動力系統(tǒng)及其中幾個重要性質(zhì)的簡介

1、動力系統(tǒng)及其中幾個重要性質(zhì)的簡介?一、動力系統(tǒng)?1.1 動力系統(tǒng)是一門有關(guān)系統(tǒng)演化規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科。動力 系統(tǒng)的經(jīng)典背景是常微分方程的解族所確定的整體的流動。 這里 所說的微分方程的定性理論是指不通過微分方程的顯式解而直 接研究解的幾何和拓?fù)湫再|(zhì)，它是法國大數(shù)學(xué)家Henri Poinear e 1?在 19 世紀(jì)末為贏得奧斯卡國王的大獎研究三體問題時創(chuàng) 立的。Birkhoff:2 ?在20世紀(jì)早期關(guān)于拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)的公理化為動力系統(tǒng)這一學(xué)科建立了大范圍的理論框架。 動力系統(tǒng)屬于 基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，處于微分方程和拓?fù)鋵W(xué)的一個交匯點(diǎn)。同時，動力系 統(tǒng)與物理、力學(xué)甚至生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)密切相關(guān)，與工程技術(shù)的許 多方

2、面互相滲透， 動力系統(tǒng)近年來引起了科學(xué)技術(shù)界乃至社會公 眾的注意。?1.2 動力系統(tǒng)是非線性學(xué)科的一個重要組成部分，動力系 統(tǒng)即是指由拓?fù)淇臻g上的連續(xù)自映射所生成的迭代系統(tǒng)； 給定一 個拓?fù)淇臻g和其上的一個連續(xù)自映射，就生成了一個動力系統(tǒng)：?設(shè) X 為緊致度量空間，?T:XX?為從X到自身的連續(xù)映射。?對任意 x X,令 T?0(x)=x , T?1(x)=T(x)，T?n(x)=T (Tn-1?(x)，則T確定了 X上的一個動力系統(tǒng)，我們常稱 映射T或（X, T）為一個動力系統(tǒng)。?1.3 今天的動力系統(tǒng)大致可分為微分動力系統(tǒng)、 Hamilton 動力系統(tǒng)、拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)、無窮維動力系統(tǒng)、復(fù)動力

3、系統(tǒng)、遍歷 論、隨機(jī)動力系統(tǒng)等方向。其界限并不嚴(yán)格，相互交叉很多。微 分動力系統(tǒng)研究一般的可微系統(tǒng)，其發(fā)端是 60 年代初興起的結(jié) 構(gòu)穩(wěn)定性研究， 所謂結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性是說系統(tǒng)的整體拓?fù)湫再|(zhì)在可微 擾動下保持不變， 這顯然是一恢弘的概念， 其研究產(chǎn)生了很大的 影響， 成為現(xiàn)代動力系統(tǒng)誕生的一個標(biāo)志， 目前通用的動力系統(tǒng) 研究生教材， 就是以這部分內(nèi)容為主體， 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定系統(tǒng)比較理想 而少見，大量存在的，是不那么結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的系統(tǒng)，和很不結(jié)構(gòu)穩(wěn) 定的瞬息萬變的系統(tǒng)。?1.4 以廖山濤教授為代表，我國老一輩數(shù)學(xué)家在動力系統(tǒng) 領(lǐng)域作出了重要的貢獻(xiàn)。廖山濤先生從上世紀(jì) 60 年代初即投身 于當(dāng)時初現(xiàn)端倪的微分動力

4、系統(tǒng)領(lǐng)域， 是這一領(lǐng)域在世界范圍內(nèi) 最早的幾位開拓者之一在隨后十幾年與世界相對隔絕乃至動亂 的年代， 廖先生在他小小的書齋里， 頑強(qiáng)地進(jìn)行著少見地系統(tǒng)而 深刻的數(shù)學(xué)研究。 他的典范方程組和阻礙集兩大理論就是在這一 期間完成的， 為我國數(shù)學(xué)界一段佳話。 這些理論因其獨(dú)到之處成 為今天動力系統(tǒng)中國學(xué)派的標(biāo)志在廖先生和其他老一輩數(shù)學(xué)家 的長期辛勤耕耘栽培下， 幾十年來我國動力系統(tǒng)的各個分支都有 了很大的發(fā)展， 有了一支相當(dāng)整齊的研究隊(duì)伍， 尤為可喜的是有 才華的年輕人紛紛脫穎而出。 我國動力系統(tǒng)學(xué)者的研究工作已經(jīng) 走向世界，在國際上有了不可忽視的地位。?1.5 動力系統(tǒng)的一些觀念產(chǎn)生了遠(yuǎn)遠(yuǎn)越出本學(xué)科

5、的影響。 突出的是近年來深受注意的是從它中得到得一些非常重要有意 義的性質(zhì)，如回復(fù)性、拓?fù)鋫鬟f性和混沌性。 60 年代年代初在 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性研究中發(fā)現(xiàn)的 Smale :3 ?馬蹄揭示，復(fù)雜性可以與 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性共存。 這一重要發(fā)現(xiàn)催生了現(xiàn)代的混沌概念， 而混沌 性也被廣泛的應(yīng)用！?二、重要的性質(zhì)?2.1 回復(fù)性?動力系統(tǒng)的核心問題是研究點(diǎn)的軌道等性質(zhì)，而只有那些 具有某種回復(fù)性的點(diǎn)的軌道才是重要的， 下面我們將要引進(jìn)回復(fù) 性的概念。?設(shè)(X, T)為緊致系統(tǒng)。?定義1，對于x X 如果存在整數(shù) n>0,使得f?n(x)=x , 則把 x 叫作 f 的周期點(diǎn)；并把 f?n(x)=x 成立的最小

6、正整數(shù) n 叫 作它的周期。周期性是最強(qiáng)的回復(fù)性，也是最重要的回復(fù)性。下 面陸續(xù)引進(jìn)的回復(fù)性都是周期性的推廣。?定義2，對于x X,如果存在正整數(shù)遞增序列n?i使得，?lim?i fn?i? ( x) =x；?或等價地，對任意 £ >0,存在n>0,使?f?n (x ) V (x, £ ),?這里V (x , £ )是x的半徑為£的球形鄰域，則把x叫 做 f 的回復(fù)點(diǎn)， f 的全體回復(fù)點(diǎn)的集合記作 R(f )，而具有回復(fù) 性。?2.2 拓?fù)涔曹椥?設(shè)(X f )和(Y, g)都是緊致系統(tǒng)?定義1，如果存在映上的同胚映射，h: X >Y，

7、使得 ?hf=gh?則稱 f 和 g 拓?fù)涔曹?，記?f?g.?命題 1:設(shè) f?g ，則 fa?ga ，任意的 ?a>0.?證明 設(shè) h: X>Y 是從 f 到 g 的拓?fù)涔曹?。我們?hf2=hff=ghf=g2h ，可以歸納地證明?hfa=gah 任意的 ?a>0?即 h 也是從 fa 到 ga 的拓?fù)涔曹棥?命題2 :設(shè)f?g，且h: X->Y是從f到g的拓?fù)涔曹?又設(shè)x X。若n?i為遞增序列，使lim?i sfn?i? ( x) =x?0 X?則?lim?ign?i?(h(x)=y?O Y 且 h (x?0) =y?0.?證明 由命題 1，可見lim?i f

8、ghfn?i? ( x) =?lim?i fggn?i?(h(x)=h( x?0)?主意到hi?: Y >X是從g到f的拓?fù)涔曹?，可直接從定義 出發(fā)驗(yàn)證，這里從略。?命題 3:設(shè) f、g、q Co ( X),則有，?i ) f?f?ii ) f?？g = >g?？f?iii ) f?g , g?？q= >f?q?據(jù)命題3,拓?fù)涔曹検荂o(X)上的一個等價關(guān)系，它把 Co (X)分成不相交的等價類，同一類的系統(tǒng)彼此拓?fù)涔曹?，?同類的系統(tǒng)彼此不拓?fù)涔曹棥?2.3 混沌?混沌是自然界十分普遍的現(xiàn)象 , 如墨一滴水在水中擴(kuò)散的 方向、熱帶風(fēng)暴的移動路徑等。它有區(qū)別于經(jīng)典力學(xué)系統(tǒng) ,

9、 是一 種始終限于有限區(qū)域、軌道又不重復(fù)、性態(tài)復(fù)雜的運(yùn)動 , 具有對 初值敏感性、長期不可預(yù)測性及分形結(jié)構(gòu)等特點(diǎn)4??；煦绲难芯渴加诨煦绗F(xiàn)象的發(fā)現(xiàn)， 所謂混沌現(xiàn)象就是指動力系統(tǒng)中出現(xiàn) 的貌似不規(guī)則的運(yùn)動，它的發(fā)現(xiàn)可以追溯到Poinear e關(guān)于天體力學(xué)的研究工作。然而，在相當(dāng)長的時期內(nèi)，沒有人明確地指出 什么叫混沌。 直到 1975 年，美籍華人李天巖與其導(dǎo)師 York 在一 篇題為 Period three implies ehaos 的論文中才第一次用嚴(yán) 格的數(shù)學(xué)語言給“混沌”下了定義。 此后， 僅對映射系統(tǒng)而言就 有許多對混沌的不同描述出現(xiàn)在學(xué)術(shù)期刊或?qū)Ｖ小?本文除了介 紹 Li-Yo

10、rke 混沌外，還有就是最常見的狄萬內(nèi)( R.L.Devaney ) 混沌。?定義1，設(shè)f是度量空間(X, d)到自身的連續(xù)映射，x, y X。如果滿足：lim?n s infd(f?n(x),f?n(y)=0Iim?n fs supd(f?n(x),f?n(y)>0?則稱 x，y 為 f 的 Li-Yorke 對；如果 f 有一個由不可數(shù)多 點(diǎn)構(gòu)成的 Li-Yorke 混沌集，則稱它為 Li-Yorke 混沌。?除了李 - 約克意義下的混沌之外， 尚有多種混沌的定義。 其 中最常見的是狄萬內(nèi)( R.L.Devaney )混沌。?設(shè)( X， f )為緊致系統(tǒng)。?如果存在5 >0,使得對每一點(diǎn)xX和x的任意鄰域U ?x 存在yU ?x和n>0,滿足：?d( f?n (x)， f?n(y) )>5 ,?則稱 f 對初值敏感依賴，5 稱為敏感常數(shù)。?定義 2，如果下述三個條件得到滿足，?i ) f 是拓?fù)鋫鬟f的；?ii ) f 的周期點(diǎn)在 X 內(nèi)處處稠密；?iii ) f 對初值敏感依賴，?則稱 f 在狄萬內(nèi)意義下是混沌的，即稱它是狄萬內(nèi)混沌。?在這個定義中， i 表示狄萬內(nèi)混沌系統(tǒng)不能分解兩