每周一題及解答-上海交通大學(xué)本科教學(xué)信息網(wǎng)站

1、題題一一 在一次乒乓球決賽中設(shè)立獎(jiǎng)金在一次乒乓球決賽中設(shè)立獎(jiǎng)金1千千元元.比賽規(guī)定誰(shuí)先勝了三盤(pán)比賽規(guī)定誰(shuí)先勝了三盤(pán),誰(shuí)獲得全部誰(shuí)獲得全部獎(jiǎng)金獎(jiǎng)金.設(shè)甲設(shè)甲,乙二人的球技相等乙二人的球技相等,現(xiàn)已打了現(xiàn)已打了3盤(pán)盤(pán), 甲兩勝一負(fù)甲兩勝一負(fù), 由于某種特殊的原因由于某種特殊的原因必須中止比賽必須中止比賽. 問(wèn)這問(wèn)這1000元應(yīng)如何分配元應(yīng)如何分配才算公平才算公平?第第1 1周周 問(wèn)問(wèn) 題題方案一方案一: 平均分平均分, 這對(duì)甲不公平這對(duì)甲不公平.方案二方案二: 全部歸甲全部歸甲, 這對(duì)乙不公平這對(duì)乙不公平.解解沒(méi)有同學(xué)提出上述兩個(gè)方案沒(méi)有同學(xué)提出上述兩個(gè)方案. .方案三方案三: 按已勝盤(pán)數(shù)的比例分

2、配按已勝盤(pán)數(shù)的比例分配.3/2即甲得即甲得 (667 (667元元) ), 乙得乙得 (333 (333元元) .) .3/1 方案四方案四 一同學(xué)提出一同學(xué)提出: :在我未學(xué)在我未學(xué)概概率率前，我認(rèn)為甲應(yīng)得前，我認(rèn)為甲應(yīng)得 800 800元乙應(yīng)得元乙應(yīng)得200200元元. .理由如下：理由如下：目前勝率：目前勝率： 甲甲 2/3 2/3 乙乙 1/3 1/3甲再勝一盤(pán)幾率：甲再勝一盤(pán)幾率： 2/3 2/3 乙連勝二盤(pán)幾率：乙連勝二盤(pán)幾率： . 9/ 1) 3/ 1 (2方案五方案五 甲得甲得888.89888.89元元, ,乙得乙得111.11111.11元元. . 理由如下：理由如下：甲勝

3、甲勝乙勝乙勝, ,甲再勝甲再勝乙勝乙勝, ,乙再勝乙再勝甲贏甲贏3/2)(AP甲贏甲贏9/2) 3/2)(3/ 1 ()(BP乙贏乙贏9/ 1) 3/ 1)(3/ 1 ()(CP189/ 19/23/2)()(：乙贏甲贏PP方案三看來(lái)似乎合理方案三看來(lái)似乎合理 , 雙方可接受雙方可接受. .但仔細(xì)分析但仔細(xì)分析, 這樣分未必合理這樣分未必合理 . 理由如下理由如下：設(shè)想比賽繼續(xù)進(jìn)行下去設(shè)想比賽繼續(xù)進(jìn)行下去, 要使甲要使甲,乙有一個(gè)勝乙有一個(gè)勝 3 盤(pán)盤(pán), 只要再賽只要再賽兩盤(pán)即可兩盤(pán)即可, 共有以下四種情況共有以下四種情況:甲甲甲甲 甲乙甲乙 乙甲乙甲 乙乙乙乙甲得甲得1000元元乙得乙得10

4、00元元因球技相等因球技相等, 故故 4 個(gè)結(jié)果等可能發(fā)生個(gè)結(jié)果等可能發(fā)生.因此因此, 甲乙最終獲勝的大小比為甲乙最終獲勝的大小比為 3:1故全部獎(jiǎng)金應(yīng)按獲勝率的比例分故全部獎(jiǎng)金應(yīng)按獲勝率的比例分,才才方案六：甲分方案六：甲分 750元元 , 乙分乙分 250元元 . 公平合理公平合理. 即即大部分同學(xué)提出方案六大部分同學(xué)提出方案六. . 問(wèn)問(wèn) 題題 已知 P( A ) = P( B ) = P(C) =1/4 , P(AB) = 0, P(AC) = P(BC) = 1/6 通過(guò)做此題 你能發(fā)現(xiàn)什么問(wèn)題？ 第第2 2周周 則A,B,C 全不發(fā)生的概率為 . 一同學(xué)提出此題錯(cuò)誤一同學(xué)提出此題錯(cuò)

5、誤, ,原因是原因是4/ 1)(, 6/ 1)(CPACPA A 與與C C 的共同部分占的共同部分占C C 的的 2/3 2/3同理同理 B B 與與C C 的共同部分占的共同部分占C C 的的 2/3 2/3A A 與與B B 至少有至少有1/31/3部分重合，即部分重合，即12/1)(ABP這與題中條件這與題中條件 P(AB) = 0 矛盾！矛盾！ ？)(1)(CBAPCBAP)()()(1CPBPAP.12/76/24/31)()()()(ABCPBCPACPABP一般會(huì)解出一般會(huì)解出 解解 事實(shí)上本題目出錯(cuò)，數(shù)萬(wàn)考生中事實(shí)上本題目出錯(cuò)，數(shù)萬(wàn)考生中就有指出題目錯(cuò)誤的考生就有指出題目錯(cuò)誤

6、的考生. .解解CBCAC)()()()()(ABCPBCPACPBCACP)(4/ 13/ 106/ 16/ 1CP0)(0)(ABCPABP)()(CPBCACP這與下面正確結(jié)論矛盾！這與下面正確結(jié)論矛盾！ ABCCBCAC)()()(CPBCACPCAB欠妥！欠妥！ . 2/ 1)()()()(ABPBPAPBAP).(12/ 52/ 1)(CBAPBAP.12/5)(CBAP由題設(shè)得由題設(shè)得 另一方面又可得另一方面又可得 于是得矛盾于是得矛盾 解二解二若將條件修改為若將條件修改為 P(AC) = P(BC) = 1/9便無(wú)矛盾便無(wú)矛盾 ).(36/192/ 1)(CBAPBAP)()(

7、)()(ABCPBCPACPBCACP)(4/ 19/209/ 19/ 1CP 問(wèn)問(wèn) 題題第第3 3周周 17世紀(jì),法國(guó)的 C D Mere 注意到在賭博中一對(duì)骰子拋25次,把賭注押到 “至少出現(xiàn)一次雙六” 比把賭注押到“完全不出現(xiàn)雙六”有利. 但他本人找不出原因. 后來(lái)請(qǐng)當(dāng)時(shí)著名的法國(guó)數(shù)學(xué)家帕斯卡(Pascal)才解決了這一問(wèn)題 . 這問(wèn)題是如何解決的呢?解題時(shí)出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤解題時(shí)出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤 設(shè)設(shè)事件事件 與與 分別為第分別為第2 2次與第次與第1 1次擲出六次擲出六. .AB)()()()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP)()(11)(5)()(ABPBAPABPAB

8、PABP6/ 1)(AP同理有同理有)()(11)(BAPBAPBAP顯然有顯然有)()(BAPBAP)()(BAPABP)()()()(BAPBAPABPBAP)()(BAPBAP即壓出雙六有利即壓出雙六有利.？骰子組合種類(lèi)數(shù)：骰子組合種類(lèi)數(shù)： 18/ 12/1616CCN擲擲1 1次不出現(xiàn)雙六的概率：次不出現(xiàn)雙六的概率：18/17擲擲2525次無(wú)雙六的概率：次無(wú)雙六的概率：24. 0)18/17(25擲擲2525次出現(xiàn)雙六的概率：次出現(xiàn)雙六的概率：76. 024. 01問(wèn)題解決問(wèn)題解決. . A則事件則事件 為為 “至少有一次雙六至少有一次雙六”設(shè)設(shè)事件事件 為為“完全不出現(xiàn)雙六完全不出現(xiàn)

9、雙六”,”,A063. 0)()()()(251624151252515CCCCAP)(937. 0063. 01)(APAP擲擲1 1次出現(xiàn)雙六的概率：次出現(xiàn)雙六的概率： 36/ 11616CC擲擲2525次出現(xiàn)一次雙六的概率：次出現(xiàn)一次雙六的概率：36/25擲擲2525次不出現(xiàn)雙六的概率：次不出現(xiàn)雙六的概率：36/1136/1136/25問(wèn)題解決問(wèn)題解決. .252521) 123456(AnA則事件則事件 為為 “不出現(xiàn)雙六不出現(xiàn)雙六”252520) 121(Ak 2953. 0)21/20(/)(25AAnkAP)()(APAP即壓即壓 比壓比壓 有利有利. .AA設(shè)設(shè)事件事件 為為“

10、至少有一次雙六至少有一次雙六”,”,A A則事件則事件 為為 “至少有一次雙六至少有一次雙六”設(shè)設(shè)事件事件 為為“完全不出現(xiàn)雙六完全不出現(xiàn)雙六”,”,A01. 0) 6/ 5 ()(25AP)() 6/ 5 (1)(25APAP 5 . 036252536243511CCCp拋拋2525次次 “至少有一次雙六至少有一次雙六”等同于等同于從從3636個(gè)球中抽出個(gè)球中抽出2525個(gè)，其中有個(gè)，其中有1 1個(gè)是特個(gè)是特別的概率別的概率此概率挺大，不選成傻子了！此概率挺大，不選成傻子了！？2396. 0)36/34()(25AP？1136. 0)12/11()(25AP？0126. 06/ )55 (

11、)(252425AP各種計(jì)算錯(cuò)誤各種計(jì)算錯(cuò)誤 ？設(shè)設(shè)事件事件 為為“完全不出現(xiàn)雙六完全不出現(xiàn)雙六”,”,A設(shè)設(shè)B B 為為 “ “至少出現(xiàn)一次雙六至少出現(xiàn)一次雙六” ,” ,則則)()(BPBP因?yàn)橐驗(yàn)?)()(BPBP因此，題中把賭注押到因此，題中把賭注押到“至少出現(xiàn)一次雙六至少出現(xiàn)一次雙六”B事件事件 為為 “完全不出現(xiàn)雙六完全不出現(xiàn)雙六”故只要證明故只要證明 即可。即可。2/1)(BP比押比押“完全不出現(xiàn)雙六完全不出現(xiàn)雙六”有利的意思，即為有利的意思，即為分析分析設(shè)設(shè) = 第第 i 次拋擲時(shí)出現(xiàn)數(shù)對(duì)次拋擲時(shí)出現(xiàn)數(shù)對(duì)( 6 , 6 )iA36/1)(iAP36/35)(iAP 一對(duì)骰子拋一

12、對(duì)骰子拋 25 次可視為次可視為 25 次獨(dú)次獨(dú)獨(dú)立的重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn)獨(dú)立的重復(fù)隨機(jī)試驗(yàn). 于是于是, 可將所提可將所提問(wèn)題視作問(wèn)題視作25重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn).( i =1, 2, , 25 )則有則有解一解一2521.AAAB所以所以 ).(1).()(25212521AAAPAAAPBP215045. 0)().()(12521APAPAP4955. 01)3635(125因?yàn)橐驗(yàn)?, ,取對(duì)數(shù)得取對(duì)數(shù)得 213635n67.245441. 15563. 13010. 035lg36lg2lgn解二解二由試驗(yàn)獨(dú)立性由試驗(yàn)獨(dú)立性, ,要求擲要求擲 次完全不次完全不n出現(xiàn)雙六的概率出現(xiàn)雙六的

13、概率. )(2/ 1)(BPBP故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 25n拋擲拋擲 25 次是起碼的要求，少于次是起碼的要求，少于25次不次不)()(BPBP可見(jiàn)要使可見(jiàn)要使1)3635(1 limnn行行. 當(dāng)然，拋擲次數(shù)越多，對(duì)事件當(dāng)然，拋擲次數(shù)越多，對(duì)事件“至至少出現(xiàn)一次雙六少出現(xiàn)一次雙六”的發(fā)生越有利的發(fā)生越有利, 且且注 某市進(jìn)行藝術(shù)體操賽某市進(jìn)行藝術(shù)體操賽, 需設(shè)立兩個(gè)裁需設(shè)立兩個(gè)裁判組判組, 甲組甲組3名名,乙組乙組1名名. 但組委會(huì)只召集但組委會(huì)只召集到到3名裁判名裁判, 由于臨近比賽由于臨近比賽, 便決定調(diào)一名便決定調(diào)一名不懂行的人參加甲組工作不懂行的人參加甲組工作, 其中兩裁判獨(dú)其中兩裁判

14、獨(dú)立地以概率立地以概率 p 作出正確裁定作出正確裁定,而第三人以而第三人以擲硬幣決定擲硬幣決定, 最后根據(jù)多數(shù)人的意見(jiàn)決定最后根據(jù)多數(shù)人的意見(jiàn)決定.乙組由乙組由 1 個(gè)人組成個(gè)人組成, 他以概率他以概率 p 做出正確做出正確裁定裁定. 問(wèn)哪一組做出正確裁定的概率大問(wèn)哪一組做出正確裁定的概率大 ? 問(wèn)問(wèn) 題題第第4 4周周 不能確定，即需視情況而定不能確定，即需視情況而定.同學(xué)同學(xué)一一解解 甲組兩裁判裁定有甲組兩裁判裁定有 3 種情況種情況2p)1 (pp2)1 (p不懂行的人裁定均為不懂行的人裁定均為 21故甲組正確裁定的概率故甲組正確裁定的概率推導(dǎo)如下推導(dǎo)如下結(jié)論：結(jié)論：) 1(21)1 (

15、21)1 (2121222ppppppppp212當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)ppp212253p故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)時(shí)2/ ) 53 (0p甲組甲組乙組乙組故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)時(shí)12/ ) 53 (p甲組甲組乙組乙組與與 比較比較p不能確定，即需視情況而定不能確定，即需視情況而定.同學(xué)二解同學(xué)二解 結(jié)論：結(jié)論：ppppppP21)1 (2121)211 ( 2)(222甲)21()()(ppPP乙甲故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)，時(shí)，2/ 1p甲組甲組乙組乙組故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)，時(shí)，2/ 1p乙組乙組甲組甲組故當(dāng)故當(dāng) 時(shí)，時(shí)，2/ 1p乙組乙組=甲組甲組同學(xué)三解同學(xué)三解 甲甲組做出正確裁定的概率大組做出正確裁定的概率大.結(jié)論：結(jié)論：設(shè)設(shè)甲、乙甲、乙

16、組做出正確裁定分別為組做出正確裁定分別為A 、 B.ppppppAP22223212121)(pBP)()()(BPAP(1) 只要算出甲組正確裁定概率即可只要算出甲組正確裁定概率即可.正確的幾種解法正確的幾種解法 兩裁判都正確裁定的概率：兩裁判都正確裁定的概率：ppp 1一裁判正確裁定且擲硬幣者也正確一裁判正確裁定且擲硬幣者也正確裁定的概率：裁定的概率：)1 (5 . 022pppP(甲組正確裁定甲組正確裁定).21ppp故故 兩組做出正確裁定的概率相同兩組做出正確裁定的概率相同.(2)pppC21)1 (12)211 ()1 (21)1 (1)(2233ppCP甲)(乙P有有同學(xué)同學(xué) 在算

17、出兩組作出正確裁定的概在算出兩組作出正確裁定的概率相同后稱(chēng)贊組委會(huì)很明智！率相同后稱(chēng)贊組委會(huì)很明智！.(3)兩組做出正確裁定的概率相同兩組做出正確裁定的概率相同.結(jié)論：結(jié)論：甲組三人都正確裁定概率甲組三人都正確裁定概率235 . 0pp 甲組恰有二人正確裁定概率甲組恰有二人正確裁定概率225 . 0)1 ( 5 . 0)1 (5 . 05 . 0pppppppppP(甲組正確裁定甲組正確裁定)ppp23P(乙組正確裁定乙組正確裁定)只要把甲組的正確裁定概率計(jì)算出只要把甲組的正確裁定概率計(jì)算出再與再與 p 比較即可比較即可. 為此應(yīng)先搞清楚為此應(yīng)先搞清楚“最后結(jié)果根據(jù)多數(shù)最后結(jié)果根據(jù)多數(shù)人意見(jiàn)決

18、定人意見(jiàn)決定”是指什么是指什么.是指是指“甲組至少甲組至少應(yīng)該由應(yīng)該由2個(gè)人作出正確裁定個(gè)人作出正確裁定”. 故設(shè)故設(shè)A、B、C分別表示分別表示“甲組甲組3個(gè)人均做出正確裁個(gè)人均做出正確裁定定”. D表示表示”甲組做出正確裁定甲組做出正確裁定”, 則則:BCACBACABABCDBCACBACABABCDBCACBACABABCD由題設(shè)由題設(shè)21)(,)()(CPpBPAP. 2/1)(,)()(CPpBPAP(4)由于由于A , B , C 相互獨(dú)立相互獨(dú)立, 則有則有pppppppppCPBPAPCPBPAPCPBPAPCPBPAPBCAPCBAPCABPABCPDP21)1 (21)1

19、(2121)()()()()()()()()()()()()()()()()(所以所以, 兩組做出正確裁定的概率相同兩組做出正確裁定的概率相同. 自動(dòng)生產(chǎn)線(xiàn)調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為 p, 當(dāng)生產(chǎn)過(guò)程中出現(xiàn)廢品時(shí)立即重新進(jìn)行調(diào)整, 求在兩次調(diào)整之間的合格產(chǎn)品數(shù)的分布. 問(wèn)問(wèn) 題題第第5 5周周 設(shè)兩次調(diào)整之間生產(chǎn)的合格產(chǎn)品數(shù)是 X , 則解解 (X = 1) 表示調(diào)整后生產(chǎn)的第一個(gè)產(chǎn)品合格,而第二個(gè)是廢品的事件, 則P( X = 0 )= p ;P( X = 1 )= p (1-p) ; (X = 0) 表示調(diào)整后生產(chǎn)的第一個(gè)產(chǎn)品是廢品的事件,則 依此類(lèi)推,可得合格產(chǎn)品數(shù) X 的概率分布為 (

20、X = 2 ) 表示調(diào)整后生產(chǎn)的前二個(gè)產(chǎn)品是合格的, 而第三個(gè)是廢品的事件, 則P( X = 2 ) = p (1-p)2 ;P( X = k ) = p (1-p)k, k =0,1,2,在高為 h 的 ABC 中任取一點(diǎn)M , 點(diǎn) M 到 AB 的距離為隨機(jī)變量X , 求其密度函數(shù) f (x). ABCh.M 問(wèn)問(wèn) 題題第第6 6周周 解解A (0,0)B (b,0)C (xc,0)h.My其他，內(nèi)，0)/(2),(),(ABChbyxfyxMdxyxfyfY),()(其他，內(nèi)，0)(11ABCdxbxyyxchchhb2其他，內(nèi)，0ABChy)1 (2 ?ABC.MXhx,ABEF 當(dāng)

21、時(shí)hx0ABCEFBASSxXPxF)()(2)(11hxhSSABCCEF使 EF 與 AB 間的距離為 xEF解解于是hxhxhxhxxF10)(100)(2其他002)()(2hxhxhxFxf第第7 7周周 問(wèn)問(wèn) 題題 上海某年有 9萬(wàn)名高中畢業(yè)生參加高考, 結(jié)果有5.4萬(wàn)名被各類(lèi)高校錄取. 考試滿(mǎn)分為600分，540分以上有2025人 , 360分以下有13500人. 試估計(jì)高校錄取最低分. 設(shè) X 為考生成績(jī)，則近似有 解),(2NX)540(XP)540(1XP5401900002025972. 0540查表,91. 154015 班一同學(xué)班一同學(xué) ？85. 015. 01360

22、04. 136061,5 .4233609000013500)360(XP26. 0615 .423k查表.44036.439 k所以此次高考最低錄取分為 440 .6 . 094 . 5615 .423)(kkXP？24 班一同學(xué)班一同學(xué) 419a224 .51,432最低錄取分為 考生高考成績(jī)?yōu)?r.v. X , 它一般受先天遺傳、后天努力、心理素質(zhì)、考試期間身體狀態(tài)、求學(xué)期間班級(jí)學(xué)風(fēng)、有無(wú)請(qǐng)家教等諸多隨機(jī)因素的影響，而各因素的影響又是有限的，且正負(fù)影響會(huì)相互抵消，故分析),(2NX【1】由已知高考結(jié)果的兩個(gè)信息，由于參數(shù) 均未知，故解決2,問(wèn)題分兩步建立關(guān)于未知參數(shù) 的兩個(gè)方程，2,并解

23、之；【2】通過(guò)已公布的錄取率，求得最低分值.解解設(shè)考生高考成績(jī)),(2NX)540(1)540(XPXP9775. 090000202515403609000013500)360(XP85. 015. 01360反查正態(tài),005. 254004. 136059,421分布表)59,421(2NX所以已知錄取率,6 . 090000/54000設(shè)被錄取者最低分為 a , 則59421594211aa)(16 . 0)(aXPaXP,406253. 059421aa查正態(tài)分布表所以此次高考最低錄取分為 406 . 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量Z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 1 的指的指數(shù)分布，引入隨機(jī)變量：數(shù)分布

24、，引入隨機(jī)變量：21201110ZZYZZX求求 ( X , Y ) 的聯(lián)合分布律和分布函數(shù)的聯(lián)合分布律和分布函數(shù). 問(wèn)問(wèn) 題題第第8 8周周 0,1)(zezFzZ解解 ( (4 班兩同學(xué)班兩同學(xué) 、21 班一同學(xué)班一同學(xué)) ) 11) 1 () 1() 0(eFZPXpZ1) 1 (1) 1() 1(eFZPXpZ21) 2 () 2() 0(eFZPYpZ2) 2 (1) 2() 1(eFZPYpZ31ee3e32ee)1)(1 (21ee11e1e21e2e ipjp0 1X0 1Y ( X , Y ) 的聯(lián)合分布律的聯(lián)合分布律 本題并未設(shè)本題并未設(shè) X , Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 ??？

25、X, Y 都是離散型的服從都是離散型的服從(01)1, 0,),(jijYiXPpij而而X,Y 又都是分布已知的隨機(jī)變量又都是分布已知的隨機(jī)變量 Z分布的隨機(jī)變量，本題要求分布的隨機(jī)變量，本題要求ijp的函數(shù)，故可以通過(guò)的函數(shù)，故可以通過(guò) Z 的分布求出的分布求出 .分析分析由題設(shè)由題設(shè)Z的的 分布函數(shù)分布函數(shù)0001)(zzezFzZ解解正確解法由以下同學(xué)提供正確解法由以下同學(xué)提供3班 石石 言言 褚華斌褚華斌10班 吳吳 苑苑 吳吳 限限 楊楊 鍇鍇13班 沙沙 舟舟 蔡思捷蔡思捷20班 陳永延陳永延 董皓遠(yuǎn)董皓遠(yuǎn)24班 白白 雪雪 25班 郭郭 憬憬9班 陳陳 棟棟 張張 鵬鵬由由 X

26、, Y 的定義知下列事件等價(jià)：的定義知下列事件等價(jià)： ) 1() 2, 1() 0, 0(ZZZYX) 2, 1() 1, 0(ZZYX) 21 () 2, 1() 0, 1(ZZZYX) 2() 2, 1() 1, 1(ZZZYX從而有：從而有： 11) 1 () 1() 0, 0(eFZPYXPZ0)() 1, 0(PYXP21) 1 () 2 () 21 () 0, 1(eeFFZPYXPZZ2) 2 (1) 2() 1, 1(eFZPYXPZ21ee2e011e0 1X0 1Y ( X , Y ) 的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為),(yxF取不同值的區(qū)域有如下取不同值的區(qū)域有如下5 5個(gè)

27、：個(gè)： 0 x0y10 x10 y10 x10 y1x1y1y1x1yx01 當(dāng) 當(dāng) 當(dāng)0)(),(),(PyYxXPyxF0 x0y或時(shí), 10 x10 y時(shí)11)0, 0(),(eYXPyxF, 10 x1y時(shí)) 0, 0(),(YXPyxF) 1, 0(YXP11101ee 當(dāng),1x10 y時(shí)) 0, 0(),(YXPyxF) 0, 1(YXP221111eeee 當(dāng),1x1y時(shí)1)(),(),(PyYxXPyxF),(yxF00,0yorx10, 10,11yxe1, 10,11yxe10, 1,12yxe1, 1, 1yx ( X , Y ) 的聯(lián)合分布函數(shù)為的聯(lián)合分布函數(shù)為第第9

28、9周周 問(wèn)問(wèn) 題題設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 與與 Y 相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且. )(, )6 . 0, 1(yfYBX求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 YXZ 3的概率密度的概率密度 . )(zg函數(shù)函數(shù) 解解設(shè)設(shè) Y 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(y), 由全概率由全概率公式得公式得Z 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為)3()()(zYXPzZPzG)03()0(XzYXPXP) 13() 1(XzYXPXP)0(4 . 0XzYP) 13(6 . 0XzYP由由 X 與與 Y 的獨(dú)立性得的獨(dú)立性得)3(6 . 0zYP)(4 . 0)(zYPzG)3 (1 6 . 0zF )(1 4 . 0zF 求導(dǎo)得求導(dǎo)得

29、Z 的密度函數(shù)的密度函數(shù). )3(6 . 0)(4 . 0)(zfzfzg 問(wèn)問(wèn) 題題 第第1010周周 某民營(yíng)企業(yè)生產(chǎn)的某產(chǎn)品每周的需求量 X (單位: 箱) 取1 , 5上的每個(gè)整數(shù)值是等可能的. 生產(chǎn)每箱產(chǎn)品的成本是300元,出廠價(jià)每箱900元.若售不出, 則每箱以100元的保管費(fèi)借冷庫(kù)保存. 問(wèn)該企業(yè)每周生產(chǎn)幾箱產(chǎn)品能使獲利的期望值最大？解設(shè)每周生產(chǎn) y 箱, 每周的利潤(rùn)(單位:yXyy39yXXyyX)(139百元) 為Z , 則ZyXy6yXyX410X的分布律為5,4, 3,2, 1, 5/1)(kkXP)6(6)(yZPyZE)410()410(yXZPyk)()410()(6

30、yXPykyXPy5/ )410(5/6151ykyykyk5/4) 1(5/ )5 (62yyyyy27yy)(yf027)(yyf令得5 . 3y又因02)( yf故每周生產(chǎn)3.5箱產(chǎn)品時(shí)能使獲利的期望值最大，且最大利潤(rùn)期望值為25.12)5 . 3()(max fZE(百元)解)6(6)(yZPyZE)410()410(yXZPyk)()410()(6yXPykyXPy5/ )410(5/6151ykyykyk5/ 4) 1(5/ 66yyyyyyy同解一所設(shè)yyyyy622令,byyay)( 6)( 2)(2baabaaaZE, 1,0b則)26(72abaa于是即3a時(shí), 取當(dāng), 0

31、26 a, 1b1)65)(2aaZE2 a);(12)(max百元ZE即 y = 3 箱時(shí)，,bay即3a時(shí), 取當(dāng), 026 a, 0b2)aaZE7)(2);(12)(max百元ZE);(12)(max百元ZE綜合1) 2), 當(dāng)3y或 4箱時(shí), 有最大期望利潤(rùn)4 a即 y = 3 箱時(shí)， 電視臺(tái)需作節(jié)目電視臺(tái)需作節(jié)目A 收視率收視率的調(diào)查的調(diào)查.每天在播電視的同時(shí)每天在播電視的同時(shí), 隨機(jī)地向隨機(jī)地向當(dāng)?shù)鼐用翊螂娫?huà)詢(xún)問(wèn)是否在看電視當(dāng)?shù)鼐用翊螂娫?huà)詢(xún)問(wèn)是否在看電視. 若若在看電視在看電視, 再問(wèn)是否在看節(jié)目再問(wèn)是否在看節(jié)目A. 設(shè)回答設(shè)回答 第第11周周 問(wèn)問(wèn) 題題看電視的居民戶(hù)數(shù)為看電視

32、的居民戶(hù)數(shù)為 n. 若要若要保證以保證以 95%的概率使調(diào)查誤的概率使調(diào)查誤差在差在10%之內(nèi)之內(nèi), n 應(yīng)取多大？應(yīng)取多大？每晚節(jié)目每晚節(jié)目A 播出一小時(shí)播出一小時(shí), 調(diào)調(diào)查需同時(shí)進(jìn)行查需同時(shí)進(jìn)行, 設(shè)每小時(shí)每人能設(shè)每小時(shí)每人能調(diào)查調(diào)查20戶(hù)戶(hù), 每戶(hù)居民每晚看電視每戶(hù)居民每晚看電視的概率為的概率為70%, 電視臺(tái)需安排多電視臺(tái)需安排多少人作調(diào)查少人作調(diào)查. 又，若使調(diào)查誤差在又，若使調(diào)查誤差在 1 %之內(nèi)之內(nèi), n 應(yīng)取多大？應(yīng)取多大？誤解誤解要估計(jì)的收視率要估計(jì)的收視率, 要求要求 n , 使使) 1 . 0/( pnXPn)10/(/ )(pqnnpqnpXPnpq現(xiàn)在的問(wèn)題是如何確定

33、現(xiàn)在的問(wèn)題是如何確定 .95. 0)10/(pqn設(shè)設(shè) 為回答看電視的居民中為回答看電視的居民中在收看在收看X節(jié)目節(jié)目A 的戶(hù)數(shù)的戶(hù)數(shù), 則則 , 其中其中p 為為),(pnBX2/(10) 1.64516.45npqnpq 設(shè)設(shè) pqpppf)1 ()(令令 021)(ppf當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 達(dá)到最大值達(dá)到最大值. 2/ 1p4/ 1)(pf68 0.797.14100 205電視臺(tái)需安排電視臺(tái)需安排 5 人作調(diào)查人作調(diào)查. 取取100.216.45270.6(1/4)67.65pqn所以取所以取 就能滿(mǎn)足要求就能滿(mǎn)足要求. 68n若使調(diào)查誤差在若使調(diào)查誤差在1%之內(nèi)，則之內(nèi)，則2164.527

34、060.25(1/4)6765pqn所以取所以取 就能滿(mǎn)足要求就能滿(mǎn)足要求. 6766n9666 20483.3電視臺(tái)需安排電視臺(tái)需安排 484 人作調(diào)查人作調(diào)查. 取取9666.71.96657 . 06766解要估計(jì)的收視率要估計(jì)的收視率, 要求要求 n , 使使pq現(xiàn)在的問(wèn)題是如何確定現(xiàn)在的問(wèn)題是如何確定 ? .設(shè)設(shè) 為回答看電視的居民中為回答看電視的居民中在收看在收看X節(jié)目節(jié)目A 的戶(hù)數(shù)的戶(hù)數(shù), 則則 , 其中其中p 為為),(pnBX96. 1)10/(pqnpqn26 .1995. 01)10/(2pqn) 1 .0/( pnXP)10/(/ )(pqnnpqnpXP設(shè)設(shè) pqpp

35、pf)1 ()(令令 021)(ppf當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 達(dá)到最大值達(dá)到最大值. 2/ 1p4/ 1)(pfnpq04.96) 4/ 1 (6 .196 .1922所以取所以取 就能滿(mǎn)足要求就能滿(mǎn)足要求. 97n1397 . 097720140電視臺(tái)需安排電視臺(tái)需安排 7 人作調(diào)查人作調(diào)查. 取取140.02)( pf又又 若使調(diào)查誤差在若使調(diào)查誤差在1%之內(nèi)，則之內(nèi)，則電視臺(tái)需安排電視臺(tái)需安排 687 人作調(diào)查人作調(diào)查. 取取13722.npq9604)4/1 (384151962所以取所以取 就能滿(mǎn)足要求就能滿(mǎn)足要求. 9605n4 .137217 . 096051 .6862013722 一本

36、書(shū)有一本書(shū)有 1 000 000 個(gè)印刷符號(hào)個(gè)印刷符號(hào), 排版時(shí)每個(gè)符號(hào)被排錯(cuò)的概率為千分排版時(shí)每個(gè)符號(hào)被排錯(cuò)的概率為千分之一之一. 校對(duì)時(shí)校對(duì)時(shí), 每個(gè)排版錯(cuò)誤被改正的每個(gè)排版錯(cuò)誤被改正的概率為概率為0.99. 求在校對(duì)后錯(cuò)誤不多于求在校對(duì)后錯(cuò)誤不多于15 個(gè)的概率個(gè)的概率. 第第12周周 問(wèn)問(wèn) 題題 一本書(shū)有一本書(shū)有1000000個(gè)印刷符號(hào)個(gè)印刷符號(hào), 排版排版時(shí)每個(gè)符號(hào)被排錯(cuò)的概率為千分之一時(shí)每個(gè)符號(hào)被排錯(cuò)的概率為千分之一.校校對(duì)時(shí)對(duì)時(shí),每個(gè)排版錯(cuò)誤被改正的概率為每個(gè)排版錯(cuò)誤被改正的概率為0.99，求在校對(duì)后錯(cuò)誤不多于求在校對(duì)后錯(cuò)誤不多于15個(gè)的概率個(gè)的概率.解解設(shè)設(shè)iX1 第第 i 個(gè)

37、印刷符號(hào)被排錯(cuò)個(gè)印刷符號(hào)被排錯(cuò)0 第第 i 個(gè)印刷符號(hào)未排錯(cuò)個(gè)印刷符號(hào)未排錯(cuò)則總的被排錯(cuò)的印刷符號(hào)個(gè)數(shù)則總的被排錯(cuò)的印刷符號(hào)個(gè)數(shù)6101iiXX)001. 0,10(6BX且且解解1000)(XE.999)(XDY設(shè)校對(duì)后錯(cuò)誤個(gè)數(shù)為設(shè)校對(duì)后錯(cuò)誤個(gè)數(shù)為 , XYE01. 0)(.0099. 0)(XYD10)(01. 0)01. 0()()(XEXEYEEYE.9990099. 0)(0099. 0)(22XDYD則近似有則近似有)9990099. 0,10(2NY由中心極限定理由中心極限定理于是于是. 1)98.15(9990099. 01015)15(YP)01. 0,(XBY則則解解令令1

38、 第第 i 個(gè)符號(hào)被排錯(cuò)校對(duì)后仍錯(cuò)個(gè)符號(hào)被排錯(cuò)校對(duì)后仍錯(cuò)0 其其 他他iX由于排版與校對(duì)是兩個(gè)獨(dú)立的工作由于排版與校對(duì)是兩個(gè)獨(dú)立的工作, 因而因而,10)99. 01 (001. 0) 1(5iXP5101) 0(iXP510)(iXE. )101 (10)(55iXD)101 (10,10(5BY設(shè)校對(duì)后錯(cuò)誤個(gè)數(shù)為設(shè)校對(duì)后錯(cuò)誤個(gè)數(shù)為6101iiXY, 則則由中心極限定理由中心極限定理)101 (10100)101 (101015)150 (55YP1010/5.9422. 0116. 358. 1 第第13周周 問(wèn)問(wèn) 題題 某水產(chǎn)養(yǎng)殖場(chǎng)兩年前在人工湖中混養(yǎng)了黑、白兩種魚(yú). 現(xiàn)在需要對(duì)黑白魚(yú)數(shù)

39、目的比例進(jìn)行估計(jì). 提示：分別用矩法與極大似然估計(jì)法解決此問(wèn)題.如何估計(jì)湖中黑、白魚(yú)的比例如何估計(jì)湖中黑、白魚(yú)的比例 設(shè)湖中有黑魚(yú)a條，則白魚(yú)數(shù)為b=ka，若是白魚(yú)若是黑魚(yú), 0, 1X,11) 1(kkaaaXP.1) 1(1) 0(kkXPXP則 解解其中 k 為待估計(jì)參數(shù). 從湖中任捕一條魚(yú)，記 為使抽取的樣本為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，我們從湖中有放回的捕魚(yú) n 條.( 即任捕一條，記下其顏色后放回湖中.任其自由游動(dòng). 稍后再捕第二條，重復(fù)前一過(guò)程 )，得樣本),.(2,1nXXX各 相互獨(dú)立, 且均與 同分布. iXX 設(shè)在這 n 次抽樣中，捕得 m 條黑魚(yú). 以此抽樣結(jié)果可對(duì)k作出估計(jì).下面用

40、通常用的距法和極大似然估計(jì)法估計(jì) k . 矩估計(jì)法:kXEX11)(11Xk矩令可得nmX/由具體抽樣結(jié)果知， 的觀測(cè)值為 ，X1mnk矩k故 的矩估計(jì)值為 極大似然估計(jì)法 的分布為： iX1 , 0,)11()1()(1ixxiixkkkxXPii則似然函數(shù)為：nmnxxnnkkkkkxxxkLniinii)1 ()11()1(),.,;(1121)1ln(ln)(),.,;(ln21knkmnxxxkLn01),.,;(ln21knkmndkxxxkLdn令得 的極大似然估計(jì)為k. 1/mnkMLE本題雖簡(jiǎn)單，但它是一個(gè)應(yīng)用十分廣泛的統(tǒng)計(jì)模型. 例如例如 可將黑白魚(yú)看成是某批產(chǎn)品中的正次品或是某地區(qū)的男女性等等.注注 第第14周周 問(wèn)問(wèn) 題題母親嗜酒是否影響下一代的健康母親嗜酒是否影響下一代的健康 美國(guó)的Jones醫(yī)生于1974年觀察了母親在妊娠時(shí)曾患慢性酒精中毒的6名七歲兒童（稱(chēng)為甲組）.以母親的年齡，文化程度及婚姻狀況與前6名兒童的母親相同或相近，但不飲酒的46名七歲兒童為對(duì)照租(稱(chēng)為乙組). 測(cè)定兩組兒童的智商，結(jié)果如下：甲 組 6 78 19乙 組 46 99 16人數(shù)智商平均數(shù)樣本標(biāo)準(zhǔn)差nxs智商組別 由此結(jié)果推斷母親嗜酒是否影響下一代的智力？若有影響，推斷其影響程度有多大