向量組的正交化ppt課件

1、線性代數下頁結束返回 證明證明: (反證反證) 設設a a1，a a2， ，a am線性相關，則其中至少有一向量可由其余向線性相關，則其中至少有一向量可由其余向量線性表示，不妨設量線性表示，不妨設a a1可由可由a a2， ，a am線性表示，即有一組數線性表示，即有一組數k2， ，km，使，使 a a1k2a a2+ + + +kma am ，于是，于是 (a a1 , a a1)= (a a1 , k2a a2+ + + +kma am) = (a a1 , k2a a2)+ + + (a a1 , kma am) =k2 (a a1 , a a2)+ + + km (a a1 , a a

2、m)=0這與這與(a a1 , a a1)0矛盾，所以矛盾，所以a a1，a a2， ，a am線性無關線性無關. . 定理定理1 正交向量組是線性無關的向量組正交向量組是線性無關的向量組.下頁2.8 2.8 向量組的正交化向量組的正交化線性代數下頁結束返回 定理定理2 對于線性無關的向量組對于線性無關的向量組a a1,a a2, ,a am，令，令則向量組則向量組b b1,b b2, ,b bm是是正交向量組正交向量組. .下頁施密特正交化方法施密特正交化方法11ba2122111(,)(,)abbabb b313233121122(,)(,)(,)(,)ababbabbb bbb12112

3、1112211(,)(,)(,)(,)(,)(,)mmmmmmmmmabababbabbbb bbbbb 另外：另外：很明顯，向量組很明顯，向量組a a1,a a2, ,a am可由向量組可由向量組b b1,b b2, ,b bm線性線性表示表示. .線性代數下頁結束返回下頁11ba2122111(,)(,)abbabb b313233121122(,)(,)(,)(,)ababbabbb bbb 由此可知，由此可知，若向量組若向量組a a1,a a2, ,a am為為AX=o的一個基礎解系，則向的一個基礎解系，則向量組量組b b1,b b2, ,b bm也為也為AX=o的一個基礎解系的一個基

4、礎解系. . 向量組向量組b b1,b b2, ,b bm也可由向量組也可由向量組a a1,a a2, ,a am線性表示，因為：線性表示，因為：112211(,)(,)abab ba2313231111122121(,)(,)(,)(,(,)(,)a ba bab bbbabaaab b1211222112111(,)(,)(,)(,)(,),)mmmmabaaabababbab bbbb線性代數下頁結束返回 例例1已知向量組已知向量組a a1 (1,1,1,1)T, a a2 (3,3,-1,-1)T, a a3 (-2, 0, 6, 8)T,線性無關，試將它們正交化、標準化線性無關，試將

5、它們正交化、標準化. .解解:(1)(1)先先利用施密特正交化方法將向量組正交化，即令利用施密特正交化方法將向量組正交化，即令b1a1(1, 1, 1, 1)T(3, 3, 1, 1)T(2, 2, 2, 2)T (1, 1, 1, 1)T (2, 0, 6, 8)T412(1, 1, 1, 1)T1632(2, 2,2,2)T 2122111abbabbb（， ）（ ， ）313233111222ababbabbbbbb（， ）（，）（ ， ）（，）(1, 1, 1, 1)T44此時此時 b b1, b b2, b b3 為正交組為正交組. .下頁線性代數下頁結束返回1111|2Tbb （1,1,1,1）2221|2Tbb （1,1,-1,-1）333|12Tbb （-1,1,-1,1）(2)(2)再將再將正交化后的向量組標準化，即令正交化后的向量組標準化，即令此時此時 1, 2, 3 即為所求標準正交組即為所求標準正交組. .說明：說明：求標準正交組的過程為，先正交化，再標準化求標準正交組的過程為，先正交化，再標準化. .下頁線性代數下頁結束返回 作業(yè)：作業(yè)：P84頁頁 20（2）結