乎線性相關(guān)（3） 矩陣 A 地元素間數(shù)量相差很大且無規(guī)律對于病

2、態(tài)方程組用正常地 Gauss消去法，三角分解法或迭代法求解誤差通常會很大，今天我們介紹一種用 Schmidt 正交化技術(shù)求解線性方程組地新方法.這種方法只要矩陣 A 非奇異，就可以求出方程組地精確解.p1EanqFDPw二：用 Schmidt 正交化技術(shù)求解線性方程組1 Schmidt 正交化00設(shè) eii1為 Rn 中地向量，則 e1 , e2en 為 R n 中地標(biāo)準(zhǔn)正交基， 若 A 非奇異，00則 AT 為非奇異矩陣，令biATeii 1,2,3n 則 bi為 R n 中 n 個線性無關(guān)地向量下面對 R n 中地 n 個線性無關(guān)地向量組 bi in1 由行 Schmidt 標(biāo)準(zhǔn)正交化記b

3、1| b1|21b1 b1 b1 / |b1 | b1 | b1|2nnn(x, yRn ,x, yxi yi | x |22x, xxi2 ,| x |2xi2 )111記 b2b221b10令 (b2 , b1 ) (b2 ,b1 )21 (b1, b1 ) (b2, b1 )21則 21(b2 ,b1 )1 / 8個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)令b2|b2|b2 |2 b2b2| b2 |2記 b3 b332 b132 b2 0令 (b3 , b1 )(b3 ,b1 )31 (b1 ,b1 )32 (b2 ,b1)31(b3 , b1 ) 令 (b3 ,b2 ) (b3 , b2 )31 (b

4、1, b2 )32 (b2, b2 ) 032 (b3 , b2 )記b3 0b3(|b3 |21, (b3 , b2 ) 0, (b3, b1)| b3 |2一般設(shè) bkbkk 1b1k 2b2k, k 1bk 1令)0( b k , bi )(b k , b iki) i1,2k1ki(bk , bi記bk|20i1,2k 1)bk|2則 (| bk1, (bk , bi )| bk則nn中地標(biāo)準(zhǔn)正交基 bk k 1 為 R2，求解方程組（1）Ax d，其 中A R n n d Ae t0 d (d1, d 2dn )TRn x ( x1 , x2 xn ) TR n則 n為n中地標(biāo)準(zhǔn)正交

5、基xnbk k1RRn x( x, bk )bkk 1kik bkk 1,2n ik 稱為 Schmidt 正交化系數(shù)設(shè) bki 1n則有x( x,bk )bkk12 / 8個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)nk( x,bi )bkk1i1nkk1i1ik ( x, bi )bknkTik ( x, A,ei)bkk1i1nkik ( Ax, ei )bkk1i1nkik (d , ei )bkk1i1nkik d i bkk1i1要求方程組（ 1）地解，將 bk ,ik 求出代入上式得到方程組地特殊解算法設(shè)計(jì)第一步：先求出 bkbk AT ek k1,2n第二步：對n進(jìn)行 Schmidt 正交化，求標(biāo)

6、準(zhǔn)正交基 nbk k 1bk k 1（ 2,1） b1b1b1b1b1 b1| b1 |2|b1 |2x12x22xn2（ 2,2）對 k2,3n（2,2,1）先求 k1,2k1(bk , bi ) i（2,2,2）令 bkbkk1b1k,k 1 bk 1（2.2.3） | bk|2bk21bk22bkk21bk/ |bk|2（2.2.4） bkn地標(biāo)準(zhǔn)正交基n得到 R bk k1第三步：求 Schmidt 正交系數(shù)kjk 令jk b jbkj 13 / 8個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)3,1k1時11b111b11b1b112b122b1nnb111|b1 |2| b1|2k 2時b2b2b221

7、 11b121b1?112111bb2(b2b1 )12b122 b22| bk|2| b2 |2| b2 |2122111221|b2|2| b2|2求出 1222k3時已知11, 12 ,22求 13,23 ,333,2設(shè)11 ,12 ,221 k ,2kk1k 已經(jīng)求出，欲求 kk 時 1k , 2kkkbkbkk1i1ki bibkk1iji b jkii1j 1k1k1bk(ikji )b jj1iji11k11b1i22 k 12 b12 k 22b2i33k13b13k23b23k33b3i k 1k 1k 1k 11k 1k 2 k 1 b2k 1k 1 k 1k 1 bk 1

8、按行加轉(zhuǎn)換為按列加k1ik1k1kiji bj(ikji)b ji1j 1j1ijbkbk1k 1k 1k(ikji )b jjk b jbk| bk |2| bk |2| bk |2j 1 i jj 1k11ikjiijkk,jk| bk |2| bk |24 / 8個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)注：| bk|2 還可以用定義來計(jì)算bkk 1bkjk b jj 1bkk 1bkjk b jj 1kk 1|bk22|jk |222|2| bk |2| bk |2jkj 1j 12k 12| bk |2 | bk |2jkj 1第四步：代入公式求解nkxik d i bkk1 i1第五步估計(jì)誤差：一般

9、用Hilber 矩陣做例子11123111H 3342111345三，積分方程地?cái)?shù)值解u( s)bk (s,t )u(t )dt f (s)（ 1）af (s) 以離散形式地和，即f ( s) 以數(shù)值形式地和， k( s, t), 已知，求此方程地解 u(s)即已知n0求出是方程（ 1）地函數(shù)u(Sk) 近似值，若u(s)是方程（ ） f ( Sk ) k1地解則 u(s)bk(s, t )u(t )dtf (s)方程在 sSk 上精確成立即有au( Sk )bf ( Sk ) k（2）k (Sk ,t)u(t)dt1,2 nabk (Sk ,t)u(t) dt 數(shù)值近似計(jì)算曲邊梯形面積ank

10、( Sk , S j )u(S j ) Sjj1（ 2）化為5 / 8個人收集整理僅供參考學(xué)習(xí)nu( Sk )k( Sk , S j )u(S j )S jf (Sk ) k 1,2n u(Sk ) 未知j1第 1個方程k1 時nu( S1 )k(S1 , Sj )u( Sj )Sjf ( S1 )j 1(1k( S1 ,S1 )S1 )u( S1 )k (S1, S2 ) S2 u( S2 )k( S1, Sn ) Snu(Sn )f (S1 )第 k 個方程nu( Sk )k (Sk , Sjk )u( Sj ) Sjf ( Sk )j1k( Sk , S1 ) S1u(S1 )k(Sk

11、, S2 ) S2 u(S2 )k (Sk , Sn ) Snu(Sn )f (Sk )kjk( Sk , Sj ) Sj j kakk1k(Sk , Sk )Sknakj u( Sj )f (Sk ) k1,2n解方程組得函數(shù)解 u(Sk )j 1算例u( s) s, k (s, t)est1est tdtf ( s)s01 stts1 tseetdete dte00f (s)sesu( s)1ses0es t u(t )dt精確解為 u(s)s版權(quán)申明本文部分內(nèi)容，包括文字、圖片、以及設(shè)計(jì)等在網(wǎng)上搜集整理.版權(quán)為個人所有This articleincludessome parts,incl

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