1993考研數(shù)一真題及解析

1、1993年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題一、填空題(此題共5小題,每題3分,總分值15分,把答案填在題中橫線上.)(1)函數(shù)的單調(diào)減少區(qū)間為_.(2)由曲線繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面在點處的指向外側(cè)的單位法向量為_.(3)設函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式為,那么其中系數(shù)的值為_.(4)設數(shù)量場那么_.(5)設階矩陣的各行元素之和均為零,且的秩為,那么線性方程組的通解為_.二、選擇題(此題共5小題,每題3分,總分值15分,在每題給出的四個選項中,只有一項為哪一項符合題目要求的,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi).)(1)設,那么當時,是的 ( )(A)等價無窮小 (B)同階但非等價無窮小 (C)高階無

2、窮小 (D)低階無窮小(2)雙紐線所圍成的區(qū)域面積可用定積分表示為( )(A)(B)(C)(D)(3)設有直線及,那么及的夾角為 ( )(A) (B)(C)(D)(4)設曲線積分及路徑無關,其中具有一階連續(xù)導數(shù),且,那么等于 ( )(A)(B)(C)(D)(5),為三階非零矩陣,且滿足,那么(A)時,的秩必為1 (B)時,的秩必為2 (C)時,的秩必為1 (D)時,的秩必為2三、(此題共3小題,每題5分,總分值15分.)(1)求.(2)求.(3)求微分方程,滿足初始條件的特解.四、(此題總分值6分)計算,其中是由曲面及所圍立體的外表外側(cè).五、(此題總分值7分)求級數(shù)的和.六、(此題共2小題,每

3、題5分,總分值10分.)(1)設在上函數(shù)有連續(xù)導數(shù),且證明在內(nèi)有且僅有一個零點.(2)設,證明.七、(此題總分值8分)二次型,通過正交變換化成標準形,求參數(shù)及所用的正交變換矩陣.八、(此題總分值6分)設是矩陣,是矩陣,其中,是階單位矩陣,假設,證明的列向量組線性無關.九、(此題總分值6分)設物體從點出發(fā),以速度大小為常數(shù)沿軸正向運動.物體從點及同時出發(fā),其速度大小為,方向始終指向,試建立物體的運動軌跡所滿足的微分方程,并寫出初始條件.十、填空題(此題共2小題,每題3分,總分值6分,把答案填在題中橫線上.)(1)一批產(chǎn)品共有10個正品和2個次品,任意抽取兩次,每次抽一個,抽出后不再放回,那么第二

4、次抽出的是次品的概率為_.(2)設隨機變量服從上的均勻分布,那么隨機變量在內(nèi)的概率分布密度_.十一、(此題總分值6分)設隨機變量的概率分布密度為,.(1)求的數(shù)學期望和方差.(2)求及的協(xié)方差,并問及是否不相關？(3)問及是否相互獨立？為什么？1993年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學一試題解析一、填空題(此題共5個小題,每題3分,總分值15分.)(1)【答案】【解析】由連續(xù)可導函數(shù)的導數(shù)及的關系判別函數(shù)的單調(diào)性.將函數(shù)兩邊對求導,得.假設函數(shù)嚴格單調(diào)減少,那么,即.所以函數(shù)單調(diào)減少區(qū)間為.【相關知識點】函數(shù)的單調(diào)性：設函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導.(1) 如果在內(nèi),那么函數(shù)在上單調(diào)增加；(2) 如果

5、在內(nèi),那么函數(shù)在上單調(diào)減少.(2)【答案】【解析】先寫出旋轉(zhuǎn)面的方程：.令.那么在點的法向量為所以在點處的法向量為因指向外側(cè),故應取正號,單位法向量為(3)【答案】【解析】按傅式系數(shù)的積分表達式,所以 .因為為奇函數(shù),所以；為偶函數(shù),所以 (4)【答案】【解析】先計算的梯度,再計算該梯度的散度.因為 ,所以 .數(shù)量場分別對求偏導數(shù),得由對稱性知將分別對求偏導,得因此,.(5)【答案】【解析】因為,由知,齊次方程組的根底解系為一個向量,故的通解形式為.下面根據(jù)條件“的各行元素之和均為零來分析推導的一個非零解,它就是的根底解系.各行元素的和均為0,即而齊次方程組為兩者比擬,可知是.二、選擇題(此題

6、共5小題,每題3分,總分值15分.)(1)【答案】(B)【解析】為“型的極限未定式,又分子分母在點處導數(shù)都存在,運用洛必達法那么,有因為當,所以,所以所以及是同階但非等價的無窮小量.應選(B).【相關知識點】無窮小的比擬：設在同一個極限過程中,為無窮小且存在極限 ,(1) 假設稱在該極限過程中為同階無窮小；(2) 假設稱在該極限過程中為等價無窮小,記為；(3) 假設稱在該極限過程中是的高階無窮小,記為.假設不存在(不為),稱不可比擬.(2)【答案】(A)【解析】由方程可以看出雙紐線關于軸、軸對稱,(如草圖)只需計算所圍圖形在第一象限局部的面積；雙紐線的直角坐標方程復雜,而極坐標方程較為簡單：.

7、顯然,在第一象限局部的變化范圍是.再由對稱性得應選(A).(3)【答案】(C)【解析】這實質(zhì)上是求兩個向量的夾角問題,及的方向向量分別是及的夾角的余弦為 所以,應選(C).(4)【答案】(B)【解析】在所考察的單連通區(qū)域上,該曲線積分及路徑無關即 ,化簡得, 即,解之得 , 所以 .由得,因此 ,故應選(B).【相關知識點】曲線積分在單連通區(qū)域內(nèi)及路徑無關的充分必要條件是(5)【答案】(C)【解析】假設是矩陣,是矩陣,那么.當時,矩陣的三行元素對應成比例,有,知,所以,可能是1,也有可能是2,所以(A)、(B)都不準確；當時,矩陣的第一行和第三行元素對應成比例,于是從得,又因,有,從而必成立,

8、所以應中選(C).三、(此題共3小題,每題5分,總分值15分.)(1)【解析】令,那么當時,這是型未定式,而是兩個重要極限之一,即所以 .而 ,故 .(2)【解析】方法一：.令,那么,所以 所以 方法二：令,那么,所以 關于的求解同方法一,所以(3)【解析】解法一：所給方程為伯努利方程,兩邊除以得,即.令,那么方程化為,即,即 ,積分得 .由得,即 ,代入初始條件,得,所以所求方程的特解是.解法二：所給方程可寫成 的形式,此方程為齊次方程.令,那么,所以方程可化為,別離變量得,積分得 , 即.以代入上式,得.代入初始條件,得,故特解為.四、(此題總分值6分)【解析】將表成,那么又是封閉曲面,可

9、直接用高斯公式計算.記圍成區(qū)域,見草圖,取外側(cè),由高斯公式得用球坐標變換求這個三重積分.在球坐標變換下,為：,于是五、(此題總分值7分)【解析】先將級數(shù)分解,第二個級數(shù)是幾何級數(shù),它的和求第一個級數(shù)的和轉(zhuǎn)化為冪級數(shù)求和.考察所以 .因此原級數(shù)的和.六、(此題共2小題,每題5分,總分值10分.)(1)【解析】證法一：由拉格朗日中值定理可知,在存在一點,使得即 .因為,所以當時,故.由,所以在上由介值定理可知,必有一點使得.又因為,故為嚴格單調(diào)增函數(shù),故值唯一.證法二：用牛頓-萊布尼茲公式,由于以下同方法1.(2)【解析】先將不等式做恒等變形:因為,故原不等式等價于或.證法一：令,那么.因為,所以

10、,故.從而在時為嚴格的單調(diào)遞增函數(shù),故.由此 ,即 .證法二：令,那么 .當時,所以為嚴格的單調(diào)遞減函數(shù),故存在使得成立.即.七、(此題總分值8分)【解析】寫出二次型的矩陣為,它的特征方程是經(jīng)正交變換化成標準形,那么標準形中平方項的系數(shù)1,2,5就是的特征值.把代入特性方程,得.因知.這時 .對于,由,得 .對于,由,得.對于,由,得.將單位化,得故所用的正交變換矩陣為【相關知識點】二次型的定義：含有個變量的二次齊次多項式(即每項都是二次的多項式) 其中,稱為元二次型.令,那么二次型可用矩陣乘法表示為其中是對稱矩陣,稱為二次型的矩陣.八、(此題總分值6分)【解析】證法一：對按列分塊,記,假設

11、即 , 亦即 .兩邊左乘,得 ,即 ,亦即 .所以線性無關.證法二：因為是矩陣,所以.又因,故.所以線性無關.【相關知識點】1.向量組線性相關和線性無關的定義：存在一組不全為零的數(shù),使,那么稱線性相關；否那么,稱線性無關：乘積的秩小于等于單個矩陣的秩九、(此題總分值6分)【解析】如圖,設當運動到時,運動到.由的方向始終指向,有,即 (1)又由,得 由題意,單調(diào)增,所以 .亦即.(2)由(1),(2)消去,便得微分方程.初始條件顯然是.十、填空題(此題共2小題,每題3分,總分值6分,把答案填在題中橫線上.)(1)【解析】可以用古典概型,也可以用抽簽原理.方法一：從直觀上看,第二次抽出次品的可能性

12、及第一次抽到正品還是次品有關,所以考慮用全概率公式計算.設事件“第次抽出次品由得.應用全概率公式方法二：對填空題和選擇題可直接用抽簽原理得到結(jié)果. 由抽簽原理(抽簽及先后次序無關),不放回抽樣中第二次抽得次品的概率及第一次抽得次品的概率一樣,都是.(2)【解析】方法一：可以用分布函數(shù)法,即先求出分布函數(shù),再求導得到概率密度函數(shù).由條件,在區(qū)間上服從均勻分布,得的概率密度函數(shù)為先求的分布函數(shù).當時,；當時,；當時,即于是,對分布函數(shù)求導得密度函數(shù) 故隨機變量在內(nèi)的概率分布密度.方法二：也可以應用單調(diào)函數(shù)公式法.由于在(0,4)內(nèi)單調(diào),反函數(shù)在(0,2)內(nèi)可導,且導數(shù)恒不為零,因此,由連續(xù)型隨機變量函數(shù)的密度公式,得到隨機變量的概率密度為故隨機變量在內(nèi)的概率分布密度.十一、(此題總分值6分)