數(shù)值分析第五版李慶揚王能超易大義主編課后習(xí)題答案

1、第一章 緒論，求ln x的誤差。* e* x* x=e x* x*1 .設(shè)x 0, x的相對誤差為 解：近似值x的相對誤差為1而Inx的反差為e ln x* In x* In x e* x*進而有 (ln x*)2 .設(shè)x的相對誤差為2%,求xn的相對誤差。xf '(x)解：設(shè)f(x) xn,則函數(shù)的條件數(shù)為 Cp |(-)| p f(x)n 1又Q f '(x) nxn 1, Cp | x nx | n n又Q r(x*)n) Cp r(x*)且 er (x*)為 2r(x*)n) 0.02n3.下列各數(shù)都是經(jīng)過四舍五入得到的近似數(shù)，即誤差限不超過最后一位的半個單位，試指 出

2、它們是幾位有效數(shù)字：x； 1.1021, x； 0.031, x3 385.6, x4 56.430, x； 7 1.0.*解：X 1.1021是五位有效數(shù)字;* x2 0.031是二位有效數(shù)字;* . x3 385.6是四位有效數(shù)字;* x4 56.430是五位有效數(shù)字;* 一 一x5 7 1.0.是二位有效數(shù)字。4.利用公式求下列各近似值的誤差限：(1) x*x2 x4 ,(2) x*x2x3,(3) x2/x4.r*.其中x1,x2,x3,x4均為第3題所給的數(shù)。解:*(X1)*(X2 )10*(X3)10*(X4)*(X5)2121101010*(1)(X1*(X1)1 10 2*、X

3、2X4)*(X2)1.05 1010*(X4)* * 晨(2) (X1X2X3)X1X2 (X3)* *X2X3*(X1)X1X3 (X2)1.1021 0.03110 1 *0.031 385.6 1 104131.1021 385.6 - 10 32103C則何種函數(shù)的條件數(shù)為0.215* *(3) (X2/X4)X2 (X4) X4 (X2)*X4130.03110 3 56.4302r(V*) Cpgr(R*)3 r(R*)又 Q r(V*)1故度量半徑R時允許的相對誤差限為6.設(shè)Y028,按遞推公式Y(jié)n工11r(R*)- 1 0.3311：783(n=1,2，)100計算到Y(jié)oo。若

4、取7783 27.982 (5位有效數(shù)字)，試問計算Yoo將有多大誤差解：QK Yn11 .783100丫00Y99Y98 Y99783100一 .1Y98783100Y97 V783 1001 一Y Y0 V7831001依次代入后，有丫00 X 100 783100即 Y。 Y)J783,若取 V783 27.982,Y00 Y0 27.982*13(Y00)(Y0)(27.982) 2 10X1具有5位有效數(shù)字八”1-34位有效數(shù)字(7783 27.982)。Y100的誤差限為一10 3。 2x2 28 . 78328 78328 27.98255.9820.017863X2具有5位有效

5、數(shù)字N 118.當(dāng)N充分大時，怎樣求 2dxN 1 x7.求方程x 56x 1 0的兩個根，使它至少具有解：x2 56x 1 0,故方程的根應(yīng)為x1,2 28 7783故 X1 28783 28 27.982 55.982dx arctan(N 1) arctanN x則tanarctan(N 1),1,tanarctan N 。N.arctan(tan(,tan arctan)tan1 tan gtan,N 1 N arctan1 (N 1)N,1arctanN2 * 4 N 19.正方形的邊長大約為了2100cm,應(yīng)怎樣測量才能使其面積誤差不超過1cm解：正方形的面積函數(shù)為A(x) x2(

6、A*) 2A*g (x*).當(dāng) x* 100時，若（A*）1,12則(x*) - 102故測量中邊長誤差限不超過0.005cm時，才能使其面積誤差不超過1cm21.210 .設(shè)S -gt g(t)，假定g是準(zhǔn)確的，而對t的測量有 0.1秒的誤差，證明當(dāng)t增加時S的絕對誤差增加，而相對誤差卻減少。1 。解：QS -gt2,t 02(S*) gt2g (t*)當(dāng)t *增加日, S*的絕對誤差增加(S*),窗2gt2g (t*)當(dāng)t*增力口時，(t*)保持不變，則 S*的相對誤差減少。11 .序列 Vn滿足遞推關(guān)系 y 10yn 1 1 (n=1,2,)，若光 22 1.41 (三位有效數(shù)字)，計算

7、到V10時誤差有多大這個計算過程穩(wěn)定嗎解：Qy02 1.4112(y。*)2 10(3 2衣3 * *,99 70V2o(3 2.2)3解：設(shè) y (x 1)6,4:*1_右 x v2 , x 1.4,則 x 10 又 Qyn 10yn1 1y1 10 y0 1(y*) 10 (y0*)又Q y2 10yl 1(y2*)10 (y1*)g 102 (y°*)_10(y10*) 1010 (y0*)1010 1 10221 1082-1 a計算到y(tǒng)10時誤差為-108,這個計算過程不穩(wěn)定。1(2 1)612.計算f(J2 1)6 ,取J2,利用下列等式計算，哪一個得到的結(jié)果最好*(x6

8、*7 y11)7若通過（3 2衣3計算y值，則(x 1),_ *y x 2(3 2x ) g x63 2x*y若通過(32 .2)3計算y值，則通過(3 2、2)了計算后得到的結(jié)果最好。 313.f (x) ln(x Jx2 1),求 f (30)的值。若開平方用 6位函數(shù)表，問求對數(shù)時誤差有多大若改用另一等價公式。ln（x x"!）計算，求對數(shù)時誤差有多大解ln(x . x2 1)Q f(x) ln(x. M),f (30) ln(30.899)設(shè) u 、. 899, yf(30)14(3 2x)41*t y(3 2x)7，*y uu1*g u 0.01673若改用等價公式ln(x

9、 、x 1) ln(x . x 1)貝U f (30)ln(30 . 899)此時，*y uu1* u 59.98337第二章插值法1.當(dāng)x 1, 1,2時，f(x) 0, 3,4，求f(x)的二次插值多項式。 解：x0 1,x11,x2 .給出f (x) in x的數(shù)值表f(x。) 0,f (Xi)3,f(x2) 4;1o(x),(X 可 用 1(x 1)(x 2)(Xo Xi)(Xo X2)2(x x0)(x x2)11i(x)-2(X 1)(x 2)(Xi Xo)(Xi X2)6(x x0)(x x1)1l2(x)7A一£世；-(x 1)(x 1)(X2 Xo)(X2 Xi)3

10、則二次拉格朗日插值多項式為2L2(x)ykik(x)k 03lo(x) 412(x)14-(x 1)(x 2) -(x 1)(x 1) 是-3115 2 37一x 一x 一6 23Xlnx用線性插值及二次插值計算ln0.54的近似值。解：由表格知，x0 0.4,x1 0.5,x2 0.6,x3 0.7, x4 0.8;f(x0)0.916291, f(x1)0.693147f(x2)0.510826, f (x3)0.356675f(x4)0.223144若采用線性插值法計算ln0.54即f (0.54),則 0.5 0.54 0.6l1(x) 土2210(x 0.6)x x2l2(x) x1

11、0(x 0.5)x2 x1L1(x)f(x1)Wx) f(x2)"x)6.93147(x 0.6) 5.10826( x 0.5)L1 (0.54)0.62021860.620219若采用二次插值法計算ln0.54時,l0(x)l1(x)l2(x)(x x)(x x2)(x° x1)(x0 x2)(x %)(x x2)(x x0)(x1 x2)(x x°)(x x1)(x2 x0)(x2 x1)50( x 0.5)(x 0.6)100(x 0.4)( x 0.6)50(x 0.4)(x 0.5)L2(x) f(x°)l°(x) f(x1)l1(

12、x) f(x2)l2(x)50 0.916291(x 0.5)(x0.6) 69.3147( x 0.4)(x 0.6) 0.510826 50(x 0.4)(x0.5)L2(0.54)0.615319840.6153203.給全cosx,0o x 90o的函數(shù)表，步長h 1(1/60)o,若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字，研究用線性插值求cosx近似值時的總誤差界。解：求解cosx近似值時，誤差可以分為兩個部分，一方面，x是近似值，具有 5位有效數(shù)字，在此后的計算過程中產(chǎn)生一定的誤差傳播；另一方面，利用插值法求函數(shù)cosx的近似值時，采用的線性插值法插值余項不為0,也會有一定的誤差。因此，總誤差界的

13、計算應(yīng)綜合以上兩方面的因素。當(dāng) 0o x 90o 時，令 f (x) cosx一1 c 1取 0, h ()6060 180 10800令 x x0 ih,i 0,1，5400則 X5400- 90o2當(dāng)xxk,xk 1時，線性插值多項式為L/x) f(xjx xk1f(xk1)x xkxk xk 1xk 1 xk插值余項為R(x) cosx L1(x)1 、f ( )(x xk)(x xk 1)2又Q在建立函數(shù)表時，表中數(shù)據(jù)具有 5位有效數(shù)字，且cosx 0,1故計算中有誤差傳播過程。 *15(f (xk) 1 105R2(x)(f*(xk)2_A(f*(xk1)2_Axk xk 1xk 1

14、 xk* £ * / / x xk 1 x xk 1 (f (xk)()xk xk 1 xk 1 xk*1，(f (xk)-(xk 1 x x xk) h_ *(f (xk)總誤差界為R R(x) &(x)Xk i)_ *(f (Xk)1(cos )(x Xk)(X21* /、(X Xk)(Xk 1 X) (f (Xk)212(2h)_ *(f (Xk)1.06 10 80.50106 101510254.設(shè)為互異節(jié)點，求證:n kk(1) Xjlj(X)x (k 0,1,L ,n);j 0n k(Xj x) lj(x) 0 (k 0,1,L,n);j 0證明(1)令 f (

15、x) xk若插值節(jié)點為xj, j0,1,L ,n,則函數(shù)f (x)的n次插值多項式為 Ln(x)nxklj(x)。j 0f(n1)()插值余項為Rn(x)f(x)Ln(x)看 n 1(X)(n 1)!又Q kn,f(n 1)( ) 0Rn(x) 0 n k. . k _ . _.Xjlj(x) x (k 0,1,L ,n); j 0n k (Xj X) lj(x)j 0n n(Cjxj( x)k i)lj(x)j 0 i 0nn_ i k iiCk( X) ( Xjlj(x)i 0j 0又Q0 i n 由上題結(jié)論可知xklj(x) xij 0n原式 C：( x)k ixi i 0(x x)k0

16、得證。 25設(shè) f(x) C a,b 且 f(a) f(b) 0,求證:maxf(x)128(b a) maxf (x).解：令x° a,x b,以此為插值節(jié)點，則線性插值多項式為Li(x) f(xo)-xL f (xi)xx0 xo xix xox bx a=f (a) f (b) a bx a又Qf(a) f(b) 0Li(x) 0插值余項為R(x)i f (x) Li(x) - f (x)(x x°)(x xi)f(x)又Q (x1,2 f (x)(x %)(x xi) %)(x xi)2(x4(%4(bx0)x。)2a)2max a x bf(x)8(b6.在 4

17、x2x)a)2 maxf (x)4上給出f(x)ex的等距節(jié)點函數(shù)表，若用二次插值求ex的近似值，要使截斷誤差不超過I0 6,問使用函數(shù)表的步長 h應(yīng)取多少解：若插值節(jié)點為xi1，為和xi1，則分段二次插值多項式的插值余項為Xi 1)1 , R(x) -f ( )(x Xi i)(X x)(x3!R2(x)1-(x X i)(X6X)(x Xii) maxi f(x)設(shè)步長為h,即 Xi 1Xih,Xi 1 XiR2(x)-e34h3.27若截斷誤差不超過10 6,R2(x)10 e4h327h 0.0065.10 67,若 yn2n，求 4yn及解:根據(jù)向前差分算子和中心差分算子的定義進行求

18、解。yn2n4yn(E1)4yn4(j 04(j 04(j 0(21)j1)j1)j1)4ynE4 jynV424jVnyn2n1E 2)4yn14yn(E萬1(E 2)4(E 1)”2 4EVn yn 22 n 28.如果f(x)是m次多項式，記f(x) f(x h) f(x),證明f(x)的k階差分kf(x)(0 k m)是m k次多項式，并且m1f(x) 0 (l為正整數(shù))。解：函數(shù)f (x)的Taylor展式為f(x h) f(x) f(x)h =f(x)h2 L-1 f(m)(x)hm 二 f(m1)( )hm12m!(m 1)!其中 (x,x h)又Q f(x)是次數(shù)為m的多項式f

19、(m1)( ) 0f(x) f(x h) f(x)f (x)h 1f (x)h2 L f (m)(x)hm2m!f(x)為m 1階多項式2 -f (x)( f(x)2f(x)為m 2階多項式依此過程遞推，得kf(x)是m k次多項式mf (x)是常數(shù)當(dāng)l為正整數(shù)時,m1f(x) 0 9.證明(fkgk) fk gk gk 1 fk證明(fkgk)fk 1gk 1fkgkfk 1gk 1 fkgk 1fkgk 1 fkgkgk 1( fk 1 fk) fk(gk 1 gk) gk 1 fkfk gkfk gk gk 1 fk得證n 110.證明fk gkk 0fngnf0g0gk 1 fkk 0

20、證明：由上題結(jié)論可知fk gk (fkgk) gk 1 fkn 1fk gkk 0n 1(fkgk) gk1 fk)k 0n 1n 1(fkgk)gk 1 fkk 0k 0Q (fkgk) fk 1gk1 fkgkn 1(fkgk) k 0(fg fog。)(f2g2 f9) L (fngn fn 1gn 1)fngn f0g0fk gkk 0fn gnn 1f0g0gk 1 fkk 0得證。n 1、一一211 .證明 yj yn yj 0n 1n 12證明 yj ( yj 1j 0j 0yj)得證。(ViV。) ( V2V1) l ( ynyn 1)yn V。12 .若 f (x) a0 a

21、x Lan 1Xn 1 anXn 有 n 個不同實根 X1,X2,L ,Xn ,證明:kXjj1 f (Xj)0,0 k n 2; n01,k n 1證明：Qf(X)有個不同實根X1,X2,L ,Xn且 f (x) a0 a1X Lan1Xn1 anXnf(X) an(X X,)(X X2)L (X Xn)令 n(X)(X X)(X X2)L (X Xn)kXj而 n(X) (X X2)(X X3)L (X Xn) (X X)(X X3)L(X Xn)L (X Xi)(X X2)L (X Xn i)n ( Xj )(xjXl)(Xj X2)L (Xj Xj i)(Xj Xj i)L (Xj X

22、n)令 g(X)kg Xl,X2,L ,XnXj i n(Xj)Xl,X2,L ,Xnn k為j i n(xj)n kXjji f (Xj)ig Xi,X2,L ,Xn ank xjji f (Xj)0,0 k n 2;ino ,k n i得證。13 .證明n階均差有下列性質(zhì):(1)若F(X) cf(x),則 F Xo,Xi,L ,Xncf Xo,Xi,L ,Xn ；F(x) f(X)g(x)，則 FXo,Xi,L,XnfXo,Xi,L,Xng%,Xi,L,Xn.證明:(1) Qf Xi,X2,L ,Xn1kXj0 (Xj X°)L (Xj Xj i)(Xj Xj i)L (Xj X

23、n)F Xi,X2,L ,XnF(xj)j 0 (Xj Xo)L (Xj Xj i)(Xj Xj i)L (Xj xn)cf(xj)j 0 (Xj Xo)L (Xj Xj i)(Xj Xj i)L (Xj Xn)c(n )j 0 (Xj X°)L (Xj Xj i)(Xj Xj i)L (Xj Xn)cf Xo,Xi,L ,Xn得證。 QF(x) f(x) g(x)F(xj)F Xo,L ,Xnj 0(Xj Xo)L (Xj Xj 1)(Xj Xj i)L (Xj Xn)f(xj) g(xj)j 0 (Xj Xo)L (Xj Xj 1)(Xj Xj i)L (Xj Xn)f(xj)j

24、0(Xj Xo)L (Xj Xj 1)(Xj Xj i)L (Xj Xn)g(Xj)j 0(XjXo)L (Xj Xj i)(Xj Xj i)L (Xj Xn)f Xo,L,Xn gXo,L ,Xn得證。14. f (X) X73x1,求F20,21,L ,27 及 F 20,21,L ,28解：Q f(x)x4 3x 1右Xi2i,i0,1,L,8Xo,Xi,L,XnXo,Xi,L,X7f()7!7!1 7!f Xo,Xi,L ,X8U 08!15.證明兩點三次埃爾米特插值余項是R3(x) f(4)( )(X Xk)2(x Xk i)2/4!,(Xk,Xk 1)解: 若X xk,xk 1,且

25、插值多項式滿足條件山西)f(Xk),H3(Xk) f (Xk)H3(Xk1) f(Xk1),H3(Xk1) f (Xk 1)插值余項為R(x) f (x) H3(x)由插值條件可知 R(xk)R(xk 1) 0且 R(xJ R(Xki) 02 ,、2R(x)可與成 R(x) g(x)(x Xk) (x Xk i)其中g(shù)(x)是關(guān)于x的待定函數(shù)，現(xiàn)把x看成xk,xk1上的一個固定點，作函數(shù)-22(t) f(t) H3(t) g(x)(t xk) (t xki)根據(jù)余項性質(zhì)，有(xk) 0, (xki) 0一22(x) f(x) H3(x) g(x)(x xk) (x xki) f(x) &

26、;(x) R(x)0_2_2(t) f (t) H3(t) g(x)2(t xk)(t xki)2(t xk 1 )(t xk)(xk) 0(xk 1 )0由羅爾定理可知，存在(xk，x)和(x,xk i),使(l) 0，( 2) 0即(x)在xk,xk 1上有四個互異零點。根據(jù)羅爾定理，(t)在(t)的兩個零點間至少有一個零點，故 (t)在(xk, xk 1)內(nèi)至少有三個互異零點，依此類推，(t)在(xk,xk 1)內(nèi)至少有一個零點。記為(xk,xki)使()f()H3()4!g(x) 0又QH3(4)(t) 0),、g(x) ,(xk,xki)4!其中依賴于xR(x)f ( )22(x X

27、k) (x Xk 1) 4!分段三次埃爾米特插值時，若節(jié)點為xk(k 0,1,L , n),設(shè)步長為h ,即xkx0 kh,k 0,1,L ,n在小區(qū)間4?上R(x)R(x)f(4)()4!1-f 4!(x(4)(%x工4!h4xk)2(x xk)2)(x xj2(x xk 1)2xk )2 (xk 12 一 工/ x) max f (x)，a x b '，xk xk 1 x、212)max2a x b14 一 工/ 4h max f (x) 24a x bmax384 a xb(4), f (x)數(shù)不高于 4f (x)次的多項式 P(x), 使它滿足P(0)P(0) 0,P(1) P

28、(1) 0,P(2)解:利用埃米爾特插值可得到次數(shù)不高于4的多項式0,x1V。0，V1m°0,m1H3(x)Vjj 0j(x)1mj j(x)j 0°(x) (1 2人力)(人差)2 x x x° x1-2(1 2x)(x 1)1(x) (1 2 立I()2x 小 x1 幾(3 2x)x20(x) x(x 1)21(x) (x 1)x22232H3(x) (3 2x)x (x 1)x x 2x22設(shè) P(x) H3(x) A(x Xo) (x Xi)其中，A為待定常數(shù)Q P(2) 1P(x)x3 2x2 Ax2(x 1)2A:從而P(x)1 224x2(x 3)2

29、17 .設(shè) f (x)1/(1 x2),在 5 x 5上取n 10,按等距節(jié)點求分段線性插值函數(shù)Ih(x),計算各節(jié)點間中點處的Ih(x)與f (x)值，并估計誤差。解:右 x05, x10則步長h 1,XiXo ih,i0,1,L,10f(x)占在小區(qū)間xi,x1上，分段線性插值函數(shù)為x Xi 1x XiIh(x) f (Xi) f (Xi i)Xi Xi 1X 1 X,、1,、1(X1 x) (x x)。?各節(jié)點間中點處的八J)與f(x)的值為4.5 時,f (x)0.0471,Ih(x)0.04863.5 時,f (x)0.0755, Ih(x)0.07942.5 時,f (x)0.13

30、79, Ih(x)0.15001.5 時,f (x)0.3077, Ih(x)0.35000.5 時,f (x)0.8000, Ih(x)0.75004H至慶左max f (x)Xi x x. 1Ih(x)h2一max f ()8 5x5又Q f (x)1 x2f (x)2x(1 x2)2,f (x)f (x)6x2 2 273 (1 x ) 24x 24x3 (1 x2)4令 f (x) 0得f (x)的駐點為x1,21和x301 .f (x1,2) 2,f(x3)2一 一 1max f(x) Ih(x)-5x5418 .求f (x) x2在a,b上分段線性插值函數(shù)Ih(x),并估計誤差 解

31、：在區(qū)間a,b上，x0 a, xn b,hi x. 1 x.,i 0,1,L ,n 1,h max hi0 i n 1 i2Q f(x) x函數(shù)f (x)在小區(qū)間x ,x. 1上分段線性插值函數(shù)為x xi 1x x.Ih(x)f(x.) f(x)xi xi 1x 1 x122 ,xi (x. 1 x) x. 1 (x x.)hi誤差為maxxi x xi 1f(x) Ih(x)1一 max8 a bf ( )ghi2Q f(x)f (x)2 x2x, f (x)maxa x bf(x) Ih(x)19.求f (x) x4在a,b上分段埃爾米特插值，并估計誤差。解：在a,b區(qū)間上，x0 a,xn

32、 b,hi 為 1 xi,i 0,1,L ,n 1,令 h max hi 0 i n 1Q f(x) x4, f (x) 4x3函數(shù)f (x)在區(qū)間為，為1 上的分段埃爾米特插值函數(shù)為Ih(x) ()2(1 24 f(x)X X 1X 1 X(三旦)2(1 2上工)f(x)X 1 XX xi 1(x_2x_L). (4) / /hi 4 max f () 24 a x b2(x xi)f(x)X X 1(JLJx-)2(x xr)f(X1)X 1 X4%(x x 1)2(h4X 1 /3-(xh3xi)2(h4x3xi i)2(X4xi32(xX)2(x2x 2xi)2x 2xi 1)Xi)X

33、i 1)誤差為X i)2f(x) Ih(x)g|f(4)()(x x)2(x 4!又Q f (x) x4f(4) (x) 4! 24max f (x) a x b ' 'Ih(x)maxi44h h16 16(1)S (0.25)1.0000, S (0.53) 0.6868;(2)S (0.25)S (0.53) 0.解:Xix00.05h1X2Xi0.09h2X3X20.06h3X4X30.08hjhjhj 1hjhj 1hj514,9,14Xo,Xi25, 3 f(x1)7, 0f(x0)0.954020.給定數(shù)據(jù)表如下:XY試求三次樣條插值，并滿足條件:XiXoXi,

34、x0.8533X2,X30.7717f x3,x40.7150(1)S(Xo) 1.0000,S(X4)0.6868de6( f x1,x2f0)5.5200h。d1c f X1,X2f X0,X16h°hi4.3157d2f X2,X3f X1,X26h1 h23.2640da6fx3，X4fX2，X32.4300d46 r r(f4 f X3,X4 ) h32.1150由此得矩陣形式的方程組為1514M09M1142M2M3M4375.52004.31573.26402.4302.115求解此方程組得M02.0278,MM21.0313,MQ三次樣條表達式為S(x) M(yj(X

35、j 1 x)3 j6hjjhj2)Xj1 6hj1.46430.8070,M40.6539(X Xj)3(yj 16hj2M j 1%、x Xj /.)(j6 h0,1L ,n 1)將MoiMhMzM、M4代入得S(x)6.7593(0.30 x)3x 0.25,0.302.7117(0.39 x)3x 0.30,0.392.8647(0.45 x)3x 0.39,0.451.6817(0.53 x)34.8810(x 0.25)31.9098(x 0.30)32.2422(x 0.39)31.3623(x 0.45)310.0169(0.30 x)6.1075(0.39 x)10.4186(

36、0.45 x)8.3958(0.53 x)10.9662(x 0.25)6.9544(x 0.30)10.9662(x 0.39)9.1087(x 0.45)x 0.45,0.53(2)S(x0) 0,S (x4) 0de 2f0 0,d14.3157, d23.2640d32.4300,d4 2 f4 0040由此得矩陣開工的方程組為M0 M4 014M1M2M34.31573.26402.4300求解此方程組，得M0 0M 1.8809M20.8616,M31.0304,M4 0又Q三次樣條表達式為S(x)Mj(xj 1 x)36hjMj(x xj)36hj(yj2M jhjXj 1 x6

37、 hj(yj 12Mj 1%x xj6hj將 Mo,M1,M2,M3,M4代入得6.2697(x 0.25)3 10(0.3 x) 10.9697(x 0.25)x 0.25,0.303.4831(0.39 x)3 1.5956(x 0.3)3 6.1138(0.39 x) 6.9518(x 0.30)x 0.30,0.39S(x)332.3933(0.45 x)3 2.8622(x 0.39)3 10.4186(0.45 x) 11.1903(x 0.39)x 0.39,0.452.1467(0.53 x)3 8.3987(0.53 x) 9.1(x 0.45)x 0.45,0.5321.若

38、f(x) C2 a,b ,S(x)是三次樣條函數(shù)，證明：b2b2 a f (x) dx a S(x) dx aab2b2f (x) S (x) dx 2 s (x) f (x) S (x) dx aa(2)若 f(x。 S(xi)(i 0,1,L ,n),式中 xi為插值節(jié)點，且 a % x L % b,則 bS (x) f (x) S (x) dx aS (b) f (b) S(b) S (a) f (a) S(a)證明：b2 f (x) S(x) dx ab2b2f (x) dx S (x) dx aab2b2f (x) dx S (x) dx aab2 f (x)S (x)dx ab2

39、S (x) f (x) S (x) dx a從而有2(x) dx2S (x) dxf (x)2bS (x) dx 2 S (x) f (x) S (x) dx a第三章函數(shù)逼近與曲線擬合B1(f,x)及 B3(f,x)。1. f(x) sin-x,給出0,1上的伯恩斯坦多項式解：Q f(x) sin-, x 0,1伯恩斯坦多項式為Bn(f,x)kkf (一)Pk(x) n其中Pk(x)kn kx (1 x)0 3x(1x)2gsin 3x2(16x)gsin-x3sin322x(1 x)5 3<3 3 x23 3 2 、x (1 x)3.3 6 2 x2當(dāng)n 1時，1P0(x)0 (1

40、x)P(x) xB1(f,x) f(0)B(x) f(1)P(x)1(1 x)sin( 0) xsin 022x當(dāng)n 3時，13B(x)n (1 x) kB3(f,x)f(-)Pk(x)k 0 n0122P(x) x(1 x) 3x(1 x) 0322P2(x)x (1 x) 3x (1 x)13 33P3(x)3 x3 x31.5x 0.402x2 0.098x32.當(dāng) f(x) x時，求證 Bn(f,x) x證明：若f(x) x,則n k Bn(f,x)f ( )Pk(x)k 0 nxk(1n k x)n kn(n 1)L(n k 1)xk(i x)nkk!n (n 1)L (n 1) (

41、k 1) 1(k 1)!kn kx (1 x)1xkn k(1 x)1 k 1(n 1) (k 1)x (1 x)1xx (1 x)n13.證明函數(shù)1,x,L ,xn線性無關(guān)證明：2-:2n右 ao ax a2xLanx0, x R1的內(nèi)積，得分別取xk(k 0,1,2,l ,n),對上式兩端在0,1上作帶權(quán)(x)1n 1M12n 1ao a1 Man00 M0Q此方程組的系數(shù)矩陣為希爾伯特矩陣，對稱正定非奇異, 只有零解a=0。函數(shù)1,x,L ,xn線性無關(guān)。4。計算下列函數(shù)f (x)關(guān)于C0,1的f "L與|f|：(1)f(x) (x 1)3,x 0,1,1(2)f(x) x 2

42、,(3)f(x) xm(1 x)n,m 與 n 為正整數(shù)， f(x) (x 1)10ex解：(1)若 f(x) (x 1)3,x 0,1,則f (x) 3(x 1)2 0f(x) (x 1)3在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增max0 x 1f(x)max f (0), f(1)max 0,11max f (x) 0 x 1' 'max f (0), f(1)max 0,11161 210(x -)2dx2J6(3)若f(x) xm(1 x)n, m與n為正整數(shù)當(dāng) x 0,1 時，f (x) 0f 2( 0(1 x) dx)217 1 1叩1 x) 02工71,若 f(x)x -,x 0,

43、1 ,則1max0 x 12f (x) dx12 1(x2f(x)1 )dx21 c一f 2 ( 0 f (x)dx)2m 1nf (x) mx (1 x)m 1n 1x (1 x) m(1mn 1x n(1 x) ( 1)n mx) mx (0, nm-)時，f(x) 0f(x)在(0,m內(nèi)單調(diào)遞減x (nn mm-,1)時，f(x) 0f(x)在。,1)內(nèi)單調(diào)遞減。(,1)f (x) 0 n mmax f (x)0 x 1' 'maxf(0), f(當(dāng) x 0,1 時，f (x) 0m nm gn，、m n(m n)f (x) dxo xm(1 x)ndx2 (sin 2t

44、)m(1 sin 2t)nd sin212 _ 2m 2n2sin tcos0n!m!(n m 1)!t costg2gsin tdt1-f2。婢。1 x)2ndx2102sin4mtcoVntd(sin2t)21J2sin4m 1tcos4n 1tdt2(2n)!(2m)!2(n m) 1!若 f(x) (x 1)10exf (x) 10(x 1)9e x (x 1)10( e x) (x 1)9ex(9 x)0f (x)在0,1內(nèi)單調(diào)遞減。Ilf I maxf(x)max f(0),f(1)210e111fli 0f(x)dx1110 x0(x 1) e dx“11c(x 1)10e x

45、q o10(x 1)9exdx105 e 11f 2 0(x 1)20e2xdx27(3 A)4 e5。證明 | f g| | f| |g|證明：f(f g) gf ggf gfg, - 、 、 J- -、6。對 f (x), g(x) C a,b, te乂b(1)(f,g) f (x)g (x)dx ab(2)( f.g) f(x)g(x)dx f(a)g(a) a問它們是否構(gòu)成內(nèi)積。解： 令f (x) C (C為常數(shù)，且C 0)b而(f, f) f (x) f (x)dx a這與當(dāng)且僅當(dāng)f 0時，(f,f) 0矛盾不能成C1a,b上的內(nèi)積。b(2)若(f,g) f(x)g(x)dx f(a

46、)g(a),則 ab(g, f) a g (x) f (x)dx g(a)f (a) (f,g), K ab(f,g) a f(x)g(x)dx af(a)g(a) aba f (x)g (x)dx f (a)g(a)(f ,g)h C1a,b,則b(f g,h) f(x) g(x) h (x)dx f(a)g(a)h(a) abbf (x)h (x)dx f (a)h(a) f (x)h (x)dx g(a)h(a) aa(f,h) (h,g)b2.2(f, f) af (x)2dx f2(a) 0 a若(f , f) 0,則b ,2.2f (x) dx 0,且 f (a) 0af (x) 0, f(a) 0f(x) 0即當(dāng)且僅當(dāng)f 0時，(f,f) 0.故