數(shù)列通項公式的十種求法

1、數(shù)列通項公式的十種求法、公式法ai = 2,求數(shù)列an的通項公式。例1已知數(shù)列an滿足an邛=2an+3x2n,解：an4=2an +3x2n兩邊除以2n卜得an .1an 2 3=十2nan .1an3n+ -2n -2，故數(shù)列2是2n以±=2=1為首項，以3為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得包= 1+（n1）9,21 222n2一 31c所以數(shù)列an的通項公式為an = （- n - -）2 。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an平= 2an+3M2n轉(zhuǎn)化為an 1an2n 1 - 2口為是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出宗=1 +（n_1）：,進(jìn)而求出數(shù)列a

2、n的通項公式。二、累加法 例2已知數(shù)列a。滿足an書=an + 2n +1, a1 =1 ,求數(shù)列an的通項公式。解：由 an+=an +2n+1 得 an4an =2n+1 則an = (an-an)'(an- an N)W(a3-a2)(a2"a1)a1=2(n-1) 1 2(n-2) 1(2 2 1) (2 11)1=2(n -1) (n -2) |l| 2 1 (n -1) 1= 2 (n 1)n (n-1) 12=(n -1)(n 1)12 二 n例3已知數(shù)列an滿足an# =an + 2M3n +1, ai = 3,求數(shù)列%的通項公式。解 ： 由an卡=an+2x

3、n+ 3 得 1an 平一an =2x3n+1 則an =(an -and) - (and -an?) - HI (a3 -a2)(a? -")” K2 3n,1)(23nN1)| (2321) (2 311) 3-2(3nl 3nN| 3231)(n -1)3(n -1) 393(1-3n')二 21 -3=3n -3 n -1 3=3n n -1所以 an =3nn -1.評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an噂 = an + 2M 3n+1轉(zhuǎn)化為an卅-an =2父3n+1 ,進(jìn)而求出 an =(an an)+(anan/) +Ill + (a3 a2) +(a2 a1

4、)+ a1,即得數(shù)列an的通項公式。例4 已知數(shù)列an滿足an書=3an +2M3n+1, a1=3,求數(shù)列an的通項公式。解：小.=3烝+2M3n+1兩邊除以3n書，得解3n ,則棄電=2+工，故3n 1 3n 3 3)n ( n ) () ( nWnN)(2"33 a”a” 1 3333 33212121213ym)ym)子) 國 VN3333333333=2.(工,1)13'3n3n3nl3nq32)因此=2(g+32二三? + 1 =2+1 3n31 -332 2 3n則an2° 1c 1-n 3n 3n -322評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式2口4=3

5、烝+2父3“十1轉(zhuǎn)化為盟2=2+工，3n3n3 3n進(jìn)而求出得-煞)(祖-舞)命2 -蓑)用詹-勖a，即得數(shù)列a 3333333333的通項公式，最后再求數(shù)列 an的通項公式。三、累乘法例5已知數(shù)列小滿足an平=2(n+1)5nM an, a1 =3,求數(shù)列an的通項公式。解：因為 an卡=2(n+1)5n4 =3,所以 an #0,則包土 = 2(n+1)5n ,故anan an Aa3 a?an - ill Olanan _2a2 Oi=2(n1 1用力2(n2 1)52(2 1) 522(1 1) 51 3=2ntn(n-1)川 3 2 5(n,)“21 3n (n J)=3 2nl 5

6、k n!n(n J)所以數(shù)列an的通項公式為an =3父2n父5 Mn!.評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系an書=2(n+1)5nxan轉(zhuǎn)化為 免土 = 2(n+1)5n,進(jìn)而求an出n，曳土 m a1,即得數(shù)列an的通項公式。 an 4 an 2a2 a1例6 (2004年全國I第15題，原題是填空題)已知數(shù)列an滿足a1 =1, an =a +2a2 +3a3 +111 +(n 1)an(n 22),求an的通項公式。解：因為 an =a1+2a2+3a3+IM 十(n1)an/(n * 2)所以 an +=a +2a2 +3a3 +IH +(n 1)an+ nan 用式一式得 an 1

7、-an = nan.則 an 1 =(n 1)an(n -2)n!2 = 2a2.故土！ =n 1(n _2) an所以烝=亙也 Ill a3免=n(n-1)川4 3a anan/ a2由 an =a1 +2a2 +3a3 +| +(n 1)an(n >2),取n = 2得a2 = a1 +2a2,則 a2 =a1 ,又知一_ 一一 n!ai =1,則 a2 =1，代入得 an =13 4 5 n = n!所以，an的通項公式為an= 2評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an書= (n+1)an(n 2 2)轉(zhuǎn)化為 至=n + 1(n 2 2), ana aao.進(jìn)而求出 ，上 包，從而

8、可得當(dāng)n22時，an的表達(dá)式，最后再求出數(shù)列an的anan/a2通項公式。四、待定系數(shù)法例7已知數(shù)列an滿足an書=2an+3 M 5n, a1 = 6 ,求數(shù)列an的通項公式。解：設(shè) an卅+xx5n* =2(an+xM5n)將an4=2an +3父5n代入式，得 2an +3><5n+xx 5n+ = 2an+ 2<x 51,等式兩邊消去2an ,得3g+ x W書= 5兩邊除以5n ,得3 + 5x = 2x則x = 1代入式得an+-5n+=2(an-5n)An 1由a151=65=1#0及式得an 5n#0 ,則包二5-= 2,則數(shù)列an5n是以an -5a1一51

9、=1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則 an 5n =2n，,故an =2n,+5n。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an+=2an +3乂5"轉(zhuǎn)化為an由-5n* = 2(an -5n),從而可知數(shù)列an -5n是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 an -5n的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。例8已知數(shù)列an滿足ay=3an+5x2n+4, a1 = 1,求數(shù)列an的通項公式。解：設(shè) a+xx2n+y =3(an+xM2n + y) 將an+=3an +5x2n +4代入式，得3an 5 2n 4 x 2nl y = 3(an x 2n y)整理得(5 +2x)m2n +4 + y

10、=3xm2n +3y。15 2x = 3x lx = 5令，則，代入式得4y=3y y=2an+ +5x2n41 +2 =3(an +5父2n +2)由 a1 +5 父21 +2 =1+12 =13 =0 及式，Lna d 5 2n 1 - 2得 an +5x2n +2#0,則 an* 5 = 3,an 5 2n 2故數(shù)歹U an +5M2n+2是以a1 +5M21+2 =1+12 = 13為首項，以3為公比的等比數(shù)列，因此 an +5父2n +2 =13M3n，則 an =13父35父2n -2。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an4 =3an +5 M2n +4轉(zhuǎn)化為an4十5M2n*+

11、2=3(an +5M2n+2),從而可知數(shù)列an+5M2n+2是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列an +5M2n +2的通項公式，最后再求數(shù)列an的通項公式。 2例9已知數(shù)列an滿足an由=2an +3n +4n +5, a1 二1 ,求數(shù)列an的通項公式。解：設(shè) an書 +x(n +1)2 + y(n +1) + z =2(an + xn2 + yn +z) 一- 一 2_將an+=2an+3n +4n+5代入式，得222、.2an +3n +4n +5 +x(n +1) + y(n +1) + z = 2(a0+xn + yn + z),貝U222an (3 x)n (2x y 4)n (x y z

12、 5) = 2an 2xn 2yn 2z等式兩邊消去 2an,得(3+x)n2+(2x + y+4)n+ (x + y+z + 5) =2xn2+2yn+2z ,3 x = 2x解方程組2x + y +4 =2y ，則y =10，代入式，得|x y z 5=2z z=18_2_ 2an+ +3(n+1) +10(n +1)+ 18=2(an + 3n +10n+18) 22由 a1+3xl +101+18 =1+31 =32/0及式，得 an + 3n +10n+18#02則4加方'101)'18：2,故數(shù)列an+3n2an+3n +10n+18是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列an +

13、3n +10n+18的通項公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。五、對數(shù)變換法n 5例10已知數(shù)列an滿足an書=2父3 Man , a1 = 7 ,求數(shù)列an的通項公式。解：因為an+=2父3n心5, a1=7,所以%>0,烝+>0。在an書=2父3”父a5式兩邊取常用對數(shù)得 lg an+=5lg an+n lg3+lg 2設(shè) lgan由+x(n+1) + y=5(lgan +xn + y) (y+10n+18為以an 3n2 10n 182a1+3父1 +10父1+18 =1+31 =32為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此_ 2_n 1 一_n 4_ 2 一 一an +3n +1

14、0n +18=32父2,則 an =2-3n -10n-18。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式an4 =2an + 3n2 +4n +5轉(zhuǎn)化為2_2_an+3(n+1) +10(n+1)+18 =2(an +3n +10n+18),從而可知數(shù)列將式代入 （11式，得5lgan +n lg » lg 2x n什 1）y =5g + xn + y ,兩邊消去5 lgan并整理，得（lg3 +x）n +x +y +lg 2 =5xn +5y ,則lg3 x =5xx y Ig 2 = 5ylg3x 二,故 4y;場酩164代入初式，得lgan*+/（n+i）+ /+幽=5（lgan+里n

15、+/+螞）n In41644164i lg3 . lg3 lg2由 lg41 4164二叱*1嚕十號#0及式，/日， lg3 lg3 lg 2得lgan 、一 n 零工4164第0,則1g品學(xué)nT） 等lg3lg31g 21g an-n-41644- =5,所以數(shù)列l(wèi)g an +魴+幽+乜3是以幻7+理+/+農(nóng)工為首項，以5為公比的等 41644164比數(shù)歹U,則lga+lg3n+里+購= （lg7十監(jiān)+監(jiān)+監(jiān)）5n,，因此 n 41644164lgan=（lg7 3 *5n*n-g4 4164464111n11-（lg 7 1g 34 1g 361g 24）5nl -lg 3 - lg 31

16、6 - lg 27111n 11二1g（7 34 3元 24）5n "-1g（3，3記 2“）111n 11= 1g（7 34 31® 24）5n，-1g（34 3G 2，）52n= 1g（75n, 33 16 2 4 ）5n . 4n .15n "l1= 1g（75n=3 16 2丁）5n Nn5n、貝Uan =75" 3 162丁評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換把遞推關(guān)系式an書=2黑3n黑an轉(zhuǎn)化為1g an 11g anlg3 ,1g31g2八 1g31g31g 2+ (n +1) + +=5(lg an + n + +),從而可知數(shù)列4164

17、4164lg31g31g2公1g31g31g2+ gn+g+巴-是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列 lg an+_gn + -g-+-g的通項41644164公式，最后再求出數(shù)列an的通項公式。六、迭代法例11已知數(shù)列an滿足an4a：(n*)2n,a=5,求數(shù)列an的通項公式。3(n 1)2n3n 23(n)2n2 3n 2nl斛：因為 an41=an ,所以 an=an/=an/32(n)n2(n (n d=an _23(n_2) 2nq 32(n3)n2(n (n=an J333(n_2)(n 9 n 2(n 9 m 0 (nd= anJ3= 1113n -23|.|.|(n -2) (n)n 2

18、1 2，111 (nJ) (n Z(n ,n(n 1)3n-n! 2-&又a1 =5 ,所以數(shù)列an的通項公式為an =5,n(n a3n1n!221o評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。即先將等式an4h = a：(n書)2n兩邊取常用對數(shù)得lg an+ =3(n +1)父2nMlgan,即lg冬土 = 3(n +1)2n ,再由累乘法可推知 lg an,_ lg anlg anlg an區(qū)川西蛆叫二成3" lg an alg a? lg an(n 1)-2-3,從而an = 5七、數(shù)學(xué)歸納法例12已知數(shù)列an滿足 an+ =an8(n 1)22 ，(

19、2n 1) (2n 3)ai8 ,求數(shù)列an的通項公式。9解：由 an 1 = an '8(n 1)a2=ai8(1 1)2Z2-2(2 1 1)2(2 1 3)288 224_ +9 9 25258(2 1)248 3a3 - a2 '22 -'(2 2 1) (2 2 3)25 25 494849a48(3 1)488 480-a3 '22 -(2 3 1) (2 3 3)49 49 8181由此可猜測an =(2n +1)往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。(2n 1)(2 1 1)2 18(1)當(dāng)n=1時，a1=(2 1 1) 2 1 =8,所以等式成立。(2

20、 11)9(2)假設(shè)當(dāng)n = k時等式成立，即ak J2k+1) ；1 ,則當(dāng)n = k+1時,(2k 1)2ak 1 - ak8(k 1)_2 _ 2(2k 1) (2k 3)2_ (2k 1)2 -18(k 1)一(2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2(2 k 1)2 -1(2k 3)2 8(k 1)一 (2k 1)2(2k 3)2_ (2k 1)2(2k 3)2 -(2k 3)2 8(k 1)22(2k 1)2(2k 3)2222(2k1)2(2k3)2-(2k1)2一(2k1)2(2k3)2(2k3)2-1一 (2 k 3)22(k 1) 12 -122(k 1) 12由此可知，當(dāng)

21、n = k +1時等式也成立。根據(jù)(1), (2)可知，等式對任何 nW N都成立。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出數(shù)列的前n項，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。八、換元法1例13已知數(shù)列烝滿足小邛=詞(1+4% +J1+24),a=1 ,求數(shù)列 %的通項公式。一，.12解：令 bn = ,1 24an ,則 an =豆6 -1)121故 an 4=24 (bn * -D，代入 an+ =而(1 + 4an + J1 + 24an )得12112五"-1”1 424(b2 f 川 即 4b：1 =(bn 3)2因為 bn =j1+24an >

22、0,故 bnj1+24an¥ >0i13則 2bn=bn +3,即 bn+=2bn+-,一一1可化為 bn+-3 = 2(bn -3),1所以bn 3是以b1 3 = J1 +24a1 3=。1+24父1 3 = 2為首項,以j為公比的等比數(shù)列，因此 bn 3=2(1)n= (g)n1 則 bn=(1)n/+3,即 j1+24an =(1尸+3,得2 111anFW。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將 j1+24an的換元為bn，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化,1 ,3 bn書=3。+萬形式，從而可知數(shù)列bn-3為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列bn-3的通項公式, 最后再求出數(shù)列an的通項公式。九、

23、不動點法-，一 .、21a -24一.、例14已知數(shù)列m滿足an書=a，a=4 ,求數(shù)列an的通項公式。 4an 1加入21x-24 小 2r21x24.解：令 x =，得 4x 20 x3 0 ,則 x1 =2, x2 =3是函數(shù) f (x)=的4x+1124x + 1兩個不動點。因為21an -24 2所以數(shù)列an 1 -2 4an 1121an-24 -2(4an1)13an-2613an-2=Oan 1 -321an-24 321an-24 -3(4an1)9an -279an- 34an 12(13)n :21)a一2、a-24 -213a -2ja-b是以 工 = 4_=2為首項，

24、以13為公比的等比數(shù)列，故 aan -3a1-34 -39an -3則 an=Y-+3。2(獷一 1,., 二 ,一21x 24 ， 一 、一 21x 24 ,評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)f (x)=的不動點，即方程x=的兩4x 14x 1個根x1 =2, x2 = 3 ,進(jìn)而可推出 第卡-2 =£，各二2 ,從而可知數(shù)列an二2為等比數(shù) an1 -3 9 an -3an -3 a. -2 列，再求出數(shù)列一 的通項公式，最后求出數(shù)列 an的通項公式。 I an -3 I例15已知數(shù)列an滿足an書= 7an .2, a1 = 2 ,求數(shù)列an的通項公式。2an 3-" 7x2 2_ 3x-1 解：令x =,得2x 4x+2 = 0 ,則x=1是函數(shù)f (x)=的不動點。2x 34x 7因為an書1 =包二21 =5a二5,所以2an 32an 32/1、n In 1an=3(4)+(2)+3。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將j1+24an的換元為bn，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化,1 ,3 bn書=萬0十萬形式，從而可知數(shù)列bn-3為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列bn3的通項公式,