第二講單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗

1、第二講第二講 單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗設(shè)設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體是取自正態(tài)總體),(2 N的一個樣本，則的一個樣本，則2(0,1)XNnZ=2XSn(1)t nT=221()nS 21()n K= 設(shè)總體設(shè)總體XN( , 2 2) , ,本講主要討論關(guān)于本講主要討論關(guān)于總體總體期望期望 , 方差方差 2 2的假設(shè)檢驗問題的假設(shè)檢驗問題第二講第二講 單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗1 檢驗檢驗假設(shè)假設(shè) H0 : : = = 0 , 0 , H1 : : 0 0 ( ( 2 2 已知已知)稱為稱為Z檢驗法檢驗法一一 期望期望 的假設(shè)檢驗的假設(shè)檢驗 P1791

2、79 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量2001( , )XZNn = = 檢驗步驟如下：檢驗步驟如下：(1) (1) 提出假設(shè)提出假設(shè)(3)(3) 根據(jù)顯著性根據(jù)顯著性水平水平a,a,確定接受域確定接受域-z-z/2/2 , z , z/2/2 (4)(4) 計算計算Z Z 的值的值, ,并下結(jié)論并下結(jié)論(2) (2) 選取統(tǒng)計量選取統(tǒng)計量 02/XZn = =H0 ：= = 0 0)1 ,0( N若假設(shè)若假設(shè)H0成立成立檢驗檢驗假設(shè)假設(shè) H0 : : = = 0 0 ( ( 2 2 已知已知)若若 , ,接受域Z 否則否則,拒絕拒絕H0 接受接受H0 例例1 1 磚的抗斷強度磚的抗斷強度X XN(, 1

3、.11.12 2 ),隨機抽取隨機抽取6 6塊磚，測得抗塊磚，測得抗斷強度如下斷強度如下: :32.56, 29.66, 31.64, 30.00, 31.87, 31.03,檢驗磚檢驗磚的平均抗斷強度為的平均抗斷強度為32.5032.50是否成立是否成立（a=0.05a=0.05）1 提出提出假設(shè)假設(shè)H0 ：= 32.50= 32.50解：解：2 選取統(tǒng)計量選取統(tǒng)計量02/XZn = = N(0 0, 1)3 對于檢驗水平對于檢驗水平a=0.05a=0.05 ，確定接受域確定接受域由由a =0.05a =0.05， 查表可得查表可得Za/2 a/2 =H0的接受域為的接受域為1.964 4

4、計算計算Z Z 的值的值23250116./XZ = =23113 325011 6./ = =-3.05拒絕拒絕H0，96. 196. 1即平均抗斷強度不是即平均抗斷強度不是32.50-z-z/2/2 , z , z/2/2 -1.96,1.96-1.96,1.96總體總體X X= =“磚的抗斷強度磚的抗斷強度” E EX = 例例2 2 橡膠的伸長率橡膠的伸長率x x N(0.53, 0.015 2 ), 對改進配方后的對改進配方后的橡膠測得伸長率橡膠測得伸長率: : 0.56 0.53 0.55 0.55 0.58 0.56 0.57 0.57 0.54 (方差不變方差不變) )問伸長率

5、是否有顯著變化問伸長率是否有顯著變化?(?(a=0.05)a=0.05)1 1 提出假設(shè)提出假設(shè)H0 ： = 0.53= 0.53解：解：2 2 選取統(tǒng)計量選取統(tǒng)計量02/XZn = = N(0 0, 1)3 對于檢驗水平對于檢驗水平a=0.05a=0.05 ，確定接受域確定接受域a =0.05a =0.05查表可得查表可得Za/2 a/2 =H0的接受域為的接受域為1.964 4 計算計算Z Z 的值的值20 560 530 0159./Z = =5.496. 196. 1拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè)H0， 即伸長率有顯著變化即伸長率有顯著變化總體總體X X= =“改進配方后改進配方后的橡膠伸長率的

6、橡膠伸長率” EX=EX= -z-z/2/2 , z , z/2/2 -1.96,1.96-1.96,1.96例例3 3 某種鋼索的斷裂強度某種鋼索的斷裂強度x x N(, 40 2 ), 從中選取一個從中選取一個容量為容量為9 9的樣本的樣本, ,得得 問能否據(jù)此認(rèn)為這批鋼索的問能否據(jù)此認(rèn)為這批鋼索的斷裂強度為斷裂強度為 (a=0.05)a=0.05)2/780cmkgX =2/800cmkg1 1 提出假設(shè)提出假設(shè) H0 ： = 800= 800解：解：2 2 選取檢驗統(tǒng)計量選取檢驗統(tǒng)計量02/XZn = = N(0 0, 1)4 4 計算計算Z Z 的值的值2780 800409/Z =

7、 = =-1.596. 196. 1接受假設(shè)接受假設(shè)H0 ，即可以認(rèn)為這批鋼索的斷裂強度為，即可以認(rèn)為這批鋼索的斷裂強度為8008003 對于檢驗水平對于檢驗水平a=0.05a=0.05 ，確定接受域確定接受域a =0.05a =0.05 查表可得查表可得Za/2 a/2 =H0的接受域為的接受域為1.962/kg cm-1.96,1.96-1.96,1.96總體總體X X= =“鋼索的斷裂強度鋼索的斷裂強度” EX=EX= 2 檢驗檢驗假設(shè)假設(shè) H0 : : = = 0 0 ( ( 2 2 未知未知)稱為稱為T檢驗法檢驗法檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量021 ()XTt nSn = = P140檢驗步

8、驟如下：檢驗步驟如下：(1) (1) 提出假設(shè)提出假設(shè)(3)(3) 根據(jù)顯著性根據(jù)顯著性水平水平a,a,確定接受域確定接受域 (4)(4) 計算計算T T 的值的值, ,并下結(jié)論并下結(jié)論(2) (2) 選取統(tǒng)計量選取統(tǒng)計量 02/XTSn = =H0 ：= = 0 0)1(nt若假設(shè)若假設(shè)H0成立成立2211(),()tntnaaaa檢驗檢驗假設(shè)假設(shè) H0 : : = = 0 0 ( ( 2 2 未知未知)若若 , ,接受域T 否則否則,拒絕拒絕H0 接受接受H0 例例1 1 從從20142014年的新生兒中抽取年的新生兒中抽取2020個，測得其平均體重為個，測得其平均體重為3160g3160

9、g，樣，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為本標(biāo)準(zhǔn)差為300g300g。而根據(jù)過去統(tǒng)計資料，新生兒平均體重為。而根據(jù)過去統(tǒng)計資料，新生兒平均體重為3140g 3140g 問新生兒體重有無顯著差異（新生兒體重問新生兒體重有無顯著差異（新生兒體重x x N( , 2 2 ）,a =0.01a =0.01 ）？）？1 1 提出假設(shè)提出假設(shè)H0 ： = 3140= 3140解：解：2 2 選取檢驗統(tǒng)計量選取檢驗統(tǒng)計量02/XTSn = =3 3 對于檢驗水平對于檢驗水平a a ，確定接受域確定接受域a =0.01a =0.01查表可得查表可得ta/2a/2(201)=(201)= H0的接受域為的接受域為2.8614 4 計

10、算計算T T 的值的值314030020/XT = =0.298861. 2861. 2接受原假設(shè)接受原假設(shè)H0 , ,即新生兒體重?zé)o顯著差異即新生兒體重?zé)o顯著差異 t(20-1)-2.861，2.861.2211(),()tntnaaaa 總體總體X=“2014年的新生兒體重年的新生兒體重”EX=EX= 例例2 2 已知鐵水含碳量服從均值為已知鐵水含碳量服從均值為4.534.53的正態(tài)分布的正態(tài)分布, ,某日隨機測某日隨機測量量9 9爐鐵水爐鐵水, ,含碳量如下含碳量如下: 4.43 4.5 4.58 4.42 4.47 : 4.43 4.5 4.58 4.42 4.47 4.6 4.42

11、4.6 4.42 問該日鐵水平均含碳量是否為問該日鐵水平均含碳量是否為4.534.53 ( a =0.05a =0.05 ） 1 1 提出假設(shè)提出假設(shè)H0 : : = 4.53= 4.53解：解：2 2 選取檢驗統(tǒng)計量選取檢驗統(tǒng)計量02/XTSn = =3 對于檢驗水平對于檢驗水平a a ，確定接受域確定接受域a =0.05a =0.05查表可得查表可得ta/2a/2(91)(91) =H0的接受域為的接受域為2.3064 4 計算計算T T 的值的值9/53. 4SXT= -1.775306. 2306. 2接受原假設(shè)接受原假設(shè)H0 ，該日鐵水平均含碳量是，該日鐵水平均含碳量是4.534.5

12、3t(9-1)-2.306，2.306.2211(),()tntnaaaa總體總體X X= =“某日鐵水的含碳量某日鐵水的含碳量” EX=EX= 檢驗假設(shè)檢驗假設(shè) H0 2 2 = = 2 20 0 ( ( 未知未知)二二 方差方差 2 2的假設(shè)檢驗的假設(shè)檢驗 P184184 檢驗統(tǒng)計量檢驗統(tǒng)計量222011()()nSKn = = 稱為稱為 檢驗法檢驗法2P140檢驗步驟如下：檢驗步驟如下：( (1) 1) 提出假設(shè)提出假設(shè)(3)(3) 根據(jù)顯著性根據(jù)顯著性水平水平a,a,確定接受域確定接受域 (4)(4)計算計算K K 的值的值, ,并下結(jié)論并下結(jié)論( (2) 2) 選取統(tǒng)計量選取統(tǒng)計量

13、H0 ： 2 2 = = 2 20 0 若假設(shè)若假設(shè)H0成立成立222011()()nSKn = = ) 1(221na)1(22naa1) 1(2n2a2a) 1(221na)1(22na 檢驗假設(shè)檢驗假設(shè) H0 : : 2 2 = = 2 20 0 若若 , ,接受域K 否則否則,拒絕拒絕H0 接受接受H0 例例1 1 某煉鐵廠的鐵水含碳量某煉鐵廠的鐵水含碳量x x在正常情況下服從正態(tài)分布?，F(xiàn)在正常情況下服從正態(tài)分布?，F(xiàn)對操作工藝進行了某些改進，從中隨機抽取對操作工藝進行了某些改進，從中隨機抽取5爐鐵水測得含碳爐鐵水測得含碳量數(shù)據(jù)如下量數(shù)據(jù)如下：4.421 4.052 4.357 4.28

14、7 4.683問是否可以認(rèn)為問是否可以認(rèn)為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差為新工藝煉出的鐵水含碳量的方差為0.1082 （a =0.05a =0.05）1 1 提出假設(shè)提出假設(shè)解：解：2 2 選取檢驗統(tǒng)計量選取檢驗統(tǒng)計量2201()nSK = =2(51)3 3 對于檢驗水平對于檢驗水平a a ，查表查表220108. 0:=H484. 0) 1(221=na4 .11) 1(22=na4 4 計算統(tǒng)計量計算統(tǒng)計量K K的值的值2201()nSK = =22108. 0228. 0) 15(=17.8274 .11484. 0拒絕假設(shè)拒絕假設(shè)H0 , ,不能認(rèn)為新工藝煉出的鐵水含不能認(rèn)為新工藝煉出

15、的鐵水含碳量的方差為碳量的方差為 0.1080.1082 2H0的接受域為的接受域為 0.484，11.4.總體總體X X= =“新工藝煉出新工藝煉出鐵水含碳量鐵水含碳量” DX=DX=2例例2 2 已知維尼綸的纖度已知維尼綸的纖度x x在正常情況下服從方差為在正常情況下服從方差為0.0440.0442 2的正的正態(tài)分布。某日從中隨機抽取態(tài)分布。某日從中隨機抽取6 6根纖維，測得纖度如下：根纖維，測得纖度如下：1.35 1.35 1.5 1.56 1.48 1.44 1.53 1.5 1.56 1.48 1.44 1.53 據(jù)此是否可以認(rèn)為該日纖據(jù)此是否可以認(rèn)為該日纖維的方差為維的方差為0.0

16、440.0442 2（a =0.05a =0.05） 1 1 提出假設(shè)提出假設(shè)解：解：2 2 選取檢驗統(tǒng)計量選取檢驗統(tǒng)計量2201()nSK = =) 16(23 3 對于給定的檢驗水平對于給定的檢驗水平a a ，220044. 0:=H831. 0) 1(221=na833.12)1(22=na4 計算統(tǒng)計量計算統(tǒng)計量K K 的值的值2201()nSK = =22044.000555.0)16(=14.33833.12831.0拒絕原假設(shè)拒絕原假設(shè)H0 ，即不能認(rèn)為該日纖維的方差為，即不能認(rèn)為該日纖維的方差為20 044.H0的接受域為的接受域為0.831,12.833總體總體X X= =“某日維尼某日維尼綸的纖度綸的纖度” DX=DX=2總結(jié)總結(jié)1 1 方差方差 2 2已知，已知，檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)H0 = = 0 0方法名稱方法名稱00 1( , )/XZNn = =統(tǒng)計量統(tǒng)計量Z Z檢驗法檢驗法接受區(qū)間接受區(qū)間接受域接受域2/az2/az2 方差方差 2 2未知，未知，檢驗假設(shè)檢驗假設(shè)H0 = = 0 0