§2.1測(cè)度與測(cè)度的性質(zhì)

1、第二章測(cè)度與測(cè)度的構(gòu)造我們知道Riemann枳分的幾何意義是曲邊梯形的面積.為在歐氏空間空間上推廣 Riemann積分的理論，我們必須把象長(zhǎng)度，面積和體積等概念推廣到尺”中的更一般的集上 12本章將耍定義的尺”上的Lebesgue測(cè)度就是長(zhǎng)度，面積和體積等概念推廣.§2.1測(cè)度與測(cè)度的性質(zhì)教學(xué)目的 給出-般空間上測(cè)度的定義，并由測(cè)度的定義推出測(cè)度的 膚本性質(zhì)Lebesgue測(cè)度和Lebesgue-Stieljes測(cè)度是本卩定義的測(cè)度最巫耍 的特例，將在§2 3中介紹本節(jié)要點(diǎn)本節(jié)討論的測(cè)度是一般空間上的抽象測(cè)度應(yīng)通過一些例 子，使學(xué)生理解測(cè)度的意義廣義實(shí)數(shù)集測(cè)度論屮討論的函數(shù)

2、和測(cè)度將允許取正、負(fù)無窮為值為此引進(jìn)“ + s”和“_co”兩個(gè)符號(hào)，稱之為廣義實(shí)數(shù)規(guī)定它們與實(shí)數(shù)a之間的人小關(guān)系和四則運(yùn)算如F：(1)序關(guān)系:一 00 v a v +s.C)加法:a + (±co)=(±co) + a =住 co)十(±co) = ±co.'± COd >0G)乘法:a (土s)=(±oo) a = <0a = 0耳coa <0除法:a -0.± CO(5)絕對(duì)值:|± oo| = +6記疋=莊3+6,_6.稱1T為廣義實(shí)數(shù)集，它的元索稱為廣義實(shí)數(shù).取值rir的 序列和

3、兩數(shù)分別稱為廣義實(shí)數(shù)列和廣義實(shí)值兩數(shù).測(cè)度的定義與性質(zhì)設(shè)X是一固定的非空集.本肖所討論的集都是X的子集我們稱定 義在集類上的換數(shù)為集曲數(shù).定義1設(shè)欠為一個(gè)環(huán)，“：欠TO, + s是一個(gè)非負(fù)值集兩數(shù) 如果“滿足如卜條n “(0) = 0.(ii)可數(shù)可加性：對(duì)/屮的任意一列互不相交的集厶, 當(dāng)00U九W欠時(shí)，成立n=l8COn=ln=l則”稱為久上的一個(gè)測(cè)度.注1壞上的測(cè)度也HWW限可加性爭(zhēng)實(shí)上，設(shè)坷,4 w欠，則“(U4)=i-l=心)+ + “(AJ + "(0) + 1-1這表明“具有有限可加性-但在一般情況人有限可加性不能推出可數(shù)可加性.思考題 證明：若“是壞欠上的廣義實(shí)值函數(shù)

4、,"不恒為+ 00,并且滿足可數(shù)可加性, 則是欠上的測(cè)度例1設(shè)0=X,0.令zz(0) = 0, /t(X) = 1.則“是久上的測(cè)度.例2設(shè)X是一非空集，d是X中的一個(gè)固定元 對(duì)任意令/八卩若a"，(力)=<10若°電A.則容易驗(yàn)證"是伊(X)上的測(cè)度.例3設(shè)歹是非空集X上的(T-代數(shù) 對(duì)任意若力工0,則令“3) = +s. 另外令“(0) = 0,則“是歹上的測(cè)度例4設(shè)* = ©,勺,是可數(shù)集，滬(X)是X的全體子集所成的a-R數(shù) 又設(shè) pn,p>l是一列非負(fù)實(shí)數(shù).在卩(X)上定義“(0) = 0,心)=工必，Ae(X)-a,e

5、A容易驗(yàn)證“是伊(X)上的測(cè)度.特別地，當(dāng)pn =l(n>l)時(shí)，/中元素的個(gè)數(shù)當(dāng)蟲是冇限集，“3) = /1+S當(dāng)蟲是無限集.此時(shí)稱“為X上的計(jì)數(shù)測(cè)度 特別地，卄取X = N為自然數(shù)集，則得到自然數(shù)集上的計(jì)數(shù) 測(cè)度.例5設(shè)歹足非空集X上的<7-代數(shù)，E".令=Er>A:A.則玉是E 上的0-代數(shù)(見第一章習(xí)題第22題).若“是歹上的測(cè)度 則“(限制在西上)也是巧上的測(cè)度.在§23將給出測(cè)度最匝耍的例子即1T上的Lebesgue測(cè)度.定理2設(shè)“是環(huán)欠上的測(cè)度.則“具有如下性質(zhì):(1) 單調(diào)性.若4恥欠 且Au方,則“3)<“(£).(2)

6、可減性.若欠，A(zB并且“ (X)v+s,則“3-4)= "(3)-“3).00(3) 次可數(shù)可加性 若3”U欠 并JlUdW欠，則n«l“(C)4) < f>(4)n=ln=lco卜連續(xù)性若并且u児則n=lcoA(UA )=lim“(4) 上連續(xù)性.若4u？ 并且w児“G4Jv+s,則 n»l8“(3=慳心)證明(1).由蟲(=5故£ =由：/c(8-N) = 0,由測(cè)度的有限可加性得到“3) = “3) + “3->1)注意到從B -yl)>0, W此“3) < “(8).(2)在(1)中已證"(B) = h

7、(A) + h(B-A).由此式并注意到0W“3)<+s,即得“3-乂)= “3)-“(乂)H1(3)令Bx = Al9 Bn = A - U人，n A 2.I»1coco則BJu 欠，并且Bn c(n>l), Bt n Bj = 0(/ j).易知成立|JA=U5n (參 n=ln=l見第一章習(xí)題第1*題)利用測(cè)度的可數(shù)可加性和氓調(diào)性衍到41a(UA) = XUBn)=丈“(E)n=ln=ln=l令易M占=4 一心心2.由于At, 容易知道有42#BtcBj= 0(i 豐并且cococoA=U5- UA=UBr1=1 1=1 1=1由測(cè)度的可數(shù)可加性，我們“(Ua) =

8、 f>(瓦)=恕 i>3Jn«l= lim/z(|jBt) = lim/z(-4n). n->comT8i=lm=1n*lt«l(5)令Bw=4-4,n>l.則恥,并且UBn = U(A-A) = A-r)A-n=lw=lw=l注總到(|Ja)<+s,由測(cè)度的可減性和卜連續(xù)性，得到 n=lcooo“-(店)= z/(|jBJ = liin/(B)FtlM»1= limS一 “(&)n->co” T800由上式得到/z(p|4l)=liinzz(j).定理證畢n=l注2在測(cè)度的性質(zhì)(5)中，若去掉條件“(ZJV+s,則不能

9、保證中的結(jié)論成立例如，設(shè)“是自然數(shù)集7V上的計(jì)數(shù)測(cè)度.令4 = G,n+i,nni則4,1并且00 8ru =0.丁是 /z(Q)= o. 另一方而，由 丁 (4) =+s(nni), 故lim“(4)= +co n->co因此(|人)工!現(xiàn)"(4) n=l28#定義3設(shè)“是環(huán)欠上的測(cè)度.(i)若對(duì)每個(gè)力w沢都有“3) < +s,則稱“是有限的#(ii). Xi對(duì)每個(gè)Ae ，存在欠屮一列集厶,使得(n 1)并JI 力=0蟲”，則稱“是一冇限的H-1容易知道，若環(huán)欠上的測(cè)度“是CF-冇限的，則上述定義中的/”可以選取為互不 相交的特別地，若“是7-代數(shù)夕上的測(cè)度，則“是7-有限的當(dāng)且僅當(dāng)存在夕中一列8互不相交的集4，使得“3”) +s (n ni)并且z = UM.n«l例如，本節(jié)例1和例2中的測(cè)度是有限的例4中的測(cè)度是7-有限的定義4 (1)設(shè)X為一非空集，疔為X上的CT-代數(shù) 稱二尤組合(X,嚴(yán))為可測(cè)空間. 歹中的集稱為于-可測(cè)集(或簡(jiǎn)稱為可測(cè)集)(2)設(shè)“為可測(cè)空間(X,F)上的測(cè)度 稱