點差法習題(有答案)

1、文檔收集于互聯(lián)網(wǎng)，已重新整理排版word版本可編輯歡迎下載支持.點差法習題若設直線與圓錐曲線的交點(弦的端點)坐標為/乜%人將這兩點代入圓錐曲線的方程并對所得兩 式作差，得到一個與弦A3 的中點和斜率有關的式子，可以大大減少運算雖：。我們稱這種代點作差的方法為“點差法S 一、以定點為中點的弦所在直線的方程2 2例1、過橢同學+ L = 1內(nèi)一點M1)引一條弦，使弦被肌點/邇求這系弦所任曲線的方儀1642例A已知如I線7E 22 = 1 .環(huán)過點M(l,l)能否作一條h 線使/打雙曲線交于A、B, IL點M魁線I殳A3的中2 點。若存在這樣的直線/,求出它的方程，若不存在，說明理由。2、 過定點

2、的弦和平行弦的中點坐標和中點軌跡v2 v21例3、已知橢圓人+ - = 1的一條弦的斜率為3,它仃直線兀=上的交上討：條弦的中點M 求點M的坐標。75 2522 2例4、已知橢圓人.+ = 1，求它的斜率為3的弦中點的壯跡方程。75253、 求與中點弦有關的圓錐曲線的方程例5、已知中心在原點,一焦點為F(0,®)的橢圓被線/ j二3代2截得的弦的中點的橫坐標為，求橢同的方用2四、圓錐曲線上兩點關于某直線對稱問題2 2例6、已知橢圓巴+，離，試確定的加取值范圍,使得對于直線N=4x +橢圓上總有不同的兩點關于該“線對43稱。答案例1 .解：設直線與橢圓的交點為心,兒)、B(x”2)M(

3、2,l)為 AB 的中點 /. Xj +-=4+y2=2.又A、3兩點在橢圓上，則x/+4y產(chǎn)=16, x22+4y22=16兩式相減得(xj -X2?) + 4(yi2 -ya2) = 0于是(召 +X2Xx)+ 4(>1! + y2)(y, -y2) = 0即，故所求直線的方程為y 1 =_L(x 2),即x + 2y 4 = 0。2 2例2.解:設存在被點M平分的弦力反且A(和)中、B(X29y2)貝U Xt+X2 = 2+ B$J=22= i, x,2= i2,2兩式相減，得故直線 AB:y-1 = 2(x-l)y-1 =2(兀一1)由 2y2(消去y,得2兀2 4人+3 =。

4、2這說明直線AB與雙曲線不相交，故被點M平分的弦不存在，即不存在這樣的直線/。評述：本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結(jié)果，請務必小心。由此題可看到中點弦問題中判斷點的M位置 非常重要。(1)若中點M在圓錐曲線內(nèi)，則被點M平分的弦一般存在；若中點M在圓錐曲線外，則被點M平分的弦可能 不存在。例3.解：設弦端點P(西，比)、gdM),弦PQ的中點M(x(”y。),則x°二|2E + 勺=2 勺= 1 , x + y2 - 2yo1文檔來源為:從網(wǎng)絡收集整理word版本可編借.兩式相減得 25($-k) + 75(山 +X2)(x, -X2)= 0即2兒（” 一兒）+ 3 （刁一

5、=0.3,即）一32yo12,I點"的坐標為。2 2例4 解：設弦端點P （冊，比）、0（先），弦PQ的中點M （x.y），則州 + 二2 = 2x, y( y2 = 2y乂1 -二 1 g-H 二 175257525兩式相減得 25(力 + 丫2)(>?! 一)*) + 75(山 +£)(”£)= 0即y （N-）+3雙冊一吃）=0,即3x 一 二 3即 x + y = 0 yX -X2S/3 5£3 5八3 5V375 25點M在橢圓內(nèi)-它的斜率為3的弦中點的軌跡方程為2 2例5 解：設橢圓的方程為二+二二1,則/一慶=50 - cr r設弦端

6、點C （X2»2）,弦P0的中點M （x。,兒），則'I) 一 一 " >0 - 3 如"2 = /. X + X2 = 2xq - 1 > yl + y2 = 2yo - -1力 X)b2+ a1 h2兩式相減得 by)+y2Xys-y2)+ a2(xi+X2)(xt -x2) = 0HPy2)+ cr(xt -x2) = 0b2聯(lián)立解得才二方,y =252 2-所求橢圓的方程是175例6 解：設4 （吃?。?x22+4ya2 =12兩式相減得，3 （彳一花2）+二二125橢圓上關于直線y=+m的對稱兩點,P （x,y）為弦人的中點,則3xj+4） f = 12,+ 4 （昇一）二0即 3 (xiX2xi-X2)M (才 + 玖X 升一為)=0V X/+X2=2X, y； + ya = 2y