反常積分.ppt課件

1、二、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分第四節(jié)常義積分積分限有限被積函數(shù)有界推行一、無窮限的反常積分一、無窮限的反常積分反常積分 (廣義積分)反常積分 第五章 一、無窮限的反常積分一、無窮限的反常積分引例引例. 曲線曲線21xy 和直線1x及 x 軸所圍成的開口曲邊梯形的面積21xy A1可記作12dxxA其含義可了解為 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1定義定義1. 設(shè)設(shè), ),)(aCxf,ab 取假設(shè)xxfbabd)(lim存在 , 那么稱此極限為 f (x) 的無窮限反常積分, 記作xxfxxfbabad)(limd)(這時稱反常積分xxfad)(收斂 ;假設(shè)

2、上述極限不存在,就稱反常積分xxfad)(發(fā)散 .類似地 , 假設(shè), ,()(bCxf那么定義xxfxxfbaabd)(limd)(, ),()(Cxf若那么定義xxfd)(xxfcaad)(limxxfbcbd)(lim( c 為恣意取定的常數(shù) )只需有一個極限不存在 , 就稱xxfd)(發(fā)散 .無窮限的反常積分也稱為第一類反常積分. ,并非不定型 ,闡明闡明: 上述定義中假設(shè)出上述定義中假設(shè)出現(xiàn)現(xiàn) 它闡明該反常積分發(fā)散 .,)()(的原函數(shù)是若xfxF引入記號; )(lim)(xFFx)(lim)(xFFx那么有類似牛 萊公式的計算表達式 :xxfad)()(xFa)()(aFFxxfbd

3、)()(xFb)()(FbFxxfd)()(xF)()(FF例例1. 計算反常積分計算反常積分.1d2 xx解解:21dxxarctanx)2(2xoy211xy思索思索: ?01d2對嗎xxx分析分析:)1ln(211d22xxxx原積分發(fā)散 !留意留意: 對反常積分對反常積分, 只需在收斂的條件下才干運用只需在收斂的條件下才干運用“偶倍奇零 的性質(zhì), 否那么會出現(xiàn)錯誤 .例例2. 證明反常證明反常 積分積分apxxd證證:當當 p =1 時有時有 axxdaxlnapxxdappx11當 p 1 時有 1p1p,11pap當 p 1 時收斂 ; p1 時發(fā)散 .,因此, 當 p 1 時,

4、反常積分收斂 , 其值為;11pap當 p1 時, 反常積分發(fā)散 . 例例3. 計算反常積分計算反常積分. )0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p二、無界函數(shù)的反常積分二、無界函數(shù)的反常積分引例引例:曲線曲線xy1所圍成的1x與 x 軸, y 軸和直線開口曲邊梯形的面積可記作10dxxA其含義可了解為 10dlimxxA12lim0 x)1 (2lim02xy10A1xy定義定義2. 設(shè)設(shè), ,()(baCxf而在點 a 的右鄰域內(nèi)無界,0取存在 ,xxfxxfbabad)(limd)(0這時稱反常積分xxfbad)(收斂 ; 假設(shè)上述極限不存在,就稱

5、反常積分xxfbad)(發(fā)散 .類似地 , 假設(shè), ),)(baCxf而在 b 的左鄰域內(nèi)無界,xxfxxfbabad)(limd)(0假設(shè)極限baxxfd)(lim0數(shù) f (x) 在 a , b 上的反常積分, 記作那么定義那么稱此極限為函 假設(shè)被積函數(shù)在積分區(qū)間上僅存在有限個第一類 闡明闡明: ,)(,)(外連續(xù)上除點在若bcacbaxf而在點 c 的無界函數(shù)的積分又稱作第二類反常積分, 無界點常稱鄰域內(nèi)無界 ,xxfbad)(xxfcad)(xxfbcd)(xxfcad)(lim110 xxfbcd)(lim220為瑕點(奇點) .例如,xxxd11112xxd) 1(11延續(xù)點,而不

6、是反常積分. 那么本質(zhì)上是常義積分, 那么定義留意留意: 假設(shè)瑕假設(shè)瑕點點,)()(的原函數(shù)是設(shè)xfxF的計算表達式 : xxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbFxxfbad)()()(aFbF那么也有類似牛 萊公式的假設(shè) b 為瑕點, 那么假設(shè) a 為瑕點, 那么假設(shè) a , b 都為瑕點, 那么, ),(bac那么xxfbad)()()(cFbF)()(aFcF可相消嗎可相消嗎?112dxx因211111x下述解法能否正確: , 所以積分收斂.例例4. 計算反常積分計算反常積分. )0(d022axaxa解解: 顯然瑕點為顯然瑕點為 a , 所以所以原式0arcsi

7、naax1arcsin2例例5. 討論反常積分討論反常積分112dxx的收斂性 . 解解:112dxx012dxx102dxx101x011x所以反常積分112dxx發(fā)散 .例例6. 證明反常積分證明反常積分baqaxx)(d證證: 當當 q = 1 時時,當 q 1 時收斂 ; q1 時發(fā)散 .baaxxdbaax ln當 q1 時baqaxx)(dabqqax1)(11q,1)(1qabq1q,所以當 q 1 時, 該廣義積分收斂 , 其值為;1)(1qabq當 q 1 時, 該廣義積分發(fā)散 .例例7.解：解：,)2() 1() 1()(32xxxxxf設(shè)求.d)(1)(312xxfxfI

8、)(20 xfxx為與因為的無窮延續(xù)點, 故 I 為xxfxfd)(1)(2)(1)(d2xfxfCxf)(arctan012d)(1)(xxfxfI202d)(1)(xxfxf322d)(1)(xxfxf反常積分.)(arctanxf)(arctanxf02)(arctanxf232222732arctan222732arctan10內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 1. 反常積分反常積分積分區(qū)間無限被積函數(shù)無界常義積分的極限 2. 兩個重要的反常積分兩個重要的反常積分apxxdbaqaxx)(d1p1p)0( abaqxbx)(d1q,1)(1qabq1q,) 1(11pap闡明闡明: (1) 有時經(jīng)過換元有時經(jīng)過換元 , 反常積分和常義積分可以互反常積分和常義積分可以互相轉(zhuǎn)化 .例如 ,1021dxx）令txsin(20dtxxxd11104210121d122txxx102112)()d(xxxx)1(xxt令022dtt(2) 當一題同時含兩類反常積分時當一題同時含兩類反常積分時,