基本不等式專題-完整版(非常全面)

1、一、知識點總結(jié)1、根本不等式原始形式1假設(shè) a,b R,那么 a2 b2 2ab22假設(shè) a,b R,那么 ab a_b_22、根本不等式一般形式均值不等式，一、1 * ;假設(shè)a,b R ,那么a b 2mab3、根本不等式的兩個重要變形1假設(shè) a,b R*,那么 a_b abb2根本不等式專題輔導(dǎo)/2222.2.22(a1a2a3 )(1bl b2 b3 ) (a1bl a2b2 a3b3)3設(shè)a1,a2, ,an與b1,b2, ,bn是兩組實數(shù)，那么有2_ 2. 22222(a a2an )(bi b2bn ) Rb, a?danbn)二、題型分析題型一：利用根本不等式證明不等式1、設(shè)a,

2、b均為正數(shù)，證明不等式：Jab > 211a b實用文檔.22假設(shè) a,b R*,那么 abab22.2a b2a ba2 b222總結(jié)：當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，它們的和有最小值； 當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，它們的積有最小值；特別說明：以上不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)a b時取“二4、求最值的條件：“一正，二定，三相等 5、常用結(jié)論11假設(shè)x 0 ,那么x 2 (當(dāng)且僅當(dāng)x 1時取 x12假設(shè)x 0 ,那么x -2 (當(dāng)且僅當(dāng)x 1時x取“=”3假設(shè)ab 0,那么a b 2 (當(dāng)且僅當(dāng)a b時 b a取“=”4假設(shè) a,b R,那么 ab (ab)25假設(shè)a,b R*,那么、茄 1 1特別說明：以上

3、不等式中，當(dāng)且僅當(dāng)a b時取"二6、柯西不等式2、 a,b,c為兩兩不相等的實數(shù)，求證：a2 b2c2ab bc ca22213、a b c 1 ,求證：a b c - 34、a,b,c R ,且 a b c 1 ,求證：(1 a)(1 b)(1 c) 8abc1 假 設(shè) a,b,c,d R , 那 么22222(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)22假設(shè) a1)a2)a3),b2)b3 R,那么有:5、a,b,c R6、 2021年新課標(biāo)n卷數(shù)學(xué)理選修45:不等式選.講題型二：利用不等式求函數(shù)值域 1、求以下函數(shù)的值域設(shè)a,b,c均為正數(shù)，且a1,證明：1 y 3x212x

4、22x(4 x)(i) ab bc ca13; (2 a n) bb22c 1. a3y x11(x 0) x4x I(xx0)題型三：利用不等式求最值湊項1、x 2 ,求函數(shù)y 2x2x 4的最小值;7、2021年江蘇卷數(shù)學(xué)選修45:不等式選講3a b 0 ,求證：2a,322,b 2ab a b變式1: x 2 ,求函數(shù)y2x2x 4的最小值;4變式2: x 2,求函數(shù)y 2x 的最大值;2x 43變式2：設(shè)0 x -,求函數(shù)y 4x(3 2x)的最大值。25練習(xí)：1、x ,求函數(shù)y 4X 2 的取小值;44x 52、假設(shè)0 x 2 ,求y v x(6 3x)的最大值;52、x ,求函數(shù)y

5、 4x 2 的取大值;44x 5變式：假設(shè)0 x 4 ,求y vx(8 2x)的最大值;題型四：利用不等式求最值二湊系數(shù)1、當(dāng)|口 U工M 4時，求y x(8 2x)的最大值；153、求函數(shù)y J2x 1 55 2x(1 x ：)的最大值;提示：平方，利用根本不等式變式1：當(dāng)口 時，求y 4x(8 2x)的最大值;變式：求函數(shù)y «4x 3 *1 4x(- x 11)的最大值; 44、，八 一 1變式3： x, y 0 ,且x1c9 ,求x y的最小值。 y題型五:1、a,b法一：一 一 19變式4：x, y 0,且一 一 4,求x y的最小值;x y變式1:11, a,b 0,a

6、2b 2,求t 一 一的最小值;a b變式2:八28,x, y 0,- - 1,求xy的最小值;x y變式6:正項等比數(shù)列an滿足：a7%2%，假設(shè)存在兩項am, an ,使得1, q 1:aman4a1，求一m4 ,一， 一的取小值；n巧用“ 1的代換求最值問題,11 ,一0,a 2b 1,求t 的最小值;a b變式5:1假設(shè)x, y 0且2x.11y 1,求一一的取小值； x y2假設(shè) a,b, x,y R且_a _b1,求x y的最小x y值;題型六：別離換元法求最值了解1、求函數(shù)y2x 7x 10-9(x 1)的值域;x 1變式： 求函數(shù)y 的最大值；4x 9題型七：根本不等式的綜合應(yīng)

7、用a _ b1、log2 a log2 b 1,求 39 的最小值變式：求函數(shù)x2 8(x 1)的值域;x 12、2021天津a,b 0,求1 27ab的最小值; a b2、求函數(shù)yx 2 .一 . 一的取大值；提木：換兀法2x 5變式1：2021四川如果a b 0,求關(guān)于a,b的表達211 一 一式a 的取小值；ab a(a b)變式2：2021湖北武漢診斷，當(dāng)a 0,a 1時，函數(shù)變式 3：2021 浙江x,y 0, x22y xy 1,求 xyy loga(x 1) 1的圖像恒過定點 A,假設(shè)點 A在直線mx y n 0上，求4m 2n的最小值；3、x, y 0, x 2y 2xy 8,

8、求 x 2y 最小值；最大值;4、 2021年山東理設(shè)正實數(shù)x, y,Z滿足x2 3xy 4y2 z 0 ,那么當(dāng)xy取得最大值 z一，21 2時，一一的取大值為x y zA. 0 B, 1 C.9 D. 34提示：代入換元，利用根本不等式以及函數(shù)求最值變式1 ： a, b 0 ,滿足aba b 3 ,求ab范圍;111,、變式 2：2021 山東x, y 0 , 一，求 xy2 x 2 y 3最大值；提示：通分或三角換元2變式：設(shè)x,y,z是正數(shù)，滿足x 2y 3z 0 ,求上-的xz最小值；題型八：利用根本不等式求參數(shù)范圍1 a1、2021 沈陽檢測x,y 0,且(x y)(- a) 9恒

9、x y成立，求正實數(shù) a的最小值；題型九：利用柯西不等式求最值1、二維柯西不等式 .a b(a,b,c,d R,當(dāng)且僅當(dāng)一 一；即ad bc時等萬成立)c d假設(shè) a,b,c,d R,那么(a2 b2)(c2 d2) (ac bd)22、二維形式的柯西不等式的變式(1)Va2 b2 7 c之 d2 ac bda b(a,b,c,d R,當(dāng)且僅當(dāng) ；即ad bc時等號成立)c d(2) , a2 b2 . c2 d2 ac bd一 11 n , ,. e2、x y z 0且恒成立，如果 x y y z x zn N，求n的最大值；參考：4提示：別離參數(shù)，換元法. .a b(a,b,c,d R,當(dāng)

10、且僅當(dāng) ；即ad bc時等號成立)c d(a b)(c d) (. ac . bd)2. .a b(a ,b, c, d 0,當(dāng)且僅當(dāng)一 一；即ad bc時等萬成立)c d3、二維形式的柯西不等式的向量形式1 4變式：a,b 0滿那么- 4 2,假設(shè)a b c恒成立, a b求c的取值范圍；(當(dāng)且僅當(dāng)0,或存在實數(shù)k,使a k時，等號成立)4、三維柯西不等式假設(shè)2e2,03心心力3 R,那么有：z 2222,2,22(a1 a2a3 )(占b2 b3 ) (ab a2b2 a3b3)(aj R,當(dāng)且僅當(dāng)生 空 史時等號成立) n b2 b35、一般n維柯西不等式設(shè)a1,a2, ,an與“也，,

11、bn是兩組實數(shù)，那么有：2_ 2. 22222(ai a2an)(bi 3bn) (aQ a2b2anbn)之最小值為,此時y 析：2x 3y z 3 2x 3( y 1) z 0(aj R,當(dāng)且僅當(dāng)al鬼曳時等號成立)bib2bn題型分析題型一：利用柯西不等式一般形式求最值1、設(shè) x,y,z R,假設(shè) x2 y2 z2 4,那么 x 2y 2z4、2021 年湖南卷理a,b,c ,a 2b 3c 6,那么a2 4b2 9c2的最小值是( Ans:12 )的最小值為時,(x,y,z)析：(x 2y 2z)2 (x2 y2 z2)12 ( 2)2 224 9 36x 2y 2z最小值為 6此“己f "三飛2、設(shè) x, y, z R , 2x y 2z 6 ,求 x2 y2 z2 的最 小彳t m ,并求此時x, y, z之值。42 4、Ans： m 4;(x, y,z)(-,-,-)33 35、2021年湖北卷理設(shè)x,y,z R,且