四邊形經(jīng)典中學(xué)考試題

1、標(biāo)準(zhǔn)文檔四邊形經(jīng)典考點1特殊的平行四邊形的性質(zhì)與判定1.矩形的定義、性質(zhì)與判定(1)矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形是矩形。(2)矩形的性質(zhì)：矩形的對角線 ;矩形的四個角都是 角。矩形具有 的一切性質(zhì)。矩形是軸對稱圖形，對 稱軸有條，矩形也是中心對稱圖形，對稱中心為 的交點。矩形被又角線分成了 個等腰三角形。(3)矩形的判定有一個是直角的平行四邊形是矩形；有三個角是 的四邊形是矩形；對角線的平行四邊形是矩形。溫馨提示：矩形的對角線是矩形比較常用的性質(zhì)，當(dāng)對角線的夾角中，有一個角為60度時，則構(gòu)成一個等邊三角形；在判定矩形時，要注意利用定義或?qū)蔷€來判定時，必須先證明此四邊形為平行四邊形，

2、然后再一個角為直角或?qū)蔷€相等。很多同學(xué)容易忽視這個問題。2.菱形的定義、性質(zhì)與判定(1)菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。(2)菱形的性質(zhì)菱形的 都相等；菱形的對角線互相 ，并且每一條對角線 一組對角；菱形也具有平行四邊形的一切性質(zhì)。菱形即是軸對稱圖形也是中心對稱圖形，對稱軸有條。(3)菱形的面積菱形的面積=底高，菱形的面積=-ab,其中a, b分別為菱形兩條對角線的長。菱形被對角線分成了4個全等的直角三角形。2(4)菱形的判定：都相等的四邊形是菱形；對角線 的平行四邊形是菱形；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。溫馨提示：在利用菱形的判定時，也要注意所要證明的四邊形是不是平行四邊

3、形，而你用的判定定理需不需要證明它是平行四邊形，有對角線時，通?？紤]利用對角線互相垂直的平行四邊形是菱形來證明，否則一般不利用此定理。3.正方形的性質(zhì)及判定方法(1)正方形的性質(zhì)：正方形的四個角都是 ,四條邊都 ;正方形的兩條對角線 ,并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形即是軸對稱圖形也是中心對稱圖形。正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。(2)正方形的判定方法：有一組鄰邊相等的是正方形；對角線互相 的矩形是正方形；有一個角是直角的菱形是正方形；對角線 的菱形是正方形。溫馨提示：無論是正方形的性質(zhì)還是正方形的判定，它的中心思想就是正方形即是矩形，又是菱形，如果都從這個出發(fā)，則

4、一切的性質(zhì)與判定就都有了。但要注意在利用對角線判定正方形時，“平分”這個前提，因為只有對角線平分了，此四邊形才是平行四邊形了，然后再證明是矩形又是菱形?？键c2梯形的概念及判定方法1 .梯形的定義：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。(1)等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形； (2)直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。在初中階段重點研究等腰梯形。2 .等腰梯形的性質(zhì)與判定性質(zhì)：（1）等腰梯形中，同一底上的兩個角相等；（2）等腰梯形的對角線相等；判定：（1）同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；（2）對角線相等的梯形是等腰梯形；（3）有兩個腰相等的梯形是等腰梯形。3.梯形中常用

5、的輔助線:梯形的輔助線分割后的圖形圖形示意1.平移一腰將梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形2.平移兩腰將梯形分割成兩個平行四邊形和一個三角形3.平移對角線將梯形分割成一個平行四邊形和一個三角形4.作雙高將梯形分割成一個矩形形和一個三角形5.延長兩腰將梯形分割成兩個三角形d6.連接一頂點和一腰中占八、將梯形分割成一個三角形Q 一溫馨提示：在涉及梯形的題目中，通常要添加輔助線，把梯形問題轉(zhuǎn)化為三角形或平行四邊形題，然后再利用這兩種圖形的性質(zhì)解題，所以掌握常用的輔助線對解決梯形問題，至關(guān)重要，所以平時同學(xué)們要注意搜集或留意輔助線的作法，使它們變成自己的東西文案大全中考熱點難點突破例1:如圖，菱形

6、ABC由，/ B=60° , AB= 2, E、F分別是連接AB EF、AF,則 AEF的周長為（）A. 2<3 B , 3,3 C .473 D . 3例2：如圖，把矩形 ABCD沿EF對折后使兩部分重合，若A. 110° B , 115° C , 120° D , 130°一、選擇題1 .如圖，在菱形 ABC沖，AB = 5, / BCD= 120° ,則對角線A. 20B. 15C. 10 D. 5BG CD的中點,/1 =50匚則AC等于（）2 .如圖，將一個長為10cm,寬為8cm的矩形紙片對折兩次后，沿所得矩形兩鄰邊

7、中點的連線（虛線）剪下,再打開，得到的菱形的面積為（）2222A 10cmB. 20cmC. 40cmD. 80cm3 .如圖，菱形 ABCDh對角線AC BD相交于點O M N分別是邊AB AD的中點，連接 OM ON MN則下列敘述正確的是（）A AOMf口AOhtB是等邊三角形B.四邊形MBO即四邊形MOD都是菱形D.四邊形MBCO3四邊形NDCOB是等腰梯形C.四邊形 AMO陸四邊形 ABCD1位似圖形4.如圖，在菱形 ABCDK/A=110°,E,F分別是邊A所口 BC的中點，EPLCDT點P,則/FPG（）A. 35°B. 45°C. 50°

8、D. 55°5.將矩形紙片ABC弦如圖所示的方式折疊，得到菱形 AECF若AB= 3,則BC的長為（）A. 1B . 2C . 72D. 73AB AE B6.如圖，將矩形 ABCD沿對角線BD折疊，使C落在C'處，BC'交AD于E ,則下列結(jié)論不一定成立的是（）A. AD -BCB. . EBD=/EDBC. AABEACBDD. sin ZABE a ED7.如圖，正方形 ABCD勺邊長為8, M在DC上，且DM=2 N是AC上一動點，則 DN+M的最小值為（）A. 8 B . 8 & C . 2/17D . 108.已知等腰梯形 ABCD勺中位線EF的長

9、為6,腰AB的長為5,則等腰梯形的周長為（A . 11 B . 16 C . 17 D . 229 .如圖，QABCD勺周長是28 cm,ABC勺周長是22 cm,則AC的長為 （）A. 6 cmB.12 cmC. 4 cmD.8 cm10 .如圖，正方形 ABC吶有兩條相交線段 MN EF, M N> E F分別在邊AB CD AD小明認(rèn)為：若 MN= EF,則MNL EF;小亮認(rèn)為：若MNL EF,則MN= EF.你認(rèn)為A.僅小明對B.僅小亮對C.兩人都對D.兩人都不對11.如圖,菱形ABCDJ邊長為“,.310cm. DEL AB sin A =-,則這個菱形的面積52cm.廿12

10、.如圖,第11題等腰梯形 abcDKAD / BC, 21B集0。,第13題AD =4, BC = 7則梯形ABCD勺周長是13 .)如圖，四邊形 ABCD!平行四邊形，使它為矩形的條件可以是cm.14 .在等腰梯形 ABCDP, AD/ BC AD= 3cm AB= 4cm / B= 60° ,則下底 BC的長為度.15 .如圖，一活動菱形衣架中，菱形的邊長均為16cm,若墻上釘子間的距離 AB = BC =16cm,則/1 =第15題圖C第20題圖16.我們把依次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四簫形19建點四邊形.若一個四邊形ABCD的中點四邊形是一個矩形,則四邊形ABCD可以

11、是17.在四邊形 ABCD中，對角線 AC與BD互相平分，交點為 O.在不添加任何輔助線的前提下，要使四邊形 ABCD成為矩形，還需添加一個條件，這個條件可以是18.)如果用4個相同的長為3寬為1的長方形，拼成一個大的長方形，那么這個大的長方形的周長可以是19.如圖.邊長為1的兩個正方形互相重合，按住其中一個不動，將另一個繞頂點A順時針旋轉(zhuǎn)45° ,則這兩個正方形重疊部分的面積是20.如圖，在梯形 ABC前，DC/ AB DA= CB若AB= 10, DC= 4, tanA=2,則這個梯形的面積是解答題21.如圖，abcD1菱形，對角線 AC與BDffi交于O,ACD=30°

12、;, BD =6(1)求證： AB居正三角形;(2)求AC的長(結(jié)果可保留根號).22.已知：如圖，四邊形 ABCD1菱形，過AB的中點E作AC的垂線EF,交AD于點M交CD的延長線于點F.(1)求證：A附DM(2)若DF=2,求菱形 ABCDJ周長.23.如圖所示，在RtA ABC中，/ABC =90 '將RtABC繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60口得到 DEC,點E在AC上，再將RtA ABC沿著AB所在直線翻轉(zhuǎn)180。得到zABF.連接AD.(1)求證：四邊形AFCD是菱形;(2)連接BE并延長交AD于G,連接CG,請問：四邊形ABCG是什么特殊平行四邊形？為什么?A24.如圖：已知在

13、ABC中，AB=AC, D為BC邊的中點，過點D作DE，AB, DF ± AC ,垂足分別為E, F .(1)求證：ABEDACFD ;(2)若ZA =90° ,求證：四邊形DFAE是正方形.25.如圖，在等腰梯形 ABCD3, / C=60° , ADD BC 且 AD=DC E、F分別在AD DC的延長線上，且 DE=CF AF B或于點P.(1)求證：AF=BE(2)請你猜測/ BPF的度數(shù)，并證明你的結(jié)論.26.如圖，在梯形 ABCD3, AB/ CD BD AD BCCD / A=60° , CD=2cm(1)27.如圖，NABM為直角，點C為

14、線段BA的中點，點D是射線BM上的一個動點(不與點 B重合)，連結(jié)AD ,作BE _L AD ，垂足為E ，連結(jié)CE ,過點E作EF _L CE ,交BD于F .(1)求證：BF =FD ;(2)ZA在什么范圍內(nèi)變化時，四邊形 ACFE是梯形，并說明理由；1(3) ZA在什么范圍內(nèi)變化時，線段 DE上存在點G ，滿足條件DG = DA,并說明理由.428.如圖，四邊形 ABC混正方形， ABE是等邊三角形，M為對角線BD (不含B點)上任意一點，將BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn) 60°得到BN連接EZ AM CM.(1)求證： AM軍 ENB(2)當(dāng)M點在何處時，A吐CM勺值最??；當(dāng)M點在何處

15、時，AW BW CM的值最小，并說明理由；(3)當(dāng)AW BW CM勺最小彳！為 J3十1時，求正方形的邊長28.數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問題：如圖 1,四邊形ABCD1正方形，點E是邊BC的中點. ZAEF =90 ,且EF交正方形外角/ DCG的平行線 CF于點F,求證：AE=EF.經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M連接me則A附eg易證AAMEECF ,所以AE = EF .在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究:(1)小穎提出：如圖2,如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上(除B,C外)的任意一點”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF'仍然成立，你認(rèn)為小穎

16、的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由;(2)小華提出：如圖3,點E是BC的延長線上(除C點外)的任意一點，其他條件不變，結(jié)論"AE=EFf仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由.參考答案 基礎(chǔ)知識回放答案：相等 直平行四邊形2對角線4 直角相等四條邊垂直平分©平分122 13四條邊14互相垂直15直角 16相等17相等18矩形岱垂直 緲目等中考效能測試一、選擇題1. D【解析】本題考查了菱形的性質(zhì)和等邊三角形的判定。根據(jù)菱形的性質(zhì)知：AB=BC/B+/ BCD=180，又有/ BCD=120，:/ B=60&

17、#176; ,所以三角形ABC為等邊三角形，所以 AC=AB=52. A【解析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)、矩形、菱形的面積的計算等知識點。矩形對折兩次后，所得的矩形的長、寬分別為原來的一半，即為5 cmi 4 cm,而沿兩鄰邊中點的連線剪下，剪下的部分打開前相當(dāng)于所得菱形的沿對角線兩次對折的圖形，所以菱形的兩條對角線的長分別為5 cm, 4 cm,所以菱形的面積為 1 x 5X 4=10 cm2.也可以根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求出剪下的部分的面積占矩形面積的比例求出菱形的面積。3. C【解析】本題考查了菱形的有關(guān)性質(zhì)和位似圖形的定義。在RtAABO中，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

18、可得，OM = AM =BM ,但ao與OMW am的大小卻無法判斷，所以無法判斷 AAMO和AAON是等邊三角形。同樣，我們也無法判斷BM否等于OB和BM是否等于OC，所以也無法判斷平行四邊形 MBO麗MOD塌菱形，也無法判斷四邊形 MBC口 NDC如等腰梯形。根據(jù)位似圖形的定義可知四邊形 MBCG口四邊形NDC虛位似圖形，故本題選 Co4. CAEAB=5. D.【解析】本題綜合考查了利用等腰三角形的性質(zhì)和三角函數(shù)及方程的知識求解問題的能力,由題意得/ CABN ECB=30 ,不妨設(shè)BC=x則由三角函數(shù)的知識可得 EB=x6. C即 3 x=3 ,解得x= v13 ,故選D。第10題答圖

19、7. D【解析】本題的關(guān)鍵是找到點 N的位置，使DN+MN勺和最小，因為B、D關(guān)于直線AC對稱，所以BM AC的交點即為點N的位置，止匕 時有最小值，BM的長度就是DN+MN勺最小值.根據(jù)勾股定理BM=/BC+CM=10,故答案為D.8. D【解析】過點D作DE/ AQ交AC的延長線于點C。則此等腰梯形的周長就為三角形DBE的周長，即等于此梯形的中位線的2倍加上腰長的2倍即可。9. D 10 . D【解析】本題綜合考查了菱形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形全等、直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和等知識點，是一道綜合性很強(qiáng)的題目。解答本題應(yīng)首先延長pf交ab的延長線于點G根據(jù)題意，利用

20、角角邊可證明 ABGF/&CPF ,于是得到j(luò)FPC =/G, pf=fg 所以在RtAEGP中，ef是斜邊上的中線，于是得到fe=fg所以/G =/FEG,又因為e、F分別為中點，所以eb=fb所以，fe=fg=bf 所以/F PC=/G =/BE F=/BF E,又因為/A=110° ,所以 / EBF = 700 ,因此，2，F(xiàn)PC +700 = 1 8(0 ,解得 4PC =55°。11. 6012. 1713. 答案不唯一，如 AGBD / BA=90o,等 14. 715.120【解析】本題考查了菱形和等邊三角形的性質(zhì)。如圖，連接AB,由題意可知AB=A

21、C=BC=16cm. ABC是等邊三角形，所以/ ACB=60 ,2=180° -60 ° =120° ,由菱形的性質(zhì)可得/ 1=/2=120°。16. 菱形(對角線互相垂直的四邊形均可)【解析】本題考查中點四邊形的識別能力，其實質(zhì)是三角形的中位線定理。由三角形中位線可知中點四邊形的各邊是原四邊形的對角線的中位線，若中點四邊形是矩形，則需原四邊形的對角線互相垂直。17. AGBD【解析】本題考查了矩形的判定方法，是一道開放性問題.由對角線AC與BD互相平分，可知四邊形 ABC星平行四邊形.根據(jù)“對角線相等的平行四邊形是矩形”可添加條件"AC=B

22、D;根據(jù)“有一個角是直角的平行四邊形是矩形”可考慮添加條件"/ABC=90 .18. 14或16或26【解析】本題考查了學(xué)生的空間想象能力和發(fā)散思維能力。解答本題最好能將所有的拼法畫出來后再進(jìn)行求解。本題的不同拼法有：19. 夜一1【解析】根據(jù)題意知：AC = J2,則CD' = J21，且ACDE為等腰直角三角形，所以 DE =CD' = J2 1。所11以，Sw =SBC -SDE =父1 父1 m(V21)m(V2 1) = N2 _1。 22易錯易混點：有的學(xué)生因沒有挖掘出 ACD E為等腰直角三角形這一條件，進(jìn)而使求陰影部分的面積陷入困境。20. 42【解析

23、】本題難度中等，考查等腰梯形的知識.如圖，作D已AB, CF,AB,垂足分別為 E、F,根據(jù)題意可得：矩形 CDEF AADE1/4BCF 所以 CD=EF=4 所以 AE=BF(AB -CD) =3.因為 tanA= DE =2,AE所以DE=6,1所以這個梯形的面積是 -(AB CD)DE =42.三、解答題21. (1)證明：: AC是菱形ABCDJ對角線，AC平分/ BCD 又/ACD30° ,. ZBCD600 ./BADT/BC提菱形的一組對角,/ BAD/BCD60。AB AD菱形的兩條邊，： AB=AD ABD正三角形.(2)解：: O為菱形對角線的交點,AC =2O

24、C, OD=1BD=3, /COD =90° .在 RtCOD 中，OD = tan/OCD = tan 30°, 2OCOC = OD=3百，AC =2OC =6四，答AC的長為64.tan 30 ° V3T22. (1)略證：二四邊形 ABCI菱形，八11AB/ CDA占AD ACL EF AMAE AE=-AB AM= AD A陳DM22(2)提示：證明 AME DMFDF=AE=2.菱形ABCD勺周長為16.23 .(1)證明：RtzXDEC是由RtABC繞C點旋轉(zhuǎn)60©得到，AC=DC, / ACB=/ACD =601 AACD是等邊三角形，A

25、D = DC 二 AC又 RtABF 是由 RtAABC 沿 AB 所在直線翻轉(zhuǎn) 180口得到 AC = AF, / ABF = / ABC = 90©：/FBC是平角：點F、B C三點共線：zXAFC是等邊三角形AF =FC = AC3 分. . AD =DC =FC =AF 四邊形 AFCD 是菱形.(2)四邊形ABCG是矩形.證明：由(1)可知：zACD是等邊三角形，DE_LAC于EAE = EC AG / BC/EAG=/ECB, /AGE=/EBC AAEGACEBAG =BC ;四邊形 ABCG是平行四邊形，而 /ABC =90。：四邊形 ABCG是矩形.24 .(1)&

26、#39;：DE ± AB, DF ± AC ,，BED =/CFD =90° , AB = AC ,，/B=/C, "：D 是 BC 的中點，BD =CD ,.BEDWzXCFD .(2) DE ± AB, DF ± AC ,，AED =NAFD =90° , ； NA =90° ,二四邊形DFAE為矩形.'： BED ACFD，:DE = DF ,，四邊形DFAE為正方形.25 . (1) BA=AD/BAEM ADF AE=DF BAeAADF BE=AF(2)猜想/ BPF=20° .由(1

27、)知 BAE2 ADF / ABE= DAF ./ BPF= ABE+BAP= BAE 而 AD/ BG / C土 ABC60° ,/ BPF=20。.26 .解：(1) /A= 60° , BDL AD Z ABD= 30° .又AB/ CD /CDB=/ABD= 30° . BG= CD / CBD= / CDB=30° .(2) /ABD= / CBD= 30° . . / ABC= 60° = / A AD= BC= CD= 2cm 在 RtAABD,AB= 2AD= 4cm.EBD . EDB =90"B

28、C = BF .27. (1)在 RtzXAEB中，1'*AC =BC，, CE = AB , 2, CB=CE,=/CEB=/CBE . ；/CEF =/CBF =90，.ZBEF =NEBF , , EF =BF . '；ZBEF +NFED =90， ./FED =NEDF . ； EF = FD .二 BF = FD .(2)由(1)BF =FD ,而 BC =CA,CF / AD ,即 AE / CF .若 AC / EF ,則 AC = EF ,二. BA = BD, /A=45'.，當(dāng)0，</A<45l 或 45, </A<90。時

29、，四邊形 ACFE 為梯形.(3)彳乍 GH _LBD,垂足為 H ,則 GH / AB .11* DG = DA，:DH =DB .又F為BD中點，H為DF的中點.,GH為DF的中垂線.44二NGDF =/GFD . .點 G 在 ED 上，.N EFD > NGFD . ； N EFD 十NFDE 十NDEF =180?,.NGFD +NFDE +ZDEF < 180 .二 3/EDF < 180 . EDF < 60 .又/A+/EDF =90，,二 30；2A<90：.二當(dāng)30，< ZA <900時，DE上存在點G ,滿足條件DG ='DA428.解：(1)正確.證明：在AB上取一點M，使AM = EC ,連接ME .BM =BE .:/BME =45 ,AME =