天圓地方放樣方法

1、1 .天圓地方及其放樣過程概述天圓地方又名方圓變徑管，被廣泛應(yīng)用于圓斷面與矩形斷面的風(fēng)管與設(shè)備間的連 接。如圓通風(fēng)管與風(fēng)機(jī)出口，空調(diào)機(jī)組與風(fēng)機(jī)進(jìn)口等場合的連接。 具放樣過程簡 要如下：（1）先將上圓均分為若干等分，并將上圓各等分點(diǎn)與矩形角點(diǎn)依次相連，即將 其分成若干個(gè)小三角形（如圖1）。（2）利用直角三角形定理先求出其在投影面上的長，再利用該值與天圓地方的 高求出各連線空間實(shí)長。并同時(shí)求出圓上任意兩個(gè)相鄰點(diǎn)間的弧長。（3）用（2）中求得的空間實(shí)長與圓上任意兩個(gè)相鄰點(diǎn)間的弧長作展開圖（如圖2）。由上述步驟可知傳統(tǒng)放樣過程的確較為繁瑣，當(dāng)天圓地方為偏心或制作精度要求 較高的情形時(shí)則更為繁瑣。因此，

2、尋找其快捷方式具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。2 .計(jì)算公式的推導(dǎo)本文以兩個(gè)方向偏心的天圓地方為例進(jìn)行推導(dǎo)，以求出大圓地方放樣參數(shù)的通用公式。假設(shè)現(xiàn)需制作一天圓地方，其上圓半徑為 r,矩形長為a寬為b,其上下 端面在長邊方向上的偏心矩為 e1,在短邊方向上的偏心矩e2,天圓地方的高為 h,同時(shí)結(jié)合實(shí)際將上圓等分?jǐn)?shù)定為 n （n一般為4的倍數(shù)，圖中取為12）。建立三維坐標(biāo)本文通過建立三維坐標(biāo)將原來所需的兩次計(jì)算減為經(jīng)一次計(jì)算即可得出結(jié)果。先以X軸平行于矩形長邊，Y軸平等于矩形短邊，Z軸過圓心并平行于天圓地方的 高，建立三維直角坐標(biāo)系。同時(shí)根據(jù)實(shí)際情況將圓周進(jìn)行n等分，并將各等分點(diǎn) 與矩形角點(diǎn)相連(如圖1)。

3、則各相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：A(, , 0) ; B(, , 0) ; C(, , 0) ; D(, , 0) ; E(, 0, 0); Fi (rcosi 8, rsini 0 ,h )其中 i=0 , 1,n； 8 =2 兀 /n。如圖所示A、B G D為矩形角點(diǎn)，E為AD與X軸的交點(diǎn)，F(xiàn)為圓上等分點(diǎn)。公式推導(dǎo)：結(jié)合上述各點(diǎn)坐標(biāo)再利用空間兩點(diǎn)間的距離公式可求出各連線在空間實(shí)長：AFi=其中 i=0 , 1,，n/4 ；BFi=其中 i=n/4 , n/4+1 ,，n/2 ;CFi=其中 i=n/2 , n/2+1 ,，n/4 ;DFi=其中 i=3n/4 , 3n/4+1 ,，n；EF0=;F

4、iFi+1= 其中 i=0 , 1 ,，n-1。計(jì)算公式優(yōu)化: 由于圓的等分量n為可變量故要在Excel中逐行編輯公式顯然行不通，而對(duì)矩形 角點(diǎn)A、B、C、D分區(qū)域編輯又因其區(qū)域分界點(diǎn)不甚明顯，且若所編輯的內(nèi)容過 于繁瑣既影響運(yùn)算速度又易出錯(cuò)。故有必要對(duì)公式進(jìn)行優(yōu)化，以利于對(duì)其進(jìn)行編 輯。表1: j與K1、K2、i關(guān)系表：j K1 K2 i1n/4+1 1 1 0-n/4n/4+2n/2+2 -1 1 n/4-n/2n/2+33n/4+3 -1 -1 n/2-3n/43n/4+4n+4 1 -1 3n/4-n將各連線自E0起逆時(shí)針進(jìn)行編號(hào)并記為j (j=0, 1,，n+4)如圖1。并引入 參數(shù)

5、K1、K2,使矩形各角點(diǎn)坐標(biāo)可統(tǒng)一標(biāo)為(，0)。顯然對(duì)于點(diǎn)A有K1=K2=1 對(duì)于點(diǎn)B有-K1=K2=1,對(duì)于點(diǎn)C有K1=K2=-1,對(duì)于點(diǎn)D有K1= -K2=1。則j與 K1、K2、i關(guān)系如表1所示。則其空間各連線計(jì)算公式可簡化為：shj=式中 j=1,2,，n+4;:電子表格的制作：根據(jù)需要先建立一 Excel電子表格的模板，在具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)實(shí)際將其再作調(diào) 整。首先制作出如圖3所示的表頭。表格中灰底格是計(jì)算機(jī)自動(dòng)計(jì)算結(jié)果顯示處。 下面分步介紹自動(dòng)計(jì)算表格的設(shè)計(jì)過程。線段編號(hào)列(A列)的編輯：由于線段編號(hào)從0至n+4依次遞增，故該列單元格中數(shù)值為行號(hào)減5,所以該列可作如下編輯。先單擊單元格

6、A5,然后在編輯欄中輸入：=ROWA5) -5再按ENTER 鍵完成該單元格的編輯。接著將A5選中，然后用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住A5右下腳的小黑 方塊，向下拖拽至A (n+8)的下端，抬起左鍵。其中 ROWA5)表示求單元格 A5的行號(hào)。線段j對(duì)應(yīng)的圓上等分點(diǎn)編號(hào)列(B列)的編輯：由表1可知：當(dāng)線段編號(hào)j=0,1時(shí)對(duì)應(yīng)圓上點(diǎn)i=0 ;當(dāng)線段編號(hào)j=n/4+2時(shí)，對(duì) 應(yīng)圓上點(diǎn)I=n/4 ;當(dāng)線段編號(hào)j=n/2+3時(shí)，對(duì)應(yīng)圓上點(diǎn)i=n/2 ;當(dāng)線段編號(hào) j=3*n/4+4 時(shí)，對(duì)應(yīng)圓上點(diǎn)i=3*n/4 ;其余i值均為上一個(gè)i值加1。故在B5上 可編輯為：=IF(OR(ROW(B5)=5,ROW(B5)=6)

7、,0,IF(A5=I5/4+2,I5/4,IF(A5=I5/2+3,I5/2,IF( A5=3*I5/4+4,3*I5/4,B4+1),之后操作同。其中 IF (t1 , t2 , t3 )為判斷函數(shù)，當(dāng)t1真時(shí)取t2 , t1為假時(shí)取t3。其他函數(shù)意義同上。天圓地方參數(shù)列(CH列)及等分?jǐn)?shù)列(I歹1)的編輯：參數(shù)r、a、b、e1、e2、h為某一天圓地方的固有屬性，而 n則為圓周等分?jǐn)?shù)，n 的具體取值與大圓地方尺寸大小及制作精度要求有關(guān)，一般取為12。其編輯過程如下：先在D5I5單元格中先按實(shí)輸入數(shù)值，并將 D4中編輯為：=D5,編輯完 成后單擊D6,然后用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住D6右下腳的小黑方塊拖拽

8、至I6,之后操作同。K1、K2列的編輯:由表1可知：當(dāng)n/4+2<=j<=3*n/4+3 時(shí)K1=-1 ,其余K1值為1;同時(shí)當(dāng)j<=n/2+2 時(shí)K2=1,其余K2值為-1。故在 J5 中可編輯為：=IF(A5<=I5/4+1,1,IF(A5<3*I5/4+4,-1,1)。在K5中可編輯為：=IF(A5<I5/2+3,1,-1),之后操作同上。連線實(shí)長列及弧長列的編輯：由于shj為連線實(shí)長，其中當(dāng)j=0時(shí)，sh0= EF0= E0 =;當(dāng) j>0 時(shí)，shj=。則在L3中可編輯為：=IF(ROW(A5)=5,ROUND(SQRT(POWER(D5/2

9、+F5-C5,2)+H5*H5),0),ROUND(SQRT(POW ER(J5*D5/2+F5-C5*COS(B5*2*PI()/I5),2)+POWER(K5*E5/2+G5-C5*SIN(B5*2*PI ()/I5),2)+H5*H5),0)。之后操作同。而圓上任意兩點(diǎn)間的弧長為2冗小，故M5可編輯為：=2*PI () *C5/I5 ,之后 操作同。其中函數(shù)ROUNDt1 , t2 )表示將t1值保留t2們小數(shù)其后的數(shù)值四舍五入；SQRT (t)表示為t的正平方根函數(shù)，COS(t)、SIN (t)分別表示t的余弦值與正弦值；POWERt1 , t2)表示為求t1的t2次方函數(shù)，PI ()為求 冗值。4、Excel電子表格的應(yīng)用至此已將整個(gè)Excel電子表格模板編輯完成，具結(jié)果如圖4所示。應(yīng)用時(shí)只須修 改天圓地方各相關(guān)參數(shù)與圓上等分?jǐn)?shù)，計(jì)算機(jī)便會(huì)立刻給出各連線實(shí)長與圓上任 意兩點(diǎn)間的圓弧長。其中若n值大于12,則先點(diǎn)擊最后一行的行號(hào)使該行變黑， 然后用鼠標(biāo)左鍵點(diǎn)住行號(hào)右下腳的小黑方塊向下拖拽，拖拽行數(shù)與所增加的等分 數(shù)同。若n值小于12,則只需將多余行選取，然后右擊鼠標(biāo)并選中“刪除”項(xiàng) 即可。圖45.結(jié)語：本文經(jīng)兩個(gè)方向偏移的大圓