導數(shù)典型例題講解

1、_資料一：導數(shù) .知識點1導數(shù)的概念例 1 已知曲線 y= 3 x 上的一點 P(0, 0)，求過點 P的切線方程 ·解析：如圖，按切線的定義，當x0 時，割線 PQ 的極限位置是 y 軸（此時斜率不存在），因此過P 點的切線方程是x=0.例 2求曲線 yx2 在點 (2， 4)處的切線方程 ·解析： y=x2 , y=(x0x)2 x02 2x0x( x)2 =4x( x)2ylim(4x)4 . k limx 0 xx 0 曲線 yx2在點 (2， 4)處切線方程為 y4 4(x2)即 4x y 4 0.例 3物體的運動方程是 S1 tt2，其中 S 的單位是米， t

2、的單位是秒，求物體在 t5 秒時的瞬時速度及物體在一段時間 5，5 t內(nèi)相應(yīng)的平均速度解析： S=1+t+t2, S=1+( t+t)+( t+t)2 (1+ t+t2 )=2t· t+t+(t)2, S2t1t , 即 v (t)2t1t , v (5)t11,t即在 5，5t的一段時間內(nèi)平均速度為(t 11) 米秒 v(t)=S limSlim(2 t 1 t) 2t 1tt 0t 0即 v(5) 2×5 1 11. 物體在 t5 秒時的瞬時速度是11 米秒例 4利用導數(shù)的定義求函數(shù)y= 1 在 x=1 處的導數(shù)。x精品資料_解析：y=1111x , y =111,1

3、x1 xxx (1x) limy = lim11x )1 .x 0xx 0 1x(12x2 sin 1x0例 5已知函數(shù) f(x)=x, 求函數(shù) f(x)在點 x0 處的導數(shù)0x0解析 ： 由 已 知 f(x)=0 ， 即 f(x) 在 x=0處有定義，y=f(0+ x) f(0)= ( x) 2 sin1,y =x1y = lim1 =0,xsin, limx sin即 f (0) 0.xxx0xx 0x 函數(shù) f(x)在 x0處導數(shù)為 0.1 ( x2 1)x 1例 6已知函數(shù) f(x)= 2, 判斷 f(x)在 x1 處是否可導？1( x1)x12y1 (1x)2111解析： f(1)=

4、1,limlim2xlim (1x) 1 ,x 0xx0x02y1 (1x1)11 , limyy ,limlim2limx 0xx0x2x 0xx 0x 函數(shù) y=f(x)在 x1 處不可導例 7已知函數(shù)y2x3 3，求 y.解 析 ：y=2x3 +3,y=2( x+x)3+3 (2x3+3)=6 x2· x+6x·( x)2+2( x)3, y =6x2 +6x· x+2(x)2, y= limy =6x2.xx 0x例 8已知曲線 y2x33 上一點 P，P 點橫坐標為 x1，求點 P 處的切線方程和法線方程解析： x=1, y=5, P 點的坐標為 (1,

5、 5),精品資料_利用例 7 的結(jié)論知函數(shù)的導數(shù)為 y=6x2, y|x 1 6, 曲線在 P 點處的切線方程為 y5 6(x 1)即 6xy10, 又曲線在 P 點處法線的斜率為 1， 16 曲線在 P 點處法線方程為 y(x1)，即yx310.566例 9拋物線 yx2 在哪一點處切線平行于直線y 4x5？解析： y= limy = lim(xx) 2x22 x ,x 0xx0x令 2x4 x=2,y4,即在點 P(2，4) 處切線平行于直線 y4x5.例 10設(shè) mt 0， f(x)在 x0 處可導，求下列極限值f ( x0 mx)f ( x0 ) ；(2)f (x0x)f (x0 )(

6、1) limlimt.x0xx0x解析：要將所求極限值轉(zhuǎn)化為導數(shù)f x0)定義中的極限形式。(1) limf ( x0 mx)f ( x0 ) = limf (x0m x)f ( x0 )( m) m f '(x0 ) ,x0xx 0m x（其中 m· x0）f ( x0x ) f (x0 )f ( x0x)(2) limt= limtx 0xx 0xt（其中 1x0 ）tf ( x)例 11設(shè)函數(shù) f(x)在 x1 處連續(xù)，且 limx 1 x 1f (x0 ) 11tf '(x0 ) .t2 ，求 f (1).解析： f(x)在 x 1 處連續(xù)， lim f (

7、x)f(1).x1而又 lim f (x)lim( x1) f ( x)lim( x1) limf (x)0 ×2=0.x 1x 1x 1x 1x 1 x 1 f(1)=0. f (1)= limf (1 x)f (1)lim f (x)f (1)2 （將x 換成 x1）x 0xx 1x1即 f (1) 2.精品資料_例 12已知拋物線 y ax2+bx+c (a0) ，通過點 (1，1) ，且在點 (2， 1)處與直線y3 相切，求a， ，c的值xb解析：由 y limy = lima( xx)2b( xx) c (ax2bx c)2ax b ,x 0xx0x由函數(shù)在點 (2， 1

8、)處與直線y3相切 , 2a×2 1，xb又函數(shù)過點 (1，1)，(2 ， 1), abc=1， 4a 2b c 1，由三式解得 a3，b 11 ，c=9.例 13設(shè)曲線 ysinx 在點 A(， 1 )處切線傾斜角為 ，求 tan()的值 .624解析： y=sinx， y=sin( x+x)sinx=2cos( x+x)sinx2,2y2cos( xx )sinxx)sinx y= lim= lim22 lim cos(xlim2 cosx .x 0 xx 0xx 02x 0x2即 y(sinx)cosx,令在 A 點處切線斜率為 k=cos=3 , tan =3 , (0, )

9、,6223) 1tan1 tan(2743 H，41tan312例 14設(shè) f(x)是定義在 R 上的函數(shù)，且對任何 x1、x2R，都有 f(x1 x2)=f(x1)f(x2 )，若 f(0) 0， f (0) 1，證明：對任何 xR，都有 f(x)=f (x)解析：由 f(x1 x0)=f(x1)f(x2)，令 x1x2 0 得 f(0) f(0)f(0), 又 f(0)0 f(0)=1由 f (0)=1即 lim f ( x) f (0)lim f ( x) 1 1,x 0xx 0x f (x)精品資料_f ( xx)f (x)limf (x) f ( x) f (x)f (x) limf

10、 ( x)1limxxxf ( x) .x 0x 0x 0即 f (x)=f(x)成立2幾種常見函數(shù)的導數(shù)例 1已知 f(x)=x3 ，求 f (x) ，f (1) ，(f(1) ，f (0.5) 解析： f(x)=x3 , f (x)3x2 , f (1)=3,f (0.5) 3×(0.5) 2= 0.75 ，(f(1) =(1) =0.說明：導函數(shù)與函數(shù)在某點處導數(shù)要弄清區(qū)別與聯(lián)系后者是導函數(shù)的某一函數(shù)值，因此在求函數(shù)某一點處導數(shù)時可先求導函數(shù)，再直接求導函數(shù)值例 2已知曲線 y=x2 上有兩點 A(1, 1), B(2, 4) ，求 割線 AB 的斜率； 在 1，1x內(nèi)的平均變

11、化率；過點 A 處的切線斜率 kAT ； 點 A 處的切線方程解析： kAB 41 3；21 平均變化率yf (1x) f (1)(1 x)21x ,xxx2 y2 x , y| 2.即點 A處的切線斜率為 KAT2.x 1 點 A 處的切線方程為 y12(x1) 即 2xy10.說明：通過本例搞清割線斜率， 區(qū)間上平均變化率， 某點處切線斜率與某點處的導數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系，再次驗證了導數(shù)與平均變化率之間的關(guān)系y= limy .x 0xy= 1 在點 P (1，1)處的切線傾斜例 3利用導數(shù)定義和導數(shù)公式兩種方法求曲線x角及該點處的法線方程精品資料_解析：解法一： f(x)= 1 ,y=f(1

12、+x) f(1)=111x ,yx1x1 xx=1= lim y|= lim0 11.x 0x xx即在點 P 處斜率為 k 1， 傾斜角為 135 °，法線方程 y1x1 即 xy0.解法 (二)：y=f(x)1，y=f (x)=1, y|=1 1.2xxx即在點 P 處切線斜率為 k=1，以下同法 (一)說明：求導致方法有兩種， 一種是利用導致定義法求導數(shù)，第二種用導數(shù)公式，要注意題目要求，若無聲明，用最簡單的方法即可例 4已知曲線 y= 3x 上的一點 P(0 ，0)，求過點 P 的切線方程 .解析：由 y= 3x , y= ( 3x ) '1, 在 x=0 處導數(shù)不存

13、在，由圖形知33 x2過 P 點的切線方程是 x=0.例 5設(shè)曲線 ycosx 在 A(，3 )點處的切線傾斜角為 ，求 cot()的值624解析：yx,ysinxx=時ksin=1 1，=cos=,=,tan =662211tan111 cot()=241tan1.tan()1342例 6求曲線 yx3 在點 (3， 27) 處的切線與坐標軸所圍成的三角形面積解析： y=x3 , y=3 x2, y|x=3 =27, 曲線 y=x3 在點 (3，27) 處的切線方程為 y 27 27(x3),即 y 27x54. 其與 x 軸， y 軸交點分別為 (2，0)，(0 ， 54) 切線與坐標軸圍

14、成的三角形面積為S= 1 ×2×54 54.2例 7在拋物線 yx2 上取橫坐標為 x11 及 x23 的兩點，作過這兩點的割線，精品資料_問該拋物線上哪一點的切線平行于這一割線？解析：已知兩點 A(1， 1)B(3，9)，割線斜率為kAB=4, y 2x，令 y=2 x 4 得 x2, 即在點 (2，4) 處切線平行于這一割線3函數(shù)和、差、積、商的導數(shù)例 1求下列函數(shù)的導數(shù)： y=3x2 xcosx； y= tan x ； y=xtanx2； y=1 .xcos x11x解析： y=6x+cos xxsinx； y= (tan x)'xtan x ( x)'

15、;xsec2 xtan x ；x2x2 y= xsin x2 , y= ( x cos x sin x)cos x( x sin x2) ( sin x)cos xcos2x= sin x(cos x2)x .cos2x y= x1x1 , y=1 2( x1 2 .1x1( x 1)1)例 2已知函數(shù) f(x)=x3 7x+1，求 f (x)，f (1)， f (1.5).解析： f(x)=x3 7x+1, y= f (x)=3x2 7, f (1)= 4，f (1.5)= 1 .4注意：導函數(shù)與導數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系， 函數(shù)在某一點的導數(shù)是導函數(shù)在這一點處的函數(shù)值例 3已知函數(shù) y x3ax2

16、4 a 的導數(shù)為 0 的 x 值也都使 y 值為 0，求常數(shù) a3的值解析： y=3x2 +2ax, 令 y=0, 則 3x2+2ax=0, x1=0, x2 = 2 a, 3精品資料_當 x=0 時， y=0= 4 a， a=0 ，即 a 0 滿足條件 ,3當 x= 2 a 時 y0=8a34 a24 a 得 a 0 或 a±332793檢驗知 a±3 不滿足條件， 常數(shù)的值為 0.例 4曲線 y x24x 上有兩點 A(4，0)，B(2 ，4) ，求 割線 AB 的斜率 kAB； 過點 A 處的切線斜率 kA； 點 A 處的切線方程。402 4 y=2x+4 ， y|x

17、=4 = 4，即 kA= 4； 過 A 點的切線方程為 y0 4(x 4)，即 y 4x16.例 5已知 F(x)=f(x)g(x)，就下列兩種情形判斷F(x)在 xx0 處是否可導？ f(x)在 x x0 處可導， g(x)在 xx0 處不可導 f(x)，g(x)在 xx0 處均不可導解析： F(k)在 xx0 處不可導假設(shè) F(x)在 x x0 處可導，由 F(x)=f(x)g(x), g(x) F(x)f(x). f(x)在 xx0 處可導， g(x)在 x=x0 處可導，與條件g(x)在 xx0 處不可導矛盾， F(x)在 xx0 處不可導 F(x)在 xx0 處不一定可導如設(shè) f(x

18、)=sin x+ 1 , g(x)=cos x 1 , 則 f(x)， g(x)在 x0 處均不可導，xx但 F(x)=f(x)+ g(x)sinxcosx 在 x0 處可導1另：若 g(x)=tan x+上，在 x0 處不可導，F(xiàn)(x)=f(x)+g(x)=sin x+tan x+ 2 在 x0 處也不可導x例 6曲線 yx3x1 上求一點 P，使過 P 點切線與直線 y=4x 7 平行精品資料_解析：y=(x3 x1)3x21 ，由過 P 點切線與直線 y4x7 平行，令 3x214 得 x±1，當 x=1 時， y=1 ，此時切線為 y 14(x1)，即 y4x 3 與直線 y

19、4x7 平行， P 點坐標為 (1， 1)。當 x 1 時， y 3，此時切線為 y 3= 3(x 1)，即 y4x 1 也滿足條件， P 點坐標為 (1， 3).綜上得 P 點坐標為 (1，1)或(1， 3).例 7證明：過拋物線 ya(xx1)(xx2), (a0，x1 x2 )上兩點 A(x1，0)，B(x2，0)的切線傾斜角互補解析：y=2ax a(x1+ x2). y ' |x xa( x1 x2 ) , 即 k1=a(x1 x2), y ' |x xa(x2 x1 ) , 即 k2=a(x2x1),11 k1= k2， 兩切線傾斜角互補例 8已知曲線 y=f(x)及

20、 y=f(x)sin ax，(a0) ，其中 f(x)0，且為可導函數(shù)，求證：兩曲線在公共點處彼此相切解析：由 f(x)=f(x)sin ax, f(x)>0， sinax=1， ax=2k+(kZ),22k2 ，設(shè)曲線交點 (x0, y0)， 即 x0=2k x=2 .aa又兩曲線 y1 =f(x)， y1 =f (x)，y1=f(x)sinax ，y2=f (x)sinax+a·cosx·f(x)y1 ' |x x0f '( x0 ) , y2' |x xf '( x0 )sin(2 k) af ( x0 )cos(2 k) f &

21、#39;(x0 ),022 k1=k2，即兩曲線在公共點處相切 .例 9已知直線 y kx 與曲線 yx3 3x2 2x 相切，求 k 的值解析：由y=3 x2 6x+2=k, 又由kx=x3 3x2 +2x ， 3x3 6x2+2x=x3 3x2+2 x,精品資料_即 2x3 3x2 0 得 x1 0 或 x2 = 3 k 2 或 1 244復合函數(shù)的導數(shù)、對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的導數(shù)2例 1函數(shù) y(sin x2) 3 是由函數(shù) y，u，v=三個函數(shù)復合而成2解析：答案分別為： y=u 3 ,u=sin v.v=x2.例 2求下列函數(shù)的導數(shù)： y=(x2 +2x)3 ； y= e5 4 x2；

22、 y= 3ax2 bx1c ； y(sinx2) 3； yln(x 1 x2 )； y x3 lig3x； y= cos5 x ； y=xn, (xR+, nR). sin 2 x解析：y=(x2 +2x)3 ， y=3(x2 +2 x)2·(2x+2)=6( x+1)( x2+2x)2.e54x254 x25 4x2 y=, y=ee.·(8x)=8x·32 1(ax22 y=axbxbxx)3 ·c , y =3(2ax+b).1= 1 (sin x22 x cos x2y=(sinx2 ) 3,y2 ) 3 ·cosx2·2=.

23、3x33 (sin x2 ) 2 yln(x1x2 ), y=1(12 x) =1.x1 x22 1 x21 x23x, y=3x2·ligx+x31e=3x2ligx+x2lige=x2lig (ex3). yx lig33· lig333x3 y= cos5x ,sin 2 xy= (cos5 x)'(sin 2x)cos5 x (sin 2x)'5sin 5x sin 2x2cos5 xcos 2x .(sin 2 x) 2(sin 2x)2 y=xn=(eln x)nenln x,y= enln xn11n 1.=n· ·xn=

24、nxxx精品資料_說明：本例集中訓練常見函數(shù)求導公式，導數(shù)的四則運算法則， 復合函數(shù)的求導法則等，這些要反復熟記·22例 3求函數(shù) f(x)=(x a) ( xb)axb 的導數(shù)。0x a或 xb解析：( )=2( xa)( xb)( xb)( xa)a x b,f x0xa或 xb2( xa)( xb)(2 x ab)a x b f (x)=0xa或 xb例 4若 f(x)=xln(x 5)，g(x) ln(x1), 解不等式 f (x)>g(x).解析： f (x)=1+1 , g(x)=1, 由 f (x)>g(x)，有x 5x11+1> 1,即( x 3)2

25、0, x>5 或 x<1.( x 5)( x1)x5x1又兩函數(shù)定義域為x>5, 所以，不等式 f (x)> g(x )的解集為 (5，).說明：求導數(shù)有關(guān)問題時還要注意原函數(shù)定義域例 5證明：可導奇函數(shù)的導數(shù)是偶函數(shù)。解析： 法一：定義法：設(shè) f(x)為可導奇函數(shù)，則 f(x) f(x), f (x)= limf ( xx)f ( x)lim f ( x x) f (x)x 0xx0x=limf ( xx)f ( x) = ().0xfxx即f()=()導函數(shù)為偶函數(shù) .xfx法二：復合函數(shù)求導法：設(shè) f(x)為可導奇函數(shù)，則 f(x) f(x)，兩邊對 x 求導得：

26、 f (x)=f (x) 即 f (x) f (x), f (x) f (x) f (x)為偶函數(shù)，即命題成立精品資料_同理可證：可導偶函數(shù)的導數(shù)是奇函數(shù)例 6石頭落在平靜水面上，產(chǎn)生同心波紋，若最外一圈波半徑增大速度總是am/s，問在 b 秒末波擾動水面積的增大速度是多少？解析：設(shè) b 秒末最外一圈波紋的半徑為R，則 R=ab, SR2，又 Ra， S|R=ab=2R·R(t)|R=ab =2a2 b.即 b 秒末波擾動水面積的增大率為 2a2 b m2/s.例 7將水注入錐形容器中，其速度為 4 米 3/分，設(shè)錐形容器的高為 8 米，頂口直徑為 6 米，求當水深為 5 米時，水面

27、上升的速度 (如圖 )解析：設(shè)注入水 t 分鐘后，水深為h 米，由相似三角形對應(yīng)過之比可得水面直徑為3h 米，這時水的體積溫 V= 1 ( 3 h)2·h= 34h3 ，由于水面高度 h 隨時間 t 而變化，3864因此 h 是 t 的函數(shù) hh(t)，由此可得水的體積關(guān)于時間t 的導數(shù)為 VV·h，thtt33)' h 't92h 't ，V=(64hh64由假設(shè)，注水的速度為4 米 3分9h2h't =4,t464, Vt =即 h=9h264h|h=5= 256 (米 /分). 當 h5 米時，水面上升的速度為225精品資料_5函數(shù)的單

28、調(diào)性和極值1求函數(shù) y exx1 的單調(diào)區(qū)間解析： y=(e xx+1)=ex 1, 由 ex1>0 得 x>0 ，即函數(shù)在 (0, +)上為增函數(shù)；由 ex 1<0 得 x<0，即函數(shù)在 (，0) 上為減函數(shù) 函數(shù)的單增區(qū)間為 (0，)，單減區(qū)間為 (，0).例 2證明：函數(shù) y 2x x2 在區(qū)間 (0，1)上單調(diào)遞增，在區(qū)間 (1，2)上單調(diào)遞減1x解析： y=,2xx2當 x(0，1)時， y>0， f(x)在(0 ，1)上遞增；當 x(1，2)時， y<0， f(x)在(1 ，2)上遞減例 3討論函數(shù) y=x2sin x 在 (0，2)內(nèi)的單調(diào)性 . y=1 2cos x, x(0, 2 )，由 y>0，得3<x< 5, 即 y=f(x)在(,5 )內(nèi)是333單調(diào)遞增；同理，由 y<0，得 0<x< 或 5<x<2，3 3 y=f(x) 在(0, )和 ( 5 , 2 )內(nèi)都是單調(diào)遞減。33例 4設(shè) f(x)x21ax (a 0)，求 a 的范圍，使函數(shù) f(x)在 (0，)上是單調(diào)函數(shù)解析：()=xa，當x(0, +)時， 0<x<1,f xx2x211 a0，且 f(x)在(0，)上是單調(diào)函數(shù)，則必有 f (x)<0，a1.即 a1 時，函數(shù) f(