平面向量中三點共線定理探究

1、平面向量中“三點共線向量定理”探究三點共線定理在教材中沒有作為定理使用，但在各級考試中卻應(yīng)用廣泛，筆者嘗試通過聚焦結(jié)論，優(yōu)化思路，多維度揭示定理的價值所在向量共線定理：對平面內(nèi)的任意兩個向量r r實數(shù)，使a b.r rrrrra、bb0,a /b的充要條件是：存在唯一的由該定理可以得到平面內(nèi)三點共線定理:三點共線定理：已知平面內(nèi)一組基底 則A , B , P三點共線，當(dāng)且僅當(dāng)uuu uuruuu uiuiruuuuuuOA QB及任一向重 OP, OP10A2OB1，2 R1+2= 1.1,使證明：如圖uur uuuAP ABuurOPA,B,P三點共線,uuruur uuuOAOB OA當(dāng)且

2、僅當(dāng)有唯一一個實數(shù)uuuruuuuurOP1 OAOB,10令1=1uuu即為向量OP的系數(shù)uur uuu uur，則OP 1OA 2OB，且 1+ 2= 1.定理特征：uuu uuu1向量OAOB的系數(shù)之和等于11 ,此時1=10，此時1=12點P的位置是隨著1,2的變化而變化的uuuuuu令 1=1, 2, OP 1 OA當(dāng)點P在線段A時時，01,此時1=1當(dāng)點P在線段AB勺延長線上時， 點Pft線段AES向延長線上時，.如圖uuruuuuur2 ,OP1OA2OB且1+ 2 =:1uuuuuuruuruuruuruuuuuuOBOP OAOBOAAPAB0,1 , 20,1,0,21,0

3、,2,0當(dāng)點P與點A重合時，=0,此時1=1當(dāng)點P與點B重合時,=1 ,此時1=11,200,21.uur uuu推論：在 OA沖，P為直線AB上的一點，且 AP PB,uuu 1 uuu uur則OP OAOB11定理應(yīng)用1:由三角形邊上的分點引出向量問題例1.在uuuABC 中，ABr uur rc, AC b,若點 Duur滿足BDuuir2DC,uuur則AD2rA b1 r-c2r C.-b口 5r 2rB. c b1 r-cc 1r 2r D. b cuur所以AD1 uuuAB + 1+2uuur練習(xí)1.在ABC1 r AC = -c1+2332 r 一-b ,所以答案為A.uu

4、iT中，已知點D是AB4上一點，若 ADuuur uur 2DB,CD1 uur -CA 3uuuCB,貝UA. 23C.-3D.-3解析：如圖4 ,一， , 1因為A,B,D三點共線，所以- 十31,所以答案為A.定理應(yīng)用2:由過三角形一邊上分點的直線引出向量問題例2.如圖5 ,在 ABC中，點P是直線BC±的一點，且滿足uuuuuuir uur uur交直線AB,ACT不同白兩點M,N,若AM mAB , AN nAC, muuuBP0,nuuirPC ,過點P的直線分別0 ,貝一 m nuur解析：由推論可知，AP1 uurAB1uur 1 uuuuuuirAC AM AN11

5、m 1n因為M , P, N三點共線,一+=1,m 1 n+ -=1+ . m n練習(xí)2.如圖6 ,在ABC uuir于不同的兩點M,N,若AB中，點 皿BC勺中點,過點D的直線分別交直線AB,AC uunn uuuruuirmAM , AC nAN ,則 m n解析：因為皿BC勺中點,所以uuir AD1 uur 1 uurAB AC22m uuur -AMn uuir -AN, 2又因為M,D,N三點共線，所以m n一十 - 1,所以 m+n 2.練習(xí)3.如圖7 ,在ABCuuruuir中，點D滿足BD =2 DC,過點D的直線分別交直線AB,ACuuuu于不同的兩點M,N,若AMuur

6、uuiruuur 1 2mAB, AN nAC,則一m nuuir解析：令 =2,則AD1 uuuu AM 1+2 m2u1r12例3.如圖8 ,設(shè)點就在ABCuuur uurr iur 且滿足AM mAB , AN定理應(yīng)用3:由過三角形重心的直線引出向量問題的重心，過點G直作直線MNF直線AB,ACfc于不同的兩點M,N,uuur11nAC , m 0, n 0 ,則一一 m n解析：設(shè)MBC勺中點,uur則AG2 uuir -AD31 uuir 1 uuur1 uuuu 1 uur1 AB * 1 AC AM ,AN,因為 M,G,N333m3n三點共線，工=1,3m 3m=3. m練習(xí)4

7、.如圖8 ,設(shè)點加在 ABC的重心,過點G直作直線MN1直線AB,ACM邊分別交于uuuuM,N,兩點,且AMuur uuiruuurmAB, AN nAC , mAMN2 - E§ S abc ,則 m1 -右m 貝Un2一一 一 , 1解析：因為一 m1=3, n1 時，n 1. 2因為若S AMN3sABC ,S AMNS ABC1AM AN sin MAN=21八AB AC sin 2BACmn23,因為工1=3m n3mn 2.定理應(yīng)用4:由三點共線定理引出的數(shù)列求和問題uuu uuu例4.已知等差數(shù)列uur且A,B,C三點共線an的前 n項和為 & ,若OB =

8、a10A +a2ooOC ,該直線不過原點0 ,則S200 =A100B.101C.200D.201解析：由A,B,C三點共線可知，a!+a2oo=1,200 a1 +a200S200 = T=100.所以答案為A.uuu uuur解析：因為AB=dBCA B,C三點共線a2+a2019=1，S20202020 a2 + a2019 =1010.2所以答案為B.定理應(yīng)用5:由三點共線定理引出的不等式求最值問題例5如圖9 ,在ABC中, uuur于不同的兩點M,N,若AMuuiruur點D滿足BD =2 DCuur uur mAB, ANA.3B.4uuurnAC, mC.83,過點D的直線分別

9、交直線 AB,AC0,n 0則2n最小值為c 10D.3解析：因為uuir uuir uuurBD =2 DC,Q AD11+2 muuuuAMuuur-AN, n12一 一3. m nm 2nm 2n 3m23n2n 2m3m 3n2-3.3故選A.1時成立,n即muur2019OC，等號當(dāng)且僅當(dāng)空= 2m, 3m 3nuuin unn且 AB=dBC, OA.0BC,則S200 =B.1009C.2017D .2020練習(xí)7.如圖10 ,在ABCuur中，點D是BC勺中點過點D的直線分另I交直線AB,AC于不同的兩點M,N,若ABuuuu uuur mAM , ACuuir1 nAN，則一2的最小值為A43+ . 2B.2C.- +2D.6解析：因為D是BC勺中點,