數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、圖數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)報(bào)告:獻(xiàn)鵬學(xué)號(hào)：173511038專業(yè)：冶金工程班級(jí)：重冶二班1 拉格朗日插值 11.1 問題背景 11.2 數(shù)學(xué)模型 11.3 計(jì)算方法 11.4 數(shù)值分析 22復(fù)化辛普森求積公式 21.1 問題背景 21.2 數(shù)學(xué)模型 31.3 計(jì)算方法 31.4 數(shù)值分析 53 矩陣的LU分解 53.1 問題背景 53.2 數(shù)學(xué)模型 63.2.1 理論基礎(chǔ) 63.2.2 實(shí)例 63.3 計(jì)算方法 63.4 小組元的誤差 84 二分法求方程的根 94.1 問題背景 94.2 數(shù)學(xué)模型 94.3 計(jì)算方法 94.4 二分法的收斂性 105雅可比迭代求解方程組 101.1 問題背景 101.2

2、數(shù)學(xué)模型 111.2.1 理論基礎(chǔ) 11111.2.2 實(shí)例.1.3 計(jì)算方法 111.4 收斂性分析 136 Romber球積法 136.1 問題背景 136.2 數(shù)學(xué)模型： 136.2.1 理論基礎(chǔ) 136.2.2 實(shí)例 146.3 計(jì)算方法 146.4 誤差分析 157 幕法 157.1 問題背景 157.2 數(shù)學(xué)模型 167.2.1 理論基礎(chǔ) 167.2.2 實(shí)例 167.3 計(jì)算方法 167.4 誤差分析 178 改進(jìn)歐拉法 178.1 問題背景 178.2 數(shù)學(xué)模型 188.2.1 理論基礎(chǔ) 188.2.2 實(shí)例 188.3 數(shù)學(xué)模型 188.4 誤差分析 191拉格朗日插值1.1

3、 問題背景1f (x) 2對(duì)于函數(shù) 1 x , 5 X 5求拉格朗日插值。n 10,把f(x)和插值多項(xiàng)式的曲線畫在同一圖上進(jìn)行比較，觀察數(shù)值積分中的Lagrange插值。1.2 數(shù)學(xué)模型?= E?= 0取等距差值節(jié)點(diǎn)？?=-5+10?/n, ?=0, 1, ., n,構(gòu)造n次lagrange插值多項(xiàng)?+1( ?)1 + ? (? - ?2?)?+1(?)當(dāng)n=10時(shí)，十次插值多項(xiàng)式 Lo(x)以及函數(shù)f(x)的圖像可以由Matlab畫出。1.3 計(jì)算方法f.m :function f= f( x ) f=1./(1+x.A2);endLagrange.mfunction y=Lagrange

4、(x0,y0,x);n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:n if j=kp=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s；End拉格朗日插值的曲線：x=-5:1:5;y=1./(1+x.A2);x0=-5:0.001:5;y0=Lagrange(x,y,x0);y1=1./(1+x0.A2);plot(x0,y0, 'b')hold onplot(x0,y1, 'r')運(yùn)行這個(gè)文件可以得到如下拉格朗日

5、圖形曲線:1.4 數(shù)值分析Lio(x)的斷誤差Rio(x)= f(x)-Lio(x)在區(qū)間卜5 , 5的兩端非常大。例如， Lio(4.8)=1.8O438，而f (4.8)=0.04160。這種現(xiàn)象稱之為龍格現(xiàn)象。不管n取多大，Runge 現(xiàn)象依然存在。因此，對(duì)函數(shù)作插值多項(xiàng)式時(shí)，必須小心處理，不能認(rèn)為差值節(jié)點(diǎn)取得越多，差值 余項(xiàng)就越小。此外，當(dāng)節(jié)點(diǎn)增多時(shí)，舍入誤差的影響不能低估。為了克服高次插值的不 足，應(yīng)采用分段低次插值。2復(fù)化辛普森求積公式2.1 問題背景用復(fù)化Simpson公式計(jì)算定積分？?2 =/?的近似值，要求誤差限己 =1/2 x 107,利用其余項(xiàng)對(duì)算法做出步長(zhǎng)的事前估計(jì)；并

6、將計(jì)算結(jié)果與精確值進(jìn)行比較2.2 數(shù)學(xué)模型將積分區(qū)間a,b分為n等分，h=(b-a)/ n, Xk=a+ k h , k=0, 1,門。在每個(gè)子區(qū)問Xk, Xk+i上用Simpson公式可得：“？-1?- i?/ ?(x)dx= E ?(?)?=太 匯?(?) +4?(?+i) + ?(?+i)?=0?= 02其中 Xk+1/2=Xk+1/2h。?-1?Sn ? = yE ?(?) + 4?(?+1) + ?(?+1) = -g-?(?)6 ?=02?- 1?- 1+ 4 匯?(?+1) + 2 匯?(?) + ?(?)?= 02?= 1此式即為復(fù)化Simpson公式。設(shè)f(X) C4a,b,

7、由Simpson公式的誤差有5?= ? - ? = Z?=0- 9q (y) ?(4)(?) , ? ?,?+1o則復(fù)化Simpson公式的余項(xiàng)為：一？-? 一4 一? = - -880 ? ?( )(?), ? ?, ?復(fù)化Simpson公式四階收斂2.3 計(jì)算方法程序1(求f(X)的n階導(dǎo)數(shù))：syms xf=X*eXp(X)%定義函數(shù) f (x)n=input('輸入所求導(dǎo)數(shù)階數(shù):')f2=diff(f,x,n)%t f(x)的 n階導(dǎo)數(shù)程序2:clcclearsyms x%!義自變量xf=inline( 'x*exp(x)' , 'x')

8、。義函數(shù)f(x)=x*exp(x),換函數(shù)時(shí)只需換該函數(shù)表達(dá)式即f2=inline( '(4*exp(x) + x*exp(x)','x' )%定義f(x)的四階導(dǎo)數(shù)，輸入程序1里求出的f2即可f3= '-(4*exp(x) + x*exp(x)'表達(dá)式帶引號(hào)，故取負(fù)號(hào)，一邊求最大值e=5*10A(-8)a=1瞅分下限b=2瞅分上限x1=fminbnd(f3,1,2)大值點(diǎn)對(duì)應(yīng)的x值for n=2:10000009因fminbnd ()函數(shù)求的是表達(dá)式的最小值，且要求%精度要求值%R負(fù)的四階導(dǎo)數(shù)的最小值點(diǎn)，也就是求四階導(dǎo)數(shù)的最說等分?jǐn)?shù)nRn=-(

9、b-a)/180*(b-a)/(2*n)F4*f2(x1)if abs(Rn)<ebreakendendh=(b-a)/nSn1=0Sn2=0for k=0:n-1xk=a+k*hxk1=xk+h/2Sn1=Sn1+f(xk1)Sn2=Sn2+f(xk)end府算余項(xiàng)%用余項(xiàng)進(jìn)行判斷%符合要求時(shí)結(jié)束%求兩組連加和Sn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a)+f(b)%U Sn2力口了 k=0時(shí)的值，故減去 f(a)z=exp(2)R=Sn-z%R已知值與計(jì)算值的差fprintf('用Simpson公式計(jì)算的結(jié)果Sn=') disp(Sn)fprintf(&

10、#39;等分?jǐn)?shù) n=') disp(n)fprintf('已知值與計(jì)算值的誤差 R=') disp(R)運(yùn)行結(jié)果為:E =2. 7284e-08用三inpson公式l+苴的結(jié)果Sn- 7. 3091等分劫I n=24已知值與計(jì)算值的誤差Hf2. 7284e-08A»2.4 數(shù)值分析誤差分析：在上述計(jì)算中，若采用復(fù)化梯形公式，則可以知，其與精確值的誤差為 2.8300 Xe-8,等分?jǐn)?shù)為n=7019;而采用復(fù)化Simpson公式知與精確值的誤差為2.7284 X1 8,等分?jǐn)?shù)為n=24o故與復(fù)化梯形公式相比，復(fù)化 Simpson公式誤差相對(duì)較小。?收斂性分析：右

11、妒 E?= o?(?) = /?(?)?,復(fù)化 Simpson公式的余 ?項(xiàng)是：一？-?一4一(4)?=-詢？ ？?( )(?)，？?？ C?，？?4 一 、一 .一 ？一.可以看出誤差是h階，實(shí)際上若f(x) ec(a,b) , ?1mo ?= %?(?)?,因此 復(fù)化Simpson公式是收斂的。穩(wěn)定性分析：由于求積公式中 A>0(i=0, 1,.，n)則求積公式是穩(wěn)定的。3矩陣的LU分解3.1 問題背景矩陣的LU分解主要用來求解線性方程組或者計(jì)算行列式。在使用初等行變換法求12- 1解線性方程組的過程中，系數(shù)矩陣的變化情況如下：A= 310 經(jīng)過日2(-3)、E3(1)、-1 - 1

12、 - 212- 1&(1/5)可得到0 - 53 000- 12/5由上可知：&(1/5) Ei3(1) Ei2(-3)A=U其中U就是上面矩陣A經(jīng)過行變換后的上三角矩陣，Eij表示將i行元素與j行元素互換的初等矩陣；Eij (k)表示將i行元素的k倍加到j(luò)行上。因此：A=Ei2（3） Ei3（-1） E23（-1/5）12-11A= 310 = 3-1 - 1 - 2 - 1如果方陣A可以分解成單位下三角矩陣 A的LU分解或三角分解。00 12- 110 0 - 53 =LU-1/5 100- 12/5L與上三角矩陣U的乘積，則式A=LU稱為3.2 數(shù)學(xué)模型3.2.1 理論基

13、礎(chǔ)矩陣的LU分解在求解線性方程組時(shí)將十分簡(jiǎn)便。 如對(duì)線性方程組Ax=b,設(shè)人=15 其LU分解。我們先求解方程組Ly=b0由于L是下三角矩陣，則解向量y可以通過依次 求出其分量yb y2, , yn而求出，再求解方程組Ux=y。解向量x可以通過該方程組 依次求出分量Xn, Xn-1, , X2, X1而快速得出。于是由兩個(gè)方程組 Ux=y, Ly=b的求解 而給出LUx=Ly=b=A的解。若矩陣A非奇異，則A能分解為L(zhǎng)U的充分必要條件是A的順序主子行列式不為00?1= ?11 " ?2=?11?21?11?1?3= ?33 3?1 ?則存在惟一的主對(duì)角線上元素全為1的下三角陣L與惟一

14、的上三角陣U,使得A=LU3.2.2 實(shí)例10 20 30 將矩陣20 45 80進(jìn)行LU分解。30 80 1713.3 計(jì)算方法程序：clear allclcA=input('請(qǐng)輸入一個(gè)方陣);輸入一個(gè)n階方陣n,n=size(A);L=zeros(n,n);U=zeros(n,n);for i=1:n % 將L的主對(duì)角線元素賦值1L(i,i)=1;endfor j=1:n 曬矩陣U勺第一行元素U戶A(1,j)；endfor k=2:n 減矩陣L的第一列元素L(k,1)=A(k,1)/U(1,1);endfor i=2:n減L、U矩陣元素for j=i:ns=0;for t=1:i-

15、1s=s+L(i,t)*U(t,j);endU(i,j)=A(i,j)-s；endfor k=i+1:nr=0;for t=1:i-1r=r+L(k,t)*U(t,i);endL(k,i)=(A(k,i)-r)/U(i,i);endend喻出矢!陣L、ULU輸入一個(gè)方陣，輸出結(jié)果如下:畬令行葡匚請(qǐng)輸入一個(gè)方造10 20 30.20 45 80r3d S3 171L-二inoo20S03C-2(3.4 小組元的誤差例如線性方程組Ax = b ,其中:如果系數(shù)矩陣被擾動(dòng)成？=A = 110- 201；,b=0，可得理論解 x=-11 ；,可手算知：？= 10120；,?=10- 20101 - 1

16、0- 20 °若上述過程在計(jì)算機(jī)中進(jìn)行，由浮點(diǎn)數(shù)運(yùn)算規(guī)則可知, 則計(jì)算機(jī)中產(chǎn)生的矩陣為：兩數(shù)相加時(shí)，大數(shù)吃掉小數(shù),? = ? , ?=?, ? = 10-20 0-10- 20這時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)？ ？' = 10-20L 11,且據(jù)？ ？x=b解出的理論解x'=；,明顯不再等于前面的理論解。這說明LU分解是穩(wěn)定的，但是將LU分解用到解線性方程組上是不穩(wěn)定的。究其原 因，是因?yàn)椋?中的第一個(gè)主元10-20太小，導(dǎo)致第二個(gè)主元中的1與值10-20相差懸殊，出 現(xiàn)大數(shù)吃小數(shù)。為了避免上述危害，引入一種選主元手段，即在消去的過程中，通過適當(dāng)?shù)倪x主元， 避免放大數(shù)據(jù)誤差。常用的選主元技

17、術(shù)就是列選主元法 （除此之外還有全選主元法、對(duì) 角選主元法和隨機(jī)選主元法等）：對(duì)m< n階矩陣A,在確定第k個(gè)主元？?（ ？?？>k）時(shí)，先從該列自主元位置 . (kjk)至列尾的所有元素中選擇絕對(duì)俏最大的元素與？?也換 妹后將？?)1 ?,j iyAts h J I nJ y I十一/' l ? v h j y ? ?J ? J/i,、，-l ? ?+ 1,?,?化為零。繼續(xù)這個(gè)過程，直至將矩陣A化為行階梯形。4二分法求方程的根4.1 問題背景在科學(xué)研究與工程計(jì)算中，常遇到方程(組)求根問題。若干個(gè)世紀(jì)以來，工程師和數(shù)學(xué)家花了大量時(shí)用于探索求解方程(組)，研究各種各樣的方

18、程求解方法。對(duì)于方程f(x)=0,當(dāng)f(x)為線性函數(shù)時(shí)，稱f(x)=0為線性方程；當(dāng)f(x)為非線性函數(shù)時(shí)，稱式 f(x)=0為非線性方程。對(duì)于線性方程(組)的求解，理論與數(shù)值求法的成果豐富；對(duì)于 非線性方程的求解，由于f(x)的多樣性，尚無一般的解析解法。當(dāng) f(x)為非線性函數(shù) 時(shí)，若f(x)=0無解析解，但如果對(duì)任意的精度要求，設(shè)計(jì)迭代方程，數(shù)值計(jì)算出方程 的近似解，則可以認(rèn)為求根的計(jì)算問題已經(jīng)解決，至少能夠滿足實(shí)際要求。4.2 數(shù)學(xué)模型使用二分法求方程x”+x-1=0在0,1的近似根(誤差<10A-5)。二分法：二分法是最簡(jiǎn)單的求根方法，它是利用連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，將含根區(qū)間

19、逐次減半縮小，取區(qū)間的中點(diǎn)構(gòu)造收斂點(diǎn)列xk來逼近根x。4.3 計(jì)算方法二分法程序代碼：function y=erfen1(m,n,er) syms x xka=m;b=n;k=0;ff=xA3+x-1;while b-a>erxk=(a+b)/2;fx=subs(ff,x,xk);fa=subs(ff,x,a);k=k+1;if fx=0y(k)=xk;break;elseif fa*fx<0b=xk;elsea=xk;endy(k)=xk;endplot(y, '.-');grid on在命令窗口下執(zhí)行:>> a-b-ezfenl C0T 1, 1 電

20、-5): vpaj atj S)實(shí)驗(yàn)結(jié)果如下：可以得到迭代區(qū)間中點(diǎn)數(shù)列分布及圖像，數(shù)值如下：ans =0.5 , 0.75, 0.625, 0.6875, 0.65625, 0.671875, 0.6796875。0.68359375, 0.68164062, 0.68261719, 0.68212891, 0.68237305, 0.68225098, 0.68231201, 0.68234253, 0.68232727, 0.6823349依據(jù)題目要求的精度，則需彳十七次，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)知x=0.6823349即為所求的根。4.4 二分法的收斂性二分法算法簡(jiǎn)單，容易理解，且總是收斂的；但是二分

21、法收斂速度太慢，浪費(fèi)時(shí)間， 并且不能求復(fù)根跟偶數(shù)重根。5雅可比迭代求解方程組5.1 問題背景在自然科學(xué)和工程技術(shù)中有很多問題的解決常常歸結(jié)為解線性方程組，例如電學(xué)中的網(wǎng)絡(luò)問題，化學(xué)中的配平方程式模型問題，船體數(shù)學(xué)放樣中建立三次樣條函數(shù)問題，用最小二乘法驗(yàn)數(shù)據(jù)的曲線擬合問題，非線性方程組求解問題，用差分法或者有限元法 解常微分方程、偏微分方程邊值問題等都導(dǎo)致求解線性方程組。在實(shí)踐中，通常采用數(shù) 值方法來討論線性方程組 Ax=b的解，其中迭代法是一種重要方法。5.2 數(shù)學(xué)模型5.2.1 理論基礎(chǔ)雅可比迭代法：首先將方程組中的系數(shù)矩陣A分解成三部分，即：A = L+D+U其中D為對(duì)角陣，L為下三角矩

22、陣，U為上三角矩陣。之后確定迭代格式，XA(k+1) = B*XA(k) +f,(這里A表示的是上標(biāo)，括號(hào)數(shù)字即迭代次數(shù))，其中B稱為迭代矩陣，雅克比迭代 法中一般記為J (k= 0,1 ,)，再選取初始迭代向量 XA(0),開始逐次迭代。設(shè)Ax= b,其中A=D+L+UJ非奇異矩陣，且對(duì)角陣 D也非奇異，則當(dāng)?shù)仃嘕的譜半徑p (J)<1時(shí)，雅克比迭代法收斂對(duì)于Ax=b, 0 ?91A= .7?1?2?3+0?11?220?12?13？1?0?22？2?+0？?3? r?, 0 =L+D+U因?yàn)椋?？ w0(Jacob 假設(shè))所以D可逆。故有：(L+D+U)x=bDx=-(L+U)x

23、+bx=-D-1 (L+U)+D-1b5.2.2 實(shí)例用雅可比迭代法解方程組:430?12435- 1 ?2= 30 0 - 14?3- 245.3計(jì)算方法雅可比迭代法程序:function x,k,index=Jacobi(A,b,ep,it_max)if nargin<4 it_max=100;endif nargin<3 ep=1e-5;endn=length(A);k=0;x=zeros(n,1);y=zeros(n,1);index=1;while k<=it_max for i=1:n if abs(A(i,i)<1e-10 index=0;return ;

24、 endy(i)=(b(i)-A(i,1:n)*x(1:n)+A(i,i)*x(i)/A(i,i); end if norm(y-x,inf)<ep break; end k=k+1; x=y; end在命令窗口輸入的命令和結(jié)果如下圖：>> A二 3 0;3 5 -I;0 -1 4 ;b=24 3。-24J ;ep=le_5;it_nai=l00; kj inlfi x I = J ac ob i (A3 bjit_JiLSM 1x -4. 2000 2.4000 -b. 400039indei =15.4收斂性分析由上面運(yùn)行的結(jié)果可知方程組的解為4.2000 , 2.400

25、0 , -5.4000,迭代次數(shù)為39, 由index=1表示計(jì)算成功。雅克比迭代法的優(yōu)點(diǎn)明顯，計(jì)算公式簡(jiǎn)單，每迭代一次只需計(jì)算一次矩陣和向量的 乘法，且計(jì)算過程中原始矩陣 A始終不變，比較容易并行計(jì)算。然而這種迭代方式收斂 速度較慢，而且占據(jù)的存儲(chǔ)空間較大，所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其 改進(jìn)方法。與逐次超松弛迭代法相比，雅可比迭代法收斂速度相對(duì)較慢，逐次超松弛迭代法收 斂速度較快。由逐次超松弛迭代法求出的方程組的數(shù)值解與該方程組的精確解十分接近。 并且離散化后線性方程組的逐次超松弛迭代法的精確性較高，故相對(duì)于雅可比迭代法， 逐次超松弛迭代法更加廣泛地應(yīng)用于實(shí)際，可以用逐次超松弛

26、迭代法求解高階稀疏線性方程組。6 Romberg求積法6.1 問題背景復(fù)化求積方法對(duì)于提高精度是行之有效的方法，但復(fù)化公式的一個(gè)主要缺點(diǎn)在于要 事先估計(jì)出部長(zhǎng)。若步長(zhǎng)過大，則精度難于保證；若步長(zhǎng)過小，則計(jì)算量又不會(huì)太大。 而用復(fù)化公式的截?cái)嗾`差來估計(jì)步長(zhǎng)， 其結(jié)果是步長(zhǎng)往往過小，而且f (x)和f(4)(x)在 區(qū)間a刈上的上界M事估計(jì)是較為困難的。在實(shí)際計(jì)算常采用變步長(zhǎng)的方法，即把步 長(zhǎng)逐次分半(也就是把步長(zhǎng)二等分)，直到達(dá)到某種精度為止，這種方法就是Romberg 分法的思想。6.2 數(shù)學(xué)模型：6.2.1 理論基礎(chǔ)記：TN0) TN ,將區(qū)間N等分的梯形值。TN1) Sn ,將區(qū)間N等分的

27、Simpson；T2) CN ,將區(qū)間N等分的Coteso TN3) RN ,將區(qū)間N等分的Romberg 由其可構(gòu)造一個(gè)序列Tn(),次序列稱為Romberg序列，并滿足如下遞推關(guān)系：f(a (2k 1),2N k12NTi詈f(a)f(b),T2(N)2TN(0)TNkk (k 1) (k 1)4 12N 1 N4k 1,k 1,2,L以上遞推公式就是Romberg積分遞推公式。6.2.2 實(shí)例.一 一 .1,2 一4 八利用Romberg積分法的思想，用龍貝格公式數(shù)值積分求函數(shù) 乙,2? ?的積分6.3 計(jì)算方法龍貝格公式積分程序：function I,step=romberg(f,a,

28、b,eps)%romberg.m為用龍貝格求積分%f為被積函數(shù)%a.b為積分區(qū)間的上下限%eps為積分結(jié)果精度%I為積分結(jié)果；step為積分的子區(qū)間數(shù)if (nargin=3)eps=1.0e-4;end;M=1;tol=10;k=0;T=zeros(1,1);h=b-a;T(1,1)=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f),b);while tol>epsk=k+1;h=h/2;Q=0;for i=1:Mx=a+h*(2*i-1);Q=Q+subs(sym(f),findsym(sym(f),x);

29、endT(k+1,1)=T(k,1)/2+h*Q;M=2*M;for j=1:kT(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j)/(4Aj-1);endtol=abs(T(k+1,j+1)-T(k,j);endI=T(k+1,k+1);step=k;輸入：» cLear all;a=-L 2：b=l< 2：eps=le-fi：I > step=rcTnberg 1J x " t a? bj eps)可以得到結(jié)果：Q, 995323000000000st ep -6.4 誤差分析Romberg求積公式是具有八階精度的算法，收斂且穩(wěn)定，比梯形

30、公式，Simpson公式以及Cotes公式收斂的快。龍貝格公式的余項(xiàng)為：?ccc?,?(?) = / ?(?)?- ?,?=-+1)(?+2?)2? (?- ?) 一+ ? "+ (?) ?2Romberg積分公式高速有效，易于編程，適合于計(jì)算機(jī)計(jì)算。但他有一個(gè)主要的缺 點(diǎn)是，每當(dāng)把積分區(qū)間對(duì)分后，就要對(duì)被積函數(shù) ？?(？?)計(jì)算它在新分點(diǎn)處的值，而這些 函數(shù)值的個(gè)數(shù)是成倍增加的。7曷法7.1 問題背景工程及物理中的許多實(shí)際問題需要計(jì)算矩陣的特征值及特征向量，對(duì)于給定的n階實(shí)矩陣A,當(dāng)n很小時(shí)用傳統(tǒng)的方法是可以的，但當(dāng) n稍大時(shí)，計(jì)算工作量將以驚人的 速度增大，并且由于計(jì)算存在誤差，

31、用方程(入I-A)x=0求解十分困難。在實(shí)際應(yīng)用中， 有的時(shí)候不一定需要求出矩陣的全部特征值和特征向量，例如只需要求出按模最大的或最小的特征值。求這類特征值的方法，通常采用迭代法，其中兩種是幕法和反幕法。7.2 數(shù)學(xué)模型7.2.1 理論基礎(chǔ)設(shè)An有n個(gè)線性相關(guān)的特征向量v1, v2,，vn,對(duì)應(yīng)的特征值i, 2,n, 滿足| i| > | 2| n| ,因?yàn)関1 , v2,，vn為Cn的一組基，所以任給x0,(0) XaiVii 1,所以有:n / k (0)«k /、A x A (aiVi)i 1nkai iVki 1nkai A Vii 1nki k1aV1( ) aiVi

32、i 21若a10,則因1 知，當(dāng)k充分大時(shí)Ak)x(0)1ka1V1 = CV1屬入1的特征向量另一方面,記max(x)=Xi,其中|Xi| 二 | x| ，則當(dāng)k充分大時(shí),max(Akx(0)max(1、心)1kmax(a1V1)/ Ak 1、.(叭zk-kz T 1max(A x ) max( 1 aw)1 max(aM)若d=0,則因舍入誤差的影響，會(huì)有某次迭代向量在v1方向上的分量不為0,迭代 下去可求得入1及對(duì)應(yīng)特征向量的近似值。7.2.2 實(shí)例用幕法計(jì)算矩陣3-10?= -13 2023絕對(duì)值最大的特征值及相應(yīng)的特征向量，取精度要求為c =10-4 07.3 計(jì)算方法幕法Matla

33、b程序：function m,u,index=pow(A,ep,it_max) if nargin<3 it_max=100; end if nargin<2 ep=1e-5; end n=length(A);u=ones(n,1);index=0;k=0;m1=0;while k<=it_maxv=A*u;,i=max(abs(v); m=v(i);u=v/m;if abs(m-m1)<epindex=1; break ;endm1=m;k=k+1;end在命令窗口輸入和輸出如下圖所示：>、汽=3 -I 0 -1 3 2:0 2 31 ：mj uf ind«xj -po¥(At 1 b 1)nt 機(jī) 2301-0,4136L0C0Q0,9112index "7.4 誤差分析幕法程序可以用來計(jì)算矩陣絕對(duì)值最大的特征值及相應(yīng)的特征向量。 幕法的缺點(diǎn)是 開始的時(shí)候并不知道矩陣是否有單一的主特征值，也不知道如何選擇Vo以保證它關(guān)于矩 陣特征向量的表達(dá)中包含一個(gè)與主特征值相關(guān)的非零特征向量。采用幕法和反幕法，求矩陣的最大和最小特征值，從原理上看，這兩種方法都是迭 代法，因此迭代初始向量的選擇對(duì)計(jì)算結(jié)果會(huì)產(chǎn)生一定影響，主要表現(xiàn)在收斂速度上。同時(shí)，原點(diǎn)位移m的選取也影響收斂的