彎曲內(nèi)力 PPT課件

1、1材 料 力 學(xué)南京航空航天大學(xué)陶秋帆等第四章彎 曲 內(nèi) 力2第四章 彎曲內(nèi)力本章內(nèi)容:1 彎曲的概念和實(shí)例2 受彎桿件的簡(jiǎn)化3 剪力和彎矩4 剪力方程和彎矩方程、剪力圖和彎矩圖5 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系6 平面曲桿的彎曲內(nèi)力34. 1 彎曲的概念和實(shí)例工程問(wèn)題中，有很多桿件是受彎曲的。F1F24F2F1稱(chēng)為梁。彎曲變形載荷垂直于桿的軸線(xiàn)，曲線(xiàn)軸線(xiàn)由直線(xiàn)以彎曲變形為主的桿件對(duì)稱(chēng)彎曲若梁(1) 具有縱向?qū)ΨQ(chēng)面;(2) 所有外力都作用在縱向?qū)ΨQ(chēng)面內(nèi)。則軸線(xiàn)變形后也是該對(duì)稱(chēng)面內(nèi)的曲線(xiàn)。4. 2 受彎桿件的簡(jiǎn)化1 支座的幾種基本形式固定鉸支座51 支座的幾種基本形式固定鉸支座可動(dòng)鉸支座向心軸承6

2、7向心軸承向心止推軸承固定端約束FAxFAy2 載荷的簡(jiǎn)化集中力集中力偶分布載荷3 靜定梁的基本形式主要研究等直梁。83 靜定梁的基本形式主要研究等直梁。簡(jiǎn)支梁外伸梁懸臂梁9104. 3 剪力和彎矩下面求解梁彎曲時(shí)的內(nèi)力。例子已知：q = 20kN/m, 尺寸如圖。求：D截面處的內(nèi)力。x解：求內(nèi)力的方法截面法。建立x坐標(biāo)如圖。(1) 求支座反力RAxRARC取整體，受力如圖。X =0RAx = 0(1) 求支座反力X =0取整體，受力如圖。RAx = 0RARCRAxxMC(F) =0Y =0RA = 80 kNRC = 40 kNx(2) 求D截面內(nèi)力從D處截開(kāi)，取左段。橫截面上的內(nèi)力如圖。

3、RAxRAQDNMD1112X =0Y =0MD(F) =0(2) 求D截面內(nèi)力從D處截開(kāi)，取左段。橫截面上的內(nèi)力如圖。xQDNMDRAxRAN = RAx= 0QD = RA qx= 8020 xM D = RAxqx x/22= 80 x10 x規(guī)律Q = 截面一側(cè)所有橫向外力代數(shù)和M = 截面一側(cè)所有外力對(duì)截面形心力矩的代數(shù)和13xRARCRAxxQDNMDRAxRARC若從D處截開(kāi)，取右段。橫截面上的內(nèi)力如圖。QDMD計(jì)算可得QD, MD的數(shù)值與取左段所得結(jié)果相同。但從圖上看，它們的方向相反。剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)則如何？14剪力和彎矩的正負(fù)號(hào)規(guī)定QQ剪力使其作用的一段梁產(chǎn)生順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的

4、剪力為正。彎矩使梁產(chǎn)生上凹(下凸)變形的彎矩為正。QD = RA qx4. 4 剪力方程和彎矩方程、剪力圖和彎矩圖xRC剪力方程彎矩方程Q = Q(x)M = M(x)上例中 RAxRAM D = RAxqx x/2剪力圖和彎矩圖15例 2 (書(shū)例4. 2)已知：簡(jiǎn)支梁如圖。求：剪力方程，彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。,Pbl解： (1) 求支反力RA =PalRB =(2) 求剪力方程和彎矩方程需分段求解。分為兩段：AC和CB段。AC段 取x截面，左段受力如圖。1617需分段求解。PblQ(x)=(2) 求剪力方程和彎矩方程分為兩段：AC和CB段。AC段取x截面，左段受力如圖。QM由平衡方程

5、，可得:(0 x a)xPblM(x)=(0 xa)xCB段 取x截面，18PalQ(x)=(a x l)PalM(x)=(lx)(a xl)CB段xxQM取x截面，左段受力如圖。由平衡方程，可得:(3) 畫(huà)剪力圖和彎矩圖19(3) 畫(huà)剪力圖和彎矩圖PblQ(x)=(0 x a)PblM(x)=x (0 xa)PalQ(x)=(a x l)PalM(x)=(lx)(a xl)例 3 (書(shū)例4. 3)已知：懸臂梁如圖。求：剪力方程，彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖。212ql解： (1) 求支反力RA = ql, M A =(2) 求剪力方程和彎矩方程為使計(jì)算簡(jiǎn)單，取x截面，右段受力如圖。20= q

6、(lx)21為使計(jì)算簡(jiǎn)單，(2) 求剪力方程和彎矩方程取x截面，右段受力如圖。QMQ(x)=q(lx)由平衡方程，可得:lx2212M(x)= q(lx)M(x)= q(lx)Q(x)=q(lx)212(3) 畫(huà)剪力圖和彎矩圖22作剪力圖和彎矩圖的步驟(1)(2)(3)(4)(5)求支座反力；建立坐標(biāo)系(一般以梁的左端點(diǎn)為原點(diǎn))；分段 在載荷變化處分段；列出每一段的剪力方程和彎矩方程；根據(jù)剪力方程和彎矩方程畫(huà)出剪力圖和彎矩圖。2324例 4已知：外伸梁如圖。求：剪力方程，彎矩方程，并作剪力圖和彎矩圖.解：(1) 求支反力RA =10 kN, RB = 5 kN(1) 求支反力RA =10 kN

7、,RB = 5 kN(2) 求剪力方程和彎矩方程需分段求解。分為3段：CA, AD和DB段。CA段取x截面，左段受力如圖。由平衡方程，可得:(0 x 0.6m)(0 x0.6m)25xQ(x)=P =3kNM(x)=Px =3xCA段取x截面，左段受力如圖。由平衡方程，可得:(0 x 0.6m)M(x)=3x(0 x0.6m)xQ(x) =3kNAD段取x截面，左段受力如圖。由平衡方程，可得:(0.6 x1.2m)(0.6 x 1.226 m)Q(x)= RA P =7kNM(x)=Px +RA(x0.6)=7x6xAD段取x截面，左段受力如圖。由平衡方程，可得:(0.6 x1.2m)(0.6

8、 x 1.2m)Q(x)= RA P =7kNM(x)=Px+RA(x0.6)=7x6DB段取x截面，右段受力如圖。(1.2 x2.4 27m)Q(x)=q(2.4x) RB=1910 xM(x) = RA(2.4x) q(2.4x)28xDB段取x截面，右段受力如圖。(1.2 x2.4m)Q(x)=q(2.4x)RB=1910 x(0.6 x 1.2m)2=125x5(2.4x)212(3) 畫(huà)剪力圖和彎矩圖(3) 畫(huà)剪力圖和彎矩圖29END304. 5 載荷集度、剪力和彎矩間的關(guān)系對(duì)圖示的直梁,考察dx 微段的受力與平衡。q(x)dxdQ(x)=0=q(x)MM(x) +M(x)+dM(x

9、)Q(x)dx q(x)dx31考察dx微段的受力與dQ(x)dxC(F)=0Cdx2平衡Y =0Q(x) +q(x)dxQ(x)+dQ(x)=0=0d M(x)dx32dQ(x)dx=q(x)(F)=0CMCM(x) +M(x)+dM(x)dx2Q(x)dxq(x)dx略去高階微量=0dM(x) Q(x)dx =0dM(x)dx=Q(x)還可有：22=q(x)dxdQ(x)dx=q(x)dM(x)dxd2 M(x)2=Q(x)=q(x)q(x)、Q(x)和M(x)間的微分關(guān)系上次例 3 (書(shū)例4. 3)由微分關(guān)系可得以下結(jié)論3334由微分關(guān)系可得以下結(jié)論(1) 若q(x) = 0上次例 2

10、(書(shū)例4. 2)Q(x) =常數(shù)，剪力圖為水平線(xiàn)；M(x) 為一次函數(shù)，彎矩圖為斜直線(xiàn)。(2) 若q(x) = 常數(shù)Q(x)為一次函數(shù)，剪力圖為斜直線(xiàn)；M(x) 為二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線(xiàn)。35上次例 3 (書(shū)例4. 3)(2) 若q(x) = 常數(shù)Q(x)為一次函數(shù)，剪力圖為斜直線(xiàn)；M(x) 為二次函數(shù)，彎矩圖為拋物線(xiàn)。當(dāng)q(x) 0(向上)時(shí),拋物線(xiàn)是下凸的；當(dāng)q(x) 0(向下)時(shí),拋物線(xiàn)是上凸的；(3) 在剪力Q為零處,彎矩M取極值。(3) 在剪力Q為零處,彎矩M取極值。注意: 以上結(jié)論只在該段梁上無(wú)集中力或集中力偶作用時(shí)才成立。3637(4) 在集中力作用點(diǎn)：上次例 2 (書(shū)例4.

11、2)剪力圖有突變，突變值即為集中力的數(shù)值，突變的方向沿著集中力的方向(從左向右觀(guān)察)；彎矩圖在該處為折點(diǎn)。(5) 在集中力偶作用點(diǎn):對(duì)剪力圖形狀無(wú)影響；彎矩圖有突變，突變值即為集中力偶的數(shù)值。38集中力偶為逆時(shí)針時(shí)，向下跳(從左向右看);順時(shí)針時(shí)，向上跳(從左向右看).(5) 在集中力偶作用點(diǎn):對(duì)剪力圖形狀無(wú)影響；彎矩圖有突變，突變值即為集中力偶的數(shù)值。上次例 4根據(jù)微分關(guān)系作剪力圖和彎矩圖(1)(2)(3)(4)(5)求支反力；建立坐標(biāo)系(一般以梁的左端點(diǎn)為原點(diǎn))；分段 確定控制面；求出控制面上的Q、M值；根據(jù)微分關(guān)系連線(xiàn)，作出剪力圖和彎矩圖。3940例 1已知：簡(jiǎn)支梁如圖。求：利用微分關(guān)系

12、作剪力圖和彎矩圖。解：(1) 求支反力(2) 坐標(biāo)系xQ QABC(3) 確定控制面(4) 計(jì)算控制面的Q和Mqa2qa / 2qa2(5) 連線(xiàn)x41作彎矩圖18qa 218qa 242例 2已知：懸臂梁如圖。求：利用微分關(guān)系作剪力圖和彎矩圖。2解：(1) 求支反力 RD =0, MD =qaRDMDx(2) 坐標(biāo)系(3) 確定控制面(4) 計(jì)算控制面的Q和MB處：Q=qa, M =qa2 /243MDxRD(4) 計(jì)算控制面的Q和MB處：Q=qa,2xQ Qqa(5) 連線(xiàn)D處：Q=0,2M =qa44(4) 計(jì)算控制面的Q和MB處：Q=qa,2彎矩圖12qa 2qa 2D處：Q=0,2M

13、 =qa45例 3已知：外伸梁如圖。解：求：利用微分關(guān)系作剪力圖和彎矩圖。(1) 求支反力RB =qa, RD =qa方向如圖。46例 4 (上次的例4 )已知：外伸梁如圖。求： 利用微分關(guān)系作剪力圖和彎矩圖。解：(1) 求支反力RA =10 kN, RB = 5 kN(2) 畫(huà)剪力圖和彎矩圖47ENDRA = qaRB = qa48例 5( 書(shū)習(xí)題4.13(a) )關(guān)系找出圖中的錯(cuò)誤并改正。解： 支反力1474已知：內(nèi)力圖。 RA求：利用微分RB254qa4932qa2例 6( 書(shū)習(xí)題4.16(a) )已知：剪力圖，且梁上無(wú)集中力偶。解：求：載荷圖和彎矩圖。3kN4kN2kN3kN49q=1

14、kN/m50彎矩圖4kN3kNq=1kN/m3kN 6kNm 2kN4kNm 4.5kNmMRA = ql+RB = ql+例 7 (書(shū)習(xí)題4.19 )已知：q, P。求：用疊加法作彎矩圖。 RARBRA1RB1RA2R 51B2Pbl12解： 約束反力Pal12若梁分別受到這兩種載荷的作用：RA = ql+RB = ql+RA1 = ql,RB1 = qlRARBRA1RB1RA2R 52B2約束反力PblPal1212若梁分別受到這兩種載荷的作用：12,PblRA2 =12PalRB2 =RA1 = ql,RB1 = qlRARBRA1RB1RA2R 53B2若梁分別受到這兩種載荷的作用：

15、12,PblRA2 =12PalRB2 =可以看出：RA = RA1+RA2RB = RB1+RB2彎矩方程M = qlx qx +qlx qx +RARB彎矩方程AC段：xPbl1 1 22 21 2212CB段：M =Pal(lx)結(jié)論在小變形的情況下，約束反力和內(nèi)力都是外載荷的線(xiàn)性函數(shù)，可以使用疊加法。疊加法作彎矩圖54=疊加法作彎矩圖+P =ql, a =3l/5, b=2l/5+55無(wú)關(guān)56剛架的內(nèi)力圖剛節(jié)點(diǎn)剛節(jié)點(diǎn) 在連接兩部分的節(jié)點(diǎn)處夾角不變。特點(diǎn) 內(nèi)力分量中，除了剪力和彎矩外，通常還有軸力。內(nèi)力的正負(fù)號(hào)與觀(guān)察位置NNQQ無(wú)關(guān)57NNQ無(wú)關(guān)有關(guān)無(wú)關(guān)Q內(nèi)力的正負(fù)號(hào)與觀(guān)察位置彎矩畫(huà)在受

16、壓側(cè)58(1) 可分段建立坐標(biāo)系；(2) 軸力、剪力畫(huà)在內(nèi)側(cè)或外側(cè)均可，但需標(biāo)出正負(fù)號(hào)；(3) 彎矩畫(huà)在受壓側(cè)。剛架內(nèi)力圖的畫(huà)法Q = qa59例 8 剛架已知：q，a。求：內(nèi)力圖。(2) 求內(nèi)力解： (1) 求支反力 結(jié)果如圖。NBC段:X =0N = 012M QDY =0MD(F) =0qa xM =12xQ = qaM =qa xN =M = qa y qy60(2) 求內(nèi)力BC段:N = 0NM QDx1212AC段:Y =0X =01qa2Q = qa qyMyME(F) =0212NEQM =qa x61qa12(2) 求內(nèi)力BC段: N = 0 Q = 12121 22(3) 軸力圖 1qa2qaM =qa x qy62(4) 剪力圖特點(diǎn)：在剛節(jié)點(diǎn)處，彎矩值連續(xù) ;(5) 彎矩圖BC段:12AC段:M = qa y212Qqa12M12qa212qaqa2特點(diǎn)：在剛節(jié)點(diǎn)處，彎矩值連續(xù);Q1M1N1Q2M2N2Q2 = N1= 0Q1 = N2M = 0X =0Y =0M1 =63M 2可以利用剛節(jié)點(diǎn)的平衡，對(duì)內(nèi)力圖進(jìn)行校核。644. 6 平面曲桿的彎曲內(nèi)力平面曲桿的內(nèi)力圖的畫(huà)法與剛架的內(nèi)力圖的畫(huà)法類(lèi)似。平面曲桿 軸線(xiàn)為平面曲線(xiàn)的桿或梁。例子已知：P, a 。求：橫截面上的內(nèi)力及彎矩