高中數(shù)學(xué)競賽講座排列組合二項(xiàng)式定理

1、競賽講座19-排列、組合、二項(xiàng)式定理基礎(chǔ)知識1.排列組合題的求解策略(1)排除：對有限條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況排除，這是解決排列組 合題的常用策略.(2)分類與分步有些問題的處理可分成若干類，用加法原理，要注意每兩類的交集為空集，所有各類的并集是全集； 有些問題的處理分成幾個步驟，把各個步驟的方法數(shù)相乘，即得總的方法數(shù)，這是乘法原理.(3)對稱思想：兩類情形出現(xiàn)的機(jī)會均等，可用總數(shù)取半得每種情形的方法數(shù).(4)插空：某些元素不能相鄰或某些元素在特殊位置時可采用插空法.即先安排好沒有限制條件的 元素，然后將有限制條件的元素按要求插入到排好的元素之間.(5)捆綁：把相鄰的

2、若干特殊元素“捆綁”為一個“大元素” ，然后與其它“普通元素”全排列，然 后再“松綁”，將這些特殊元素在這些位置上全排列.(6)隔板模型：對于將不可辨的球裝入可辨的盒子中，求裝的方法數(shù)，常用隔板模型.如將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成的 11個縫隙中任意插入 3塊隔板，把球分成 4堆，分別裝入4個 不同的盒子中的方法數(shù)應(yīng)為 C131,這也就是方程a b c d 12的正整數(shù)解的個數(shù).2 .圓排列(1)由A 81,82,83, ,an的n個元素中，每次取出r個元素排在一個圓環(huán)上，叫做一個圓排列 (或叫環(huán)狀排列).(2)圓排列有三個特點(diǎn)：(i)無頭無尾；(ii )按照同一方向轉(zhuǎn)換后仍是

3、同一排列；(iii )兩個圓排列只有在元素不同或者元素雖然相同，但元素之間的順序不同，才是不同的圓排列.(3)定理：在 A 81,82,83, ,an的n個元素中，每次取出 r個不同的元素進(jìn)行圓排列，圓排列P：數(shù)為Pn-.r3 .可重排列允許元素重復(fù)出現(xiàn)的排列，叫做有重復(fù)的排列.在m個不同的元素中，每次取出n個元素，元素可以重復(fù)出現(xiàn)， 按照一定的順序那么第一、第二、第n位是的選取元素的方法都是 m種，所以從m個不同的元素中，每次取出n個元素的可重復(fù)的排列數(shù)為nm .4 .不盡相異元素的全排列如果n個元素中，有p1個元素相同，又有p2個元素相同，又有Ps個元素相同 (P1 p2ps n),這n個

4、元素全部取的排列叫做不盡相異的n個元素的全排列，它的排列數(shù)是n!P1! P2!Ps!5 .可重組合(1)從n個元素，每次取出 p個元素，允許所取的元素重復(fù)出現(xiàn)1,2, ,p次的組合叫從n個元素取出p個有重復(fù)的組合.(2)定理：從n個元素每次取出p個元素有重復(fù)的組合數(shù)為：H p Cr , 1nn ( p )6 .二項(xiàng)式定理 n(1)二項(xiàng)式定理(a b)nCkan kbk (n N*).k 0(2)二項(xiàng)開展式共有 n 1項(xiàng).(3) Tr 1 C：an rbr (0 r n)叫做二項(xiàng)開展式的通項(xiàng)，這是開展式的第r 1項(xiàng).(4)二項(xiàng)開展式中首末兩端等距離的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等.(5)如果二項(xiàng)式的哥指數(shù)

5、 n是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C：最大；如果n是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)n 1 n 1的二項(xiàng)式系數(shù)cn-與cn最大.(6)二項(xiàng)式開展式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)之和，即7.數(shù)學(xué)競賽中涉及二項(xiàng)式定理的題型及解決問題的方法二項(xiàng)式定理，由于結(jié)構(gòu)復(fù)雜，多年來在高考中未能充分展示應(yīng)有的知識地位，而數(shù)學(xué)競賽的命題者卻 對其情有獨(dú)鐘.(1)利用二項(xiàng)式定理判斷整除問題：往往需要構(gòu)造對偶式；(2)處理整除性問題：構(gòu)造對偶式或利用與遞推式的結(jié)合；(3)求證不等式：通過二項(xiàng)式展開，取展開式中的若干項(xiàng)進(jìn)行放縮；(4)綜合其他知識解決某些綜合問題：有些較復(fù)雜的問題看似與二項(xiàng)式定理無關(guān)，其實(shí)通過觀察、 分析題目的

6、特征，聯(lián)想構(gòu)造合適的二項(xiàng)式模型，便可使問題迅速解決.例題分析例1.數(shù)1447,1005,1231有某些共同點(diǎn)，即每個數(shù)都是首位為1的四位數(shù)，且每個四位數(shù)中恰有兩個數(shù)字相同，這樣的四位數(shù)共有多少個？例2.有多少個能被3整除而又含有數(shù)字6的五位數(shù)？例3.有2n個人參加收發(fā)電報培訓(xùn)，每兩人結(jié)為一對互發(fā)互收，有多少種不同的結(jié)對方式？例4.將n 1個不同的小球放入 n個不同的盒子中，要使每個盒子都不空，共有多少種放法？例5.在正方體的8個頂點(diǎn)，12條棱的中點(diǎn)，6個面的中心及正方體的中心共 27個點(diǎn)中，共線的三點(diǎn) 組的個數(shù)是多少個？例6.用8個數(shù)字1,1, 7,7, 8,8, 9,9可以組成不同的四位數(shù)有

7、多少個？例7.用A, B,C,D, E五種顏色給正方體的各個面涂色，并使相鄰面必須涂不同的顏色，共有多少種不同的涂色方式？例8.某種產(chǎn)品有4只次品和6只正品(每只產(chǎn)品可區(qū)分)，每次取一只測試，直到 4只次品全部測出 為止.求最后一只次品在第五次測試時被發(fā)現(xiàn)的不同情形有多少種？例9.在平面上給出5個點(diǎn)，連結(jié)這些點(diǎn)的直線互不平行，互不重合，也互不垂直，過每點(diǎn)向其余四點(diǎn)的連線作垂線，求這此垂線的交點(diǎn)最多能有多少個？例10。.8位政治家舉行圓桌會議，兩位互為政敵的政治家不愿相鄰，其入坐方法有多少種？例11.某城市有6條南北走向的街道，5條東西走向的街道.如果有人從城南北角(圖 A點(diǎn))走到東 南角中B點(diǎn)

8、最短的走法有多少種？例12.用4個1號球，3個2號球，2個3號球搖出一個9位的獎號，共有多少種可能的號碼？例13.將r個相同的小球，放入 n個不同的盒子(r n).(1)有多少種不同的放法？(2)如果不允許空盒應(yīng)有多少種不同的放法？例14. 8個女孩和25個男孩圍成一圈，任意兩個女孩之間至少站著兩個男孩.(只要把圓旋轉(zhuǎn)一下就重合的排列認(rèn)為是相同的)例 15.設(shè) n 1990,求(I 3c2 32c4 33c 63 994 C：988 3995C：990 )的值.2例16.當(dāng)n N時，(3 J7)的整數(shù)部分是奇數(shù)還是偶數(shù)？證明你的結(jié)論.例 17.已知數(shù)列 a0,a1,a2,a3,(a00)滿足：

9、ai 1 ai 1 2ai (i 1,2,3,)求證：對于任意正整數(shù)n ,p(x) a0c0(1 x)n aIC：x(1 x)n 1 an 1C； 1xn 1(1 x) anC：xn 是一次多項(xiàng)式或零次多項(xiàng)式.例 18.若(而 2)2r 1m a( r,m N*,0 a 1),求證：a(m a) 1 .例19.設(shè)x (15 V220)19 (15 /220)82的整數(shù)部分，求x的個數(shù)數(shù)字.例20.已知(1 J2)100a J2b(a,b N )求ab的個位數(shù)字.例21.試證大于(1 J3)2n的最小整數(shù)能被2n 1整除(n N ).例22 .求證：對任意的正整數(shù)n,不等式(2n 1)n (2n

10、)n (2n 1)n.11 ，一，一一例23 .設(shè)a, b R ,且一一1 .求證對于每個n N ,都有 a b(a b)n an bn22n 2n 1訓(xùn)練題1 . 8次射擊，命中3次，其中愉有2次連續(xù)命中的情形共有()種(A) 15(B) 30(C) 48(D) 602 .在某次乒乓球單打比賽中，原計劃每兩名選手恰比賽一場，但有3名選手各比賽了 2場之后就退出了，這樣，全部比賽只進(jìn)行了50場。那么，在上述 3名選手之間比賽的場數(shù)是()(A) 0(B) 1(C) 2(D) 32、1000220003 .若(1 x x )的展開式為 a0ax a?xa2000 x,則a。 a3 a6 a9a19

11、98 的值為333,、-666,、-999,、-2001(A) 3(B)3(C)3(D)34 .某人從樓下到樓上要走11級樓梯，每步可走1級或2級，不同的走法有()種(A) 144(B) 121(C) 64(D) 815 .從7名男乒乓球隊(duì)員，5名女乒乓球隊(duì)員中選出4名進(jìn)行男女混合雙打，不同的分組方法有()種(A) 2C2C2(B) 4C2C2(C)P2P2(D)C 2C2 A 7 2c7c5(B) 4c7c5(C)P7 P5(D)C7 C56 .有5分、1角、5角的人民幣各2枚、3張、9張，可組成的不同幣值(非0)有()種(A) 79(B) 80(C) 88(D) 897 .從0,1,2,3

12、,4,5,6,7,8,9這10個數(shù)中取出3個數(shù)，使其和為不小于10的偶數(shù)，不同的取法有 種8 .把(J7 J6)6寫成Jn 1 JN的形式，為N自然數(shù)，則N =.9 .已知直線ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合 3, 2, 1,0,1,2,3中的3個不同的元素，并且該直線的 傾斜角為銳角，那么，這樣的直線的條數(shù)是 .10 .設(shè)ABCDEF為正六邊形，一只青蛙開始在頂點(diǎn)A處，它每次可隨意地跳到相鄰兩頂點(diǎn)之一.若在5次之內(nèi)跳到D點(diǎn)，則停止跳動；若 5次之內(nèi)不能到達(dá) D點(diǎn)，則跳完5次也停止跳動，那么這只青蛙 從開始到停止，可能出現(xiàn)的不同跳法共 種.11 .如果：(1) a,b,c,d 者B屬

13、于1,2,3,4 ; (2) a b,b c,c d,d a; (3)a 是 a,b,c,d 中的最小值，那么，可 以組成的不同的四位數(shù) abcd的個數(shù)是 .12 .在一個正六邊形的六個區(qū)域種植觀賞植物，要求同一塊中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植 物。現(xiàn)有4種不同的植物可供選擇，則有 種載種方案.13 . 10人圍圓桌而，如果甲、乙二人中間相隔 4人，有 種坐法.14 . 19912000除以106的余數(shù)是 .15 .設(shè)(5J2 7)2n1的展開中，用I記它的整數(shù)部分， F記它的小數(shù)部分.求證：(I F)F是一定 值.16 .從1,2,3,19中，按從小到大的順序選取a1，a2,a3,a4四個數(shù)，使得a2 4 2 ,