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1、第第12章章 典型相關(guān)分析典型相關(guān)分析12.1典型相關(guān)分析概述典型相關(guān)分析概述12.2典型相關(guān)分析的數(shù)學(xué)描述典型相關(guān)分析的數(shù)學(xué)描述12.3典型相關(guān)分析的實(shí)例分析典型相關(guān)分析的實(shí)例分析 12.4典型相關(guān)分析的應(yīng)用典型相關(guān)分析的應(yīng)用在一元統(tǒng)計(jì)分析中,研究?jī)蓚€(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系,可以用簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù);研究一個(gè)隨機(jī)變量與多個(gè)隨機(jī)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系,可用復(fù)相關(guān)系數(shù)。但如果要研究?jī)山M變量的相關(guān)關(guān)系時(shí),這些統(tǒng)計(jì)方法就無能為力了。在現(xiàn)實(shí)生活中,兩組變量之間具有相關(guān)關(guān)系的問題很多,例如投資性變量(如勞動(dòng)者人數(shù)、貨物周轉(zhuǎn)量、生產(chǎn)建設(shè)投資等)與國(guó)民收入變量(如工農(nóng)業(yè)國(guó)內(nèi)收入、運(yùn)輸業(yè)國(guó)內(nèi)收入、建筑業(yè)國(guó)內(nèi)收入
2、等)具有相關(guān)關(guān)系;運(yùn)動(dòng)員的體力測(cè)試指標(biāo)(如反復(fù)橫向跳、縱跳、背力、握力等)與運(yùn)動(dòng)能力測(cè)試指標(biāo)(如耐力跑、跳遠(yuǎn)、投球等)之間具有相關(guān)關(guān)系等。1936年Hotelling首先提出了典型相關(guān)分析法,用于研究一組隨機(jī)變量與另一組隨機(jī)變量之間的相關(guān)關(guān)系。它借用了主成分分析的思想,根據(jù)變量間的相關(guān)關(guān)系,尋找一個(gè)或少數(shù)幾個(gè)綜合變量(實(shí)際觀察變量的線性組合)對(duì)來替代原變量,從而將二組變量的關(guān)系集中到少數(shù)幾對(duì)綜合變量的關(guān)系上。12.1 典型相關(guān)分析概述典型相關(guān)分析概述 典型相關(guān)分析就是研究?jī)山M變量之間相關(guān)關(guān)系的一種多元統(tǒng)計(jì)分析方法,設(shè)兩組變量用 及 表示,要研究?jī)山M變量的相關(guān)關(guān)系,一種方法是分別研 究 與 之間
3、的相關(guān)關(guān)系,然后列出相關(guān)系數(shù)表進(jìn)行分析,當(dāng)兩組變量較多時(shí),這種做法不僅煩瑣,也不易抓住問題的實(shí)際;另一種方法是采用類似于主成分分析的做法,在每一組變量中都選擇若干個(gè)有代表性的綜合指標(biāo)(變量的線性組合),通過研究?jī)山M綜合指標(biāo)之間的關(guān)系來反映兩組變量之間的相關(guān)關(guān)系。怎樣尋找綜合指標(biāo),使它們之間具有最大的相關(guān)性,這就是典型相關(guān)分析問題。12,pXXX12,qY YYjYiX1,2, ;1,2,ip jq典型相關(guān)分析首先在每組變量中找出變量的線性組合,使其具有最大相關(guān)性,然后再在每組變量中找出第二對(duì)線性組合,使其與第一對(duì)線性組合不相關(guān),而第二對(duì)本身具有最大相關(guān)性,如此繼續(xù)下去,直到兩組變量之間的相關(guān)性
4、被提取完畢為止。這些綜合變量被稱為典型變量,或典則變量,第對(duì)典型變量間的相關(guān)系數(shù)則被稱為第典型相關(guān)系數(shù)。一般來說,只需要提取對(duì)典型變量即可較為充分的概括樣本信息。用和的線性組合 之間的相關(guān)來研究和之間的相關(guān)性。典型相關(guān)分析的目的就是希望找到向量a和b,使 最大,從而找到替代原始變量的典型變量U和V。在實(shí)際問題中,也可以從樣本的相關(guān)陣R出發(fā)來計(jì)算樣本的典型相關(guān)系數(shù)和典型變量??梢宰C明,當(dāng)兩個(gè)變量組均只有一個(gè)變量時(shí),典型相關(guān)系數(shù)即為簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù);當(dāng)一組變量只有一個(gè)變量時(shí),典型相關(guān)系數(shù)即為復(fù)相關(guān)系數(shù)。故可以認(rèn)為典型相關(guān)系數(shù)是簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)、復(fù)相關(guān)系數(shù)的推廣,或者說簡(jiǎn)單相關(guān)系數(shù)、復(fù)相關(guān)系數(shù)是典型相關(guān)系數(shù)
5、的特例。, Ua XVb Y(,)U V 12.3 典型相關(guān)分析的實(shí)例分析典型相關(guān)分析的實(shí)例分析例12.1為研究業(yè)內(nèi)人士和觀眾對(duì)于一些電視節(jié)目的觀點(diǎn)的關(guān)系,對(duì)某地方30個(gè)電視節(jié)目做了問卷調(diào)查并給出了平均評(píng)分。觀眾評(píng)分來自低學(xué)歷(led)、高學(xué)歷(hed)和網(wǎng)絡(luò)(net)調(diào)查三種,它們形成第一組變量;而業(yè)內(nèi)人士分評(píng)分來自包括演員和導(dǎo)演在內(nèi)的藝術(shù)家(arti)、發(fā)行(com)與業(yè)內(nèi)各部門主管(man)三種,形成第二組變量。參加圖12.1,數(shù)據(jù)間TV.Sav。這個(gè)問題,如直接對(duì)這六個(gè)變量的相關(guān)進(jìn)行兩兩分析,很難得到關(guān)于這兩組變量之間關(guān)系的一個(gè)清楚的印象.故我們希望能夠把多個(gè)變量與多個(gè)變量之間的相關(guān)化
6、為兩個(gè)變量之間的相關(guān),這樣可以用主成分分析法進(jìn)行分析。打開TV.Sav文件后在SPSS中的操作如下:1)選擇菜單:通過【文件】【新建】【語(yǔ)法】打開一個(gè)空白文件(默認(rèn)文件名為Syntax1.sps),再在其中鍵入下面命令行:MANOVA led hed net WITH arti com man/DISCRIM ALL ALPHA(1) /PRINT=SIG(EIGEN DIM).再點(diǎn)擊一個(gè)向右的三角形圖標(biāo)運(yùn)行目前程序,就可以得到所需結(jié)果了。即可得到典型相關(guān)分析結(jié)果。因結(jié)果輸出內(nèi)容較多,下面將對(duì)其加以解釋。圖圖12.1 內(nèi)人士和觀眾對(duì)電視臺(tái)評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)內(nèi)人士和觀眾對(duì)電視臺(tái)評(píng)價(jià)數(shù)據(jù) 表1為判斷這兩組變
7、量相關(guān)性的若干檢驗(yàn),包括Pillai跡檢驗(yàn),Hotelling-Lawley跡檢驗(yàn),Wilks檢驗(yàn)和Roy的最大根檢驗(yàn);它們都是有兩個(gè)自由度的F檢驗(yàn)。該表給出了每個(gè)檢驗(yàn)的F值,兩個(gè)自由度和p值(均為0.000)。 表表1 相關(guān)性的若干檢驗(yàn)相關(guān)性的若干檢驗(yàn)表2給出了特征根(Eigenvalue),特征根所占的百分比(Pct)和累積百分比(Cum. Pct)和典型相關(guān)系數(shù)(Canon Cor)及其平方(Sq. Cor)。看來,頭兩對(duì)典型變量(V, W)的累積特征根已經(jīng)占了總量的99.427%。它們的典型相關(guān)系數(shù)也都在0.95之上。 表表2. 特征根與典型相關(guān)系數(shù)特征根與典型相關(guān)系數(shù) 對(duì)于眾多的計(jì)算
8、機(jī)輸出挑出一些來介紹。下面表格給出的是第一組變量相應(yīng)于上面三個(gè)特征根的三個(gè)典型變量V1、V2和V3的系數(shù),即典型系數(shù)(canonical coefficient)。注意,SPSS把第一組變量稱為因變量(dependent variables),而把第二組稱為協(xié)變量(covariates);顯然,這兩組變量是完全對(duì)稱的。這種命名僅僅是為了敘述方便。這些系數(shù)以兩種方式給出;一種是沒有標(biāo)準(zhǔn)化的原始變量的線性組合的典型系數(shù)(raw canonical coefficient),一種是標(biāo)準(zhǔn)化之后的典型系數(shù)(standardized canonical coefficient)。標(biāo)準(zhǔn)化的典型系數(shù)直觀上對(duì)典
9、型變量的構(gòu)成給人以更加清楚的印象。 表表3 未標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)未標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)表表4 標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)可以看出,頭一個(gè)典型變量V1相應(yīng)于前面第一個(gè)(也是最重要的)特征值,主要代表高學(xué)歷變量hed;而相應(yīng)于前面第二個(gè)(次要的)特征值的第二個(gè)典型變量V2主要代表低學(xué)歷變量led和部分的網(wǎng)民變量net,但高學(xué)歷變量在這里起負(fù)面作用。 從表4中可以得到第一變量的頭三個(gè)典型變量V1、V2、V3中的V1 和V2的表達(dá)式:類似地,也可以得到被稱為協(xié)變量(covariate)的標(biāo)準(zhǔn)化的第二組變量的相應(yīng)于頭三個(gè)特征值得三個(gè)典型變量W1、W2和W3的系數(shù)。120.14887led0.97696hed0.05201net
10、0.78575led0.38311hed0.31163netVV 表表5 未標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)未標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)化系數(shù)從該表可以得到(對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)化的變量arti,com和man)描述第二祖變量的頭三個(gè)典型變量W1、W2、W3中的W1 和W2的表達(dá)式:還可以得到每個(gè)典型變量V和第一組變量的相關(guān)系數(shù)見表6以及每個(gè)典型變量W和第二組變量的相關(guān)系數(shù)見表7.120.85751arti0.01930com0.145391man91113arti 1.04627com0.33714manWW 表表6 表表7從這兩個(gè)表中可以看出,V1主要和變量hed相關(guān)(0.99329),而V2主要和led(0.92484
11、)及net(0.75305)相關(guān);W1主要和變量arti(0.99696)及man(0.92221)相關(guān),而W2主要和com(0.81123)相關(guān);這和它們的典型系數(shù)是一致的。由于V1和W1最相關(guān),這說明V1所代表的高學(xué)歷觀眾和W1所主要代表的藝術(shù)家(arti)及各部門經(jīng)理(man)觀點(diǎn)相關(guān);而由于V2和W2也相關(guān),這說明V2所代表的低學(xué)歷(led)及以年輕人為主的網(wǎng)民(net)觀眾和W2所主要代表的看重經(jīng)濟(jì)效益的發(fā)行人(com)觀點(diǎn)相關(guān),但遠(yuǎn)遠(yuǎn)不如V1和W1的相關(guān)那么顯著(根據(jù)特征值的貢獻(xiàn)率)。 12.4 典型相關(guān)分析的應(yīng)用典型相關(guān)分析的應(yīng)用在進(jìn)行變量間關(guān)聯(lián)強(qiáng)度的分析時(shí),如果手中有眾多變量糾
12、纏不清,不知如何下手時(shí),此時(shí)需要冷靜考慮,假如能根據(jù)定性分析理出變量的層次結(jié)構(gòu),判斷出某一個(gè)變量受其他幾個(gè)變量的影響,那么復(fù)相關(guān)分析和偏相關(guān)分析是不錯(cuò)的選擇。如果搞不清變量之間的關(guān)系,只能將其分為兩類,或者變量結(jié)構(gòu)太復(fù)雜,呈現(xiàn)網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)時(shí),較好的選擇就是典型相關(guān)分析,但這也僅僅是數(shù)據(jù)分析的第一步,在發(fā)現(xiàn)了數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的基本規(guī)律后,最好再換用其他更為精確的多元統(tǒng)計(jì)分析模型加以深入分析。例如結(jié)構(gòu)方程模型就是比較好的選擇,它可以在典型相關(guān)分析結(jié)果的基礎(chǔ)上進(jìn)一步對(duì)研究者所提出的假設(shè)加以驗(yàn)證。進(jìn)行典型相關(guān)分析前,需要對(duì)兩個(gè)變量組進(jìn)行初步分析,判斷變量組之間的影響是雙向相關(guān)還是單向的因果關(guān)系,這對(duì)于結(jié)果的解釋非常重要,如本節(jié)中的例子就是單向的因果關(guān)系,輸出結(jié)果中某些數(shù)據(jù)就不能使用。 在對(duì)所有的輸出結(jié)果進(jìn)行分析時(shí),要注意重點(diǎn)和主次關(guān)系,最重要的就是
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