上海市浦東新區(qū)高三2020年數(shù)學(xué)三模試卷及答案

1、浦東新區(qū)2019學(xué)年度第二學(xué)期高中教學(xué)質(zhì)量檢測(B卷)2020.06高三數(shù)學(xué)考生注意：1、本試卷共21道試題，滿分150分，答題時間120分鐘；2、請在答題紙上規(guī)定的地方解答，否則一律不予評分.一、填空題(本大題滿分54分)本大題共有12題，16題每題4分，7-12題每題5分.考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果，每個空格填對得4分或5分，否則一律得零分.1. 己知集合4二卜1,0衛(wèi), B = x|l20)與雙曲線y-/ = l有公共的焦點，貝憶二4. 函數(shù)y = l2x-x2 (lx2)的反函數(shù)是.5. 函數(shù)/(.r) = -外_2)2如果方程/(x) = b有四個不同的實數(shù)解齊，兀，

2、兀，則X + + 屯 + 兀=.6. 己知x + x + x + + x = a。+ 坷(x-3)+ 勺(x-3)2 + 3(x-3)J + +a”(x- 3)(巾,且A4嚴(yán)。0 + 4+。2+-+4,則卿甫=7. 若MBC的內(nèi)角滿足sinX4-V2sin = 2sinC,則cosC的最小值是.8. 對任意實數(shù)工，yf定義運(yùn)算xy為：= o +珂，其中qb , c為常數(shù)，等式右端中的運(yùn)算是通常的實數(shù)加法、乘法運(yùn)算.現(xiàn)己知1*2 = 3, 2*3 = 4,并且有一個非零實數(shù)，使得對于任意實數(shù)都有則” =.9. 在平面直角坐標(biāo)系垃v中，點集K = (X,j)|(|x|+|2j|-4)(|2x|+|

3、j|-4)0所對應(yīng)的平面區(qū)域的面積為_ 10. 設(shè)復(fù)數(shù)二滿足忖=1,使得關(guān)于X的方程二工+ 2二x+2 = 0有實根.則這樣的復(fù)數(shù)二的和為11. 已知函數(shù)/(.丫)二sin年+sin0), .ywR.若/(.y)在區(qū)間(兀,2龍)內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是.12. 在平面直角坐標(biāo)系xQy中，點集0二(“,，)卜,yw-1,0,1,在0中隨機(jī)取岀三個點，則這三個點兩兩之間距離不超過2的槪率為二、選擇題（本大題滿分20分）本大題共有4題.每題有且只有一個正確答案。考生必須在答題紙的相應(yīng)編號上, 將代表答案的小方格涂黑.選對得5分，否則一律得零分.13. 己知X, yeR.則 axy -2020的最

4、小正整數(shù)的值為（）A. 9B. 10C. 11D. 1215. 數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合也可以組成世間萬物的絢麗畫面.一些優(yōu)美的曲線是數(shù)學(xué)形彖美、對稱美、和諧美的產(chǎn)物, 曲線C:（x2 + /）J=16x2y2為四葉玫瑰線下列結(jié)論正確的有（）方程（x2+/）5 = 16x2/（xy j = 1 + a/1-V(01)5、4.7、MX328、 4.9.32二、選擇題（本大題滿分20分選對得5分.1316：DDCA 三、解答題（本大題滿分76分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的 規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.注：其它解法相應(yīng)得分17.（本題滿分14分，本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2

5、小題滿分8分【解析】（1）以A為坐標(biāo)原點，以射線AB . AC .九分別為兀、y、Z軸建立空間直 角坐標(biāo)系，如圖所示，則3（2,0,0）人（0,0,4）, C（020）10.11、BM = (-22上)A,C = (0,2-4)由3M 丄 AC得BAf A,C = O,即2x2-4/i = 0解得/i = l.6分(2)解法一：此時 M(O,2,2)喬= (2,0.0),而=(0,2,2),甌=(一2,0,4)8 分設(shè)平ABM的一個法向鼠為n = （x,y,z）n-AB = 0由;而“得所以匚=（0,1, 1）設(shè)直線與平面所成的角為&則 sin9 = -|=4Q何 5所以sin乎所以直線B4,

6、與平面A3M所成的角為d/rsin 罟解法二：聯(lián)結(jié),則AM丄AM ,10分12分14分2/6: AB丄AC,人丄4人，43丄平面AAC4B丄 A, 4M丄平面ABM所以03M是直線3人與平面A3M所成的角：10分在RtAAjBA/ 中，代M = 2近AB = 2躬3/6#/6所以阮巒=第=第呻12分#/6所以如M.arcsin乎所以自線BA與平面A3M所成的角為d/rsin14分18. （本題滿分14分）本題共有2個小題.第1小題滿分6分.第2小題滿分8分.7T【解析】(1) CBN中，乙CBN =,6其中 CN 二 /7M =(60-30)=15所以BC = = - = 30 sin Z C

7、BN .兀 sin 6RN= CN= 圖1 1朋3ZCBN tan6所以 CD = BE- 2BN 二-3麗*（2分）圖2則乙=243+2C)+ 4BC = 2x30+2x(80-30)+120 =340-600 -(5 分)所以外圍隔離線總長度為340-60館米.(6分)#/6L = 243+ 2CD+ 4BC 所以 2(6()- 2廠sin &)+2(80-2rcosS /2,則 sin&cos 二-2(10 分)sin&cos& _2(sin & +cos & -1)2專（2血+3）所以 SVSO-+c歸“）-,i+A(r-1)2 2l t-7T即6=-時取等號).4200sin&cos

8、仁 /2 + 3) = 45(X)- 2(X)/2(12 分)當(dāng)6=-時，取到最大值，此時Z.CBN =-,且r=10/2 4-1044所以當(dāng)面積最大時，此設(shè)計方案中ZBCN =-且 眈=心（1（）血+10）米.（14分） 42分4分19. （本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分. 【解析】（1）法一：曲線C的漸近線方程為：y = llx 1分點0（3,2的），則迓近犧卜|函cosZ慟 = 旃 -j=-cos ZAQ4 = 2 cos Z 呂 QA|3V2-2/3| |3/2+273|又.cosZ 片 Q=cos(;r- Z片 O) = - cosZ 片 O片=

9、丄3(由于/PQP為鈍角，可以直接利用漸近線的夾角來計算)則QP QP2=2x-法二：曲線C的方程為：-=1,漸近線方程為：y = yf2x36點 03,2石)，Px (m, 42m), P2(?, -/2n),則Qfj eA=(m-3, y/2m-2冋.(/1_3,_血_2同=(加一 3) 0? 3) + (lin 一 2/J) (yjln- 2/3)m-32 n3_T 3近+ 4*2邁-M=7=t= 3邁3近則可化簡為：3/2毎函胡心3)(-3)弓J屈3+2x2艮2屈3-2x2石6 293a2b2（h2-a2（注：通解為QR QP-）3+町（2）由題意知，直線/的斜率存在，設(shè)T（加,0）,

10、直線方程為：y = R（x-?）.設(shè)Af(x1,yI),A(x2,y2),S(0,0, /./ = 3 此時 A0.13分所以直線過定點7(3,0)14分=“_ = _ . = 112 分20. (本題滿分16分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小 題滿分6分.【解析】(1)V O| = 0 9 a2 = 1 + 21, = 1= 2 + 2a = 29 a4 = 1 + 2 = 3： a5 = 3+ 2a2 =5 : /6 = 1 + 23 = 5； a7 = 4 + 2a3 = 8 .4 分由題設(shè)，對于任意的正整數(shù)，都有:b 二咒7 nl2” + 2j 1 =3數(shù)

11、列仇是以b嚴(yán)器=0為首項,為公差的等差數(shù)列.2耳7 分S2020 = 3xO + 32xl + .+ 32020 xy 3$2020 = 30+3弓 + .+3叫 如 pc 4037x3+9 相減S卻=8對于任總的正整數(shù)“2018 _019 = 2-1009 21009*1 =(】+ 紹009)一丨 + 彳嗎他)=-1009 “3H810分11分aMl7 一 2018 =一 “4501+2=(2 x 504+1 + 2j )-(1 + 2a2x5O4I) =2x504 + 加 -=2x504+ 2(1 + 2t/5(M)- 2(504+ 1 + 2) =0用F以知|7 =吆I 12分a2OI9

12、 “2020 = ,504+3 “43+4=(2x504+2+ 23+J-(1 + 2他伽+2) = 2x504 +1 + 2玉如-%則2=2x504+ 1 + 2(x504+1 + 2心)一 2(1 + 加卻 J = 4(504 + 畋4 -4恥|)+1=4(504+053 一4.|)+1 = 4(504+ 2a +1 - 2a252 - 252一 1)+ I 0所以知9 吆20 14分2020 2018 =(1 + 加1010)(1 + 201009)= 2(1 + 加心)-(504+ +2d5M )=4(505 -)-1008 = 4(252 +1 + 加也)-(1 + 加紋)-1008

13、=1008-1008=0所以 2020=2018L5分 16分21. (本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小 題滿分8分.【解析】(1)因為/(丄)二/(丄) = 0.33故存在/n = |,使得f(m) = f(m)成立，所以函數(shù)/(x)=x2-x是“G函數(shù)”3因為任意的 m g R, m e Z g() = |sinm| = 0, g(/n) = |sin 加r| # 0, g(ni) h g(訕, 所以不存在 m g/?, mZ，使 g(m) = g(?)所以 g(x) = |sin 7rx 不是“ G 函數(shù)”. 4分(判斷正確直接得分)(2)首先

14、構(gòu)造出了T = 1的函數(shù)：g(x) = |sin;rx|,不是“函數(shù)”.其次只需要證明，當(dāng)0丁1時，函數(shù)/(x)-定是“。函數(shù)一方面T = 0,于是/(T)= /(0)：,另一方面函數(shù)/以丁為周期，于是/(T) = /(0),因此/(T)= /(T)所以函/W為 “Q 函數(shù)”.綜上所述T的最小值為1 當(dāng)x 9因此f(x)f(x )所以函數(shù)f(x)不是“G函數(shù)”13分當(dāng)d0時，考慮存在J/?,xeZ,xg(O,l)的條件下，xxt f(x) = /(x),即X+- = x + 9 也即x4x-(-) = 0 a = x-x.15分XxX-x接下來求出h(x)=x-x,其中xeR.xZ的值域,將/(X)的定義域劃分成無數(shù)形如Cnyn + neZ的區(qū)間的并，因此只需要求出每