高考數(shù)學(xué)立體幾何小題之壓軸篇(解析版)

1、立體幾何小題之壓軸篇（解析版）長沙市明達(dá)中學(xué)吳祥云題型一、體積的最值題目1：三棱柱ADF-BCE中，四邊形ABCD和正方形ABEF的邊長均為2, ZABC = 60% 平面ABCDJ.平面ABEF, M,N分別是AC, BF上的動點(diǎn)，若AM = FN = a,（0 < a < 2）, 當(dāng)四面體A-MNB的體積最大時，實(shí)數(shù)a的值為 （答案VT）解析：作“J.AB交AB于點(diǎn)G,由已知易得NGJ.平面ABCD,FN=a,l.、兩 a1V3 3NB = 2y12 a, NG =(2v2 a) = 2 , S“amb = -x2xax = a, Z Y 22U-MNB = K-AMB = /

2、 X y-a X當(dāng)且僅當(dāng)a =&尹即a =喪時，四面體a-mnb的體積最大。題目2：如圖，將一張長為2叫寬為1m的長方體紙板按圖中方式剪裁并廢棄陰影部分，若剩 余部分恰好能折疊成一個長方體紙盒（接縫部分忽略不計），則此長方體體積的最大值為解析：設(shè)廢棄的四個小矩形部分長為2x,寬為X,則折疊成的長方體的長為2x, 寬為12“高為寧=1 - 2X,其中。< 無.設(shè)長方體的體積為V,V =2x- (1 - 2x) . (1 - 2x)=i- 4x- (1 - 2x) - (1 - 2x) < (-+(-2'+-)3 =當(dāng)且僅當(dāng)4x =l-2x B|Jx =:時取到等號，長

3、方體體積的最大值為三。 627注：也可直接求導(dǎo)求出最值。題目3：將一個底面半徑為1,高為2的圓錐工件切割成一個圓柱體，能割出的圓柱的最大體積為(答案：。冗) 27解析：設(shè)圓柱的底而圓半徑為滴為h,則:=芋=h = 2 - 2r,則0 V r V 1,設(shè)圓柱的體積為 V,則 V=nr2h = nr2 - (2 - 2r) = k - r - r - (2 - 2r) < it (二 號，當(dāng)且僅當(dāng)r= 2-2即=:時取到等號，能割出的圓柱的最大體積為盤。題目4： 一個等腰三角形的周長為10,四個這樣相同的等腰三角形的底邊闈成正方形,如圖，若這四個三角形都繞底邊旋轉(zhuǎn)，四個頂點(diǎn)能重合在一起，構(gòu)成

4、一個四棱錐，則該四棱錐的體解析：設(shè)等腰三角形底邊長為X,腰為v, x+2y=10,則四棱錐的底面邊長為X, 高 h二Jy2 1x2,體積 V = gxx2 x Jy2 1x2 = 25x4 5x5 x6, 設(shè) f (x) = 25x， 5x5 ：x6,則fx) = -x3(10 3x)(x + 20),令？(x) = 0, 得x = 易得此時體積V取到最大值&立。 381注：本題若作為解答題，解答欠嚴(yán)密，沒有指出X的取值范圍。點(diǎn)評：題型一的四道題目具有相同的特點(diǎn)，那就是設(shè)變量，寫出目標(biāo)函數(shù)。在立體幾何 的體積或者表而積的最值問題中函數(shù)與方程的思想的運(yùn)用至關(guān)重要，最后求解函數(shù)時可 以根據(jù)

5、函數(shù)解析式選擇求導(dǎo)或者不等式法來解，但是都要注意等號取到的條件。近幾年, 全國卷對于這方而的考查比較熱，請老師們及同學(xué)們都要注意。題型二、二面角與外接球題目5：如圖，三棱錐P-ABC的底面是邊長為2的等邊三角形，若PA=PB=«,二面角 P-AB-C的大小為60。，則三棱錐P-ABC的外接球的半徑為解析：取AB得中點(diǎn)0。連接OC則乙P0( = 60。,設(shè)AABC的中心為0,分別過0',0作平面 PAB和平面ABC的垂線，設(shè)兩垂線交于點(diǎn)O,則點(diǎn)O為三棱錐P-ABC的外接球心， 則ZCO'O = 30。,0'0 ="=00 =:連接0C,設(shè)外接球半徑為R

6、,則OC=R,OcW ,333則 R2 = (# +(學(xué))2 = =R=.注：本題解答過程還有很多細(xì)節(jié)推導(dǎo)沒有寫出來，請讀者朋友自己完成。題目6：三棱錐A-BCD中，底面BCD與ABC均為邊長為次的等邊三角形，且平面BCD與平面ABC所成角為手，則三棱錐A-BCD的外接球表面積為 解析：如圖，作BD中點(diǎn)E,連接AE,CE,易知zAEC =半，過ABCD的外接圓心作平面BCD的垂線，過AABD的外接圓心作平面ABD的垂線，兩垂 線的交點(diǎn)0即外接球心，易知0隹=02E =)故A001E2AOO1E, zOEOi = g:.001 = y, OA2 = OOi2 + AO/ =4)2 + 仔=：=r

7、2,三棱錐A - BCD的外接球表面積為4nR2 = 4tt x = 7tl4題目7：矩形ABCD中，AB=4,BC=3,沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B-AC-D,則四面體ABCD的外接球的體積是 （答案：號n）6解析：4ADC = 4ABC = 90。,故AC為外接球的直徑，易得2R=5 = R=+,2四面體ABCD的外接球的體積為亨X （|）3 =（7L點(diǎn)評：二面角與外接球的綜合題，主要利用圖形的對稱性即球的性質(zhì)，直接作出球心， 構(gòu)造直角三角形進(jìn)行求解,此類題較難，江浙卷出現(xiàn)的較多，但是不排除全國卷也會出 類似的考題。題型三、體積之比的最值問題題目8：如圖，四棱錐P-ABCD中，底

8、面為正方形，側(cè)棱PA1底面ABCD, PA=4, AB:3, G, H分別在PC, CA上，且PG = ：PC, PH = :PA,過直線GH作平面與側(cè)棱PB, PD 分別交于點(diǎn)M,截面把四棱錐分成上下兩部分，則上部分與下部分體積比值的 最小值為Vd-efg _ DEDFDGVd-abc DA'DB*DC解析：引理:如圖,證明：設(shè)DB與平面DAC所成角為a, /ADC =B bill Vd-efg =捽DE DGsin DRsina、Vd-ABC -x.DADGsinB DB sinaDEDFDGDADBDU回歸本題:設(shè)一 =m7, = n,PM PB PN PDAB +Ad) = 5

9、 (pB +PD pa)一=PG4/115mPM+ nPN四點(diǎn)共面,17 Vp-HMG _ 4，Vp-ABCO-HMGNVp-ABCDPH-PM-PG _ 4m Vp_HNG _ PH-PN-PG _ 4n w”PA-PBPC - IP Vp-adc - PA«PDPC 15f P-ABC - P-ADC罌 Vp ABc + Vp ADCVp-ABC + Vp-ADC2 z 、24 ,、11= T5(m+n) = T5XT7-(m + n)(m+n)2432>tx x(l + l)2 = -當(dāng)且僅當(dāng)m = n時取等號, 15 1/，55二則上部分與下部分比值的最小值為品=看.題

10、目9：在四棱錐P-ABCD中，ABCD為梯形，AB| |CD, CD=2AB, M為PD的中點(diǎn)，則 平面MBC分棱錐上下兩部分的體積比為 （答案：4:5）解析：設(shè)平面交PA干點(diǎn)E,設(shè)或=或+1+二=U + 2肅2或，PE PA PC PA AD DC PD PB PA=+C,M,B,A 四點(diǎn)共面，2 + 2 ：= 1, t = |,PC PM PB tPEt3Vp-emc _ PE-PM-PC _ 1 Vp_ebc_ PEPBPC _2d_oaru- ov一 PA.PD.PC - PA.PB.PC _ 9 CD _2AB = Vp_ADC_ 2Vp_ABC，124Vp-EMCB3 VP-ADC + 3VP-ABC3 VP-ABC4VP-ABCDVP-ADC + VP-ABC3VP-ABC9'平面MBC分棱錐上下兩部分的體積比為工= 9-45點(diǎn)評：截面分空間幾何體上下體積之比，通常轉(zhuǎn)化為三棱錐體積之比，利用引理轉(zhuǎn)化 為三條側(cè)棱長乘積的比值。當(dāng)截面與棱的交點(diǎn)位置無法確定或者待定