既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量

1、目錄中文摘要1英文摘要1一、引言2二、隨機(jī)變量及其分布2（一）隨機(jī)變量及其分布21隨機(jī)變量的概念22分布函數(shù)的定義33分布函數(shù)的性質(zhì)3（二）離散型隨機(jī)變量31離散型隨機(jī)變量及其分布的定義32分布列的基本性質(zhì)43用分布函數(shù)判別離散型隨機(jī)變量的一種方法6（三）非離散型隨機(jī)變量61連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)的定義72密度函數(shù)的性質(zhì)73連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的特征84。非離散非連續(xù)的隨機(jī)變量8三、既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量及其判別9（一）隨機(jī)變量的判別9（二）既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量的判別9（三）考研中常見(jiàn)的非離散非連續(xù)的隨機(jī)變量示例10四、結(jié)束語(yǔ)12參考文獻(xiàn)13 既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量彭惠敏摘要

2、：通過(guò)對(duì)隨機(jī)變量進(jìn)行分類(lèi)，借助離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)、性質(zhì)、數(shù)字特征及其必要條件的討論，給出了判別既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量的方法，即用離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)必要條件的逆否命題加以判別，文中給出了大量例證，并給出了近幾年考研中遇到的此類(lèi)題目，使初學(xué)者對(duì)隨機(jī)變量的分類(lèi)有更為深刻的理解。關(guān)鍵詞：離散型隨機(jī)變量；連續(xù)型隨機(jī)變量；既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量；分布函數(shù)Neither Discrete Nor Continuous Random VariablePeng Hui-minAbstract: Through the study of the classification of

3、 random variables and the discussion of the distribution function, the nature, the digital characteristics, as well as the necessary conditions of both discrete and continuous random variable, this paper demonstrates the means of discriminating the neither discrete nor continuous random variable, th

4、at is, by virtue of the converse-negative proposition of the necessary conditions of the two variables distribution function. A large number of examples and examination questions of this kind appeared in the recent few years of postgraduate entrance exams are given so as to render an in-depth unders

5、tanding of the classification of the random variables to the beginners.Key words: discrete random variable; continuous random variable; neither discrete nor continuous random variable; distribution function一、引言除了離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量之外，還有既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量，有的教科書(shū)上稱(chēng)“由于這種情況比較復(fù)雜，一般不對(duì)這種情況加以討論”，所以很多教科書(shū)上根本不提及既不離散也不連續(xù)

6、的隨機(jī)變量，以至于初學(xué)者認(rèn)為只有離散型和連續(xù)型兩類(lèi)隨機(jī)變量，造成很大的誤解。應(yīng)該說(shuō)，隨機(jī)變量分為離散型和非離散型隨機(jī)變量，在非離散型隨機(jī)變量中有一類(lèi)重要的隨機(jī)變量是連續(xù)型隨機(jī)變量，除此之外還有既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量。在我們所研究的隨機(jī)變量中，主要有兩類(lèi)，這就是離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。二、隨機(jī)變量及其分布（一）隨機(jī)變量及其分布1隨機(jī)變量的概念設(shè)是隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是如果對(duì)于每一個(gè)都有一個(gè)實(shí)數(shù)和它相對(duì)應(yīng)，這樣就得到一個(gè)上的實(shí)值函數(shù)，稱(chēng)為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量按其取值情況可分為兩類(lèi):離散型隨機(jī)變量和非離散型隨機(jī)量。如果隨機(jī)變量的所有可能取值為有限個(gè)或可列個(gè)，則稱(chēng)為離散型隨機(jī)變量。非離散型

7、隨機(jī)變量的情況比較復(fù)雜，它的所有可能取值不能一一列舉出來(lái)，其中的一種對(duì)于實(shí)際應(yīng)用最重要、最廣泛的稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量。 是一個(gè)隨機(jī)變量，如果存在上的非負(fù)可積函數(shù)，使的分布函數(shù)，則稱(chēng)為連續(xù)型隨機(jī)變量， 是的概率密度函數(shù)。既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量，一般教科書(shū)都不詳細(xì)介紹。這種隨機(jī)變量不常用，概率分布不易表達(dá)，用分布列只能表示其離散的部分，用密度函數(shù)只能表示其連續(xù)的部分，只有通過(guò)其分布函數(shù)才能將分布表達(dá)清楚，而分布函數(shù)是初學(xué)者的難點(diǎn)。2分布函數(shù)的定義設(shè)為隨機(jī)變量，對(duì)任意實(shí)數(shù)，稱(chēng)為隨機(jī)變量的分布函數(shù)。3分布函數(shù)的性質(zhì)任意分布函數(shù)都有如下三條基本性質(zhì)：（1） 單調(diào)性 是定義在整個(gè)實(shí)軸上的單調(diào)非遞減函數(shù)，

8、即對(duì)任意的，有.（2） 有界性 對(duì)任意的，有，且,.（3） 右連續(xù)性 是的右連續(xù)函數(shù)，即對(duì)任意的，有即這三條基本性質(zhì)成為判別某個(gè)函數(shù)是否成為分布函數(shù)的充要條件。（二）離散型隨機(jī)變量1離散型隨機(jī)變量及其分布的定義假如一個(gè)隨機(jī)變量?jī)H可能取有限個(gè)或可列個(gè)值，則稱(chēng)其為離散隨機(jī)變量。設(shè)是一個(gè)離散隨機(jī)變量，如果的所有可能取值是則稱(chēng)取的概率為的概率分布列或簡(jiǎn)稱(chēng)分布列，記為.分布列也可用如下列表方式來(lái)表示： 或記成2分布列的基本性質(zhì)（1）非負(fù)性 （2）正則性 .以上兩條基本性質(zhì)是分布列必須具有的性質(zhì)，也是判別某個(gè)數(shù)列是否能成為分布列的充要條件。由離散型隨機(jī)變量的分布列很容易寫(xiě)出的分布函數(shù)它的圖形是有限級(jí)（或無(wú)

9、窮極）的階梯函數(shù)。是一個(gè)跳躍函數(shù)，它在處有跳躍度.可見(jiàn)可以唯一決定和例1、設(shè)隨機(jī)變量的分布列為試求的概率分布列及， ，并寫(xiě)出的分布函數(shù)。解：，.的圖形如圖所示，它是一條階梯型的曲線，在可能取值-1，2，3處有右連續(xù)的跳躍點(diǎn)，其跳躍度分別為在其可能取值點(diǎn)的概率：0.25，0.5，0.25. y -1 0 1 2 3 特別，常量可看作僅取一個(gè)值的隨機(jī)變量，即.這個(gè)分布常稱(chēng)為單點(diǎn)分布或退化分布，它的分布函數(shù)是 1 0 c 單點(diǎn)分布函數(shù)圖以上例子可以得出這樣一個(gè)結(jié)論：離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)總是階梯函數(shù)。結(jié)論1 若隨機(jī)變量為離散型，那么其分布函數(shù)為階梯函數(shù)。證明 為離散型隨機(jī)變量 的分布列為， （不妨

10、這里設(shè)） 下證（1）當(dāng)時(shí)，； （2）當(dāng)， 時(shí)，（常數(shù)），且. 事實(shí)上，（1）當(dāng)時(shí)，;（2）當(dāng)，時(shí)， . 這是?。ㄓ邢蓿﹤€(gè)值對(duì)應(yīng)概率相加 其和一定存在，記為，即 當(dāng) 時(shí)， 顯然，. 綜上可知，的分布函數(shù)為階梯函數(shù)。3用分布函數(shù)判別離散型隨機(jī)變量的一種方法 我們還可以借助分布函數(shù)來(lái)給出離散型隨機(jī)變量的判別條件。 結(jié)論2 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為.若是階梯型函數(shù)，則為離散型隨機(jī)變量。 證明 是的分布函數(shù) 一定是右連續(xù) 是階梯函數(shù) 是有有限個(gè)或可列個(gè)間斷點(diǎn)的分段函數(shù)不妨間斷點(diǎn)按由小到大的順序排列起來(lái)的順序?yàn)?則其中，為常數(shù)，下證， 為的分布列。（1）是單調(diào)不減的函數(shù) （2）綜合（1）、（2）可知： ，

11、是的分布列。（三）非離散型隨機(jī)變量由于非離散型隨機(jī)變量的情況比較復(fù)雜，它的所有可能取值不能一一列舉出來(lái)，但它總的情況可以分為連續(xù)型隨機(jī)變量和既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量。1連續(xù)型隨機(jī)變量及密度函數(shù)的定義假如一個(gè)隨機(jī)變量的可能取值充滿(mǎn)數(shù)軸上的一個(gè)區(qū)間，則稱(chēng)其為連續(xù)隨機(jī)變量。定義 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，如果存在實(shí)軸上的一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)，使得對(duì)任意實(shí)數(shù)有則稱(chēng)為的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)密度函數(shù)，或稱(chēng)密度。2密度函數(shù)的性質(zhì)（1）非負(fù)性 （2）正則性 （含有的可積性）。以上兩條性質(zhì)是密度函數(shù)必須具備的基本性質(zhì)，也是確定或判別某個(gè)函數(shù)是否成為密度函數(shù)的充要條件。例：向區(qū)間上任意投點(diǎn)，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)。設(shè)這個(gè)點(diǎn)落在

12、中任意一個(gè)小區(qū)間的概率與這個(gè)小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，而與小區(qū)間的位置無(wú)關(guān)。求得分布函數(shù)和密度函數(shù)。解：記的分布函數(shù)為，則當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭遣豢赡苁录?，所以；?dāng)時(shí)，因?yàn)槭潜厝皇录?，所以；?dāng)時(shí)，有，其中為比例系數(shù)。因?yàn)?，所以?于是的分布函數(shù)為下面求的密度函數(shù).當(dāng)或時(shí)，;當(dāng)時(shí)，而在和處，可取任意值，一般就近取值為宜，這不會(huì)影響概率的計(jì)算，因?yàn)樗鼈兪菐缀跆幪幭嗟鹊拿芏群瘮?shù)。于是的密度函數(shù)為這個(gè)分布就是區(qū)間上的均勻分布，記為，其密度函數(shù)和分布函數(shù)的圖形如下。 y y 0 0 的圖形 的圖形上的均勻分布3連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的特征 結(jié)論3 設(shè)為連續(xù)型隨機(jī)變量，是其分布函數(shù)，則是連續(xù)函數(shù)。 證明 是連續(xù)型隨機(jī)變量

13、的分布函數(shù) 由定義，存在非負(fù)可積函數(shù)，對(duì)有 又由變動(dòng)積分上限函數(shù)的性質(zhì)可知，連續(xù) 故是上的連續(xù)函數(shù)。4.非離散非連續(xù)的隨機(jī)變量除了離散型和連續(xù)型分布之外，還有既非離散又非連續(xù)的分布，見(jiàn)下例。例：以下函數(shù)確是一個(gè)分布，它的圖形如圖所示。 y10.5 0 1 既非離散又非連續(xù)的分布函數(shù)示例從圖上看出，它既不是階梯函數(shù)，又不是連續(xù)函數(shù)，所以它既是非離散的又是非連續(xù)的分布。這類(lèi)分布函數(shù)?？煞纸鉃閮蓚€(gè)分布函數(shù)的凸組合，如上例中的分布函數(shù)可分解為其中 而是（離散）單點(diǎn)分布函數(shù)， 是（連續(xù)）均勻分布的分布函數(shù)。三、既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量及其判別（一）隨機(jī)變量的判別由結(jié)論1的逆否命題可得，結(jié)論4 若隨機(jī)變

14、量的分布函數(shù)不是階梯函數(shù)，則一定是非離散型隨機(jī)變量。由結(jié)論3的逆否命題可得， 結(jié)論5 若隨機(jī)變量的分布函數(shù)不是連續(xù)函數(shù)，則一定是非連續(xù)型隨機(jī)變量。 （二）既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量的判別既非離散又非連續(xù)的隨機(jī)變量的分布函數(shù)具有不同于離散型、連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)的特點(diǎn)。（1）分布函數(shù)是右連續(xù)，但卻不是在每一個(gè)分段區(qū)間內(nèi)是常函數(shù)，這一點(diǎn)區(qū)別于離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。（2）分布函數(shù)不是連續(xù)函數(shù)，在某些點(diǎn)處有跳躍性，這一點(diǎn)區(qū)別于連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)。綜上，我們可以得到一個(gè)既不離散也不連續(xù)隨機(jī)變量的判別條件。結(jié)論6 若隨機(jī)變量的分布函數(shù)既不是階梯函數(shù)又不是連續(xù)函數(shù)，則一定是既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)

15、變量。例4 已知函數(shù) 證明：是既不離散也不連續(xù)的某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 證: 先證是的分布函數(shù)。(1)單調(diào)性：設(shè)，若，則 ;若，則;若，則，故;若，則，故;若，則;綜上，. (2)有界性： (3)右連續(xù)性：只需考慮間斷點(diǎn)處的連續(xù)性。 ，故右連續(xù)。 可作為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)。再證是非離散非連續(xù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)。易見(jiàn)是以為間斷點(diǎn)的非連續(xù)函數(shù)，同時(shí)也非階梯函數(shù)。故由結(jié)論6， 是既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量。 例5設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為問(wèn)隨機(jī)變量是離散型，還是連續(xù)型？證：利用分布函數(shù)的性質(zhì)來(lái)判斷此函數(shù)在處不連續(xù)，不是連續(xù)型隨機(jī)變量。此分布函數(shù)在區(qū)間上不是常函數(shù)，不是離散型隨機(jī)變量，故為既非離散又非

16、連續(xù)的隨機(jī)變量。（三）考研中常見(jiàn)的非離散非連續(xù)的隨機(jī)變量示例在研究生入學(xué)考試中，對(duì)單純的連續(xù)性和離散型隨機(jī)變量的考查越來(lái)越少，反而對(duì)這種既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量考察加重，更注重考生們對(duì)知識(shí)點(diǎn)綜合應(yīng)用的能力，下面給出幾個(gè)近幾年考研中出現(xiàn)的此種類(lèi)型的例子。1.（1997，11）：假設(shè)隨機(jī)變量的絕對(duì)值不大于1，在事件 出現(xiàn)的條件下， 在內(nèi)任一子區(qū)間上取值的條件概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比。試求（1）的分布函數(shù);(2) 取負(fù)值的概率.由于在和這兩點(diǎn)可以作為離散型的情況來(lái)處理。在其它情況下可作為連續(xù)型的情況來(lái)處理，且在內(nèi)服從均勻分布， 在此區(qū)間內(nèi)取值的概率為.因此，X的分布函數(shù)為易見(jiàn)，既非階梯函數(shù)又不是

17、連續(xù)函數(shù)，所以由結(jié)論6可知，是既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量。2.（2002）假設(shè)以設(shè)備開(kāi)機(jī)后無(wú)故障工作的時(shí)間服從指數(shù)分布，平均無(wú)故障工作的時(shí)間（）為5小時(shí)。設(shè)備定時(shí)開(kāi)機(jī)，出現(xiàn)故障時(shí)自動(dòng)關(guān)機(jī)，而在無(wú)故障的情況下工作兩小時(shí)便關(guān)機(jī)。試求該設(shè)備每次開(kāi)機(jī)無(wú)故障工作的時(shí)間的分布函數(shù).解：設(shè)的分布參數(shù)為，由于，可知.易見(jiàn).當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.的分布函數(shù)3.（99，4，3分）假設(shè)隨機(jī)變量服從指數(shù)分布，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)（ ）（A）是連續(xù)函數(shù) （B）至少有兩個(gè)間斷點(diǎn)（C）是階梯函數(shù) （D）恰好有一個(gè)間斷點(diǎn)【分析】首先求出的分布函數(shù)為（參見(jiàn)上題）由于的分布函數(shù)恰好在處有一個(gè)間斷點(diǎn)，因此應(yīng)選（D）.4.設(shè)隨機(jī)變

18、量的絕對(duì)值不大于1，且，已知當(dāng)時(shí)， 在其他取值范圍內(nèi)服從均勻分布，求分布函數(shù).證：寫(xiě)出已知條件的數(shù)量關(guān)系。依題意， =，又除0點(diǎn)外， 在其他取值范圍內(nèi)服從均勻分布，其落在不包含0點(diǎn)的子區(qū)間內(nèi)的概率與該子區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，比例常數(shù)，故有當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，=綜上得5.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)則（ ）（A） 0. （B） (C) (D)【分析】 故應(yīng)選（C）.的分布函數(shù)在處有分別有一個(gè)間斷點(diǎn)，并且不是常函數(shù)，所以是既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量?？佳兄谐Ｓ龅揭阎粋€(gè)隨機(jī)變量的分布，又知另一個(gè)隨機(jī)變量與的函數(shù)關(guān)系，求隨機(jī)變量的分布。這屬于求隨機(jī)變量函數(shù)的分布問(wèn)題。如果是既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量混合型隨機(jī)變量，則一般是求其分布函數(shù)。既不離散也不連續(xù)的隨機(jī)變量是一類(lèi)特殊的隨機(jī)變量，一般形式比較復(fù)雜，但只要對(duì)其正確理解，求出其分布也就不難了。四、結(jié)束語(yǔ)本文總結(jié)了分布函數(shù)和離散型及連續(xù)型隨機(jī)變量的相關(guān)知識(shí)，給出離散型和連續(xù)型隨機(jī)變量的判別方法并證明，在此基礎(chǔ)上討論