高考數(shù)學(xué)專題06解析幾何中的定點(diǎn)、定值問題(第五篇)(解析版)

1、備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)大題精做之解答題題型全覆蓋高端精品第五篇解析幾何專題06解析幾何中的定點(diǎn)、定值問題對(duì)應(yīng)典例向量之積為定值典例1斜率為定值典例2斜率之和為定值典例3斜率之積為定值典例4坐標(biāo)為定值典例5面積為定值典例6直線恒過定點(diǎn)典例7圓恒過定點(diǎn)典例822【典例1】【四川省內(nèi)江市2019屆高三第三次模擬】 已知橢圓C：三 與 i(a b 0)的離心率為 a b直線x y 22 0與圓x2 y2 b2相切.(1)求橢圓C的方程； 設(shè)P(5,0),過點(diǎn)(1,0)的直線l交橢圓C于A, B兩點(diǎn)，證明：pa Puv為定值.4【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)題意布列關(guān)于 a, b的方程組，即可得到橢圓 C的方程

2、;(2)設(shè)l的方程：x my 1.聯(lián)立方程可得 m2 2 y2 2my 10 ,利用韋達(dá)定理表示ULV UUVPA PB即可得到結(jié)果.【詳解】解：(1).橢圓c的離心率為32,a 、2b,.直線x y 短 0與圓x2 y2 b2相切,0 0s/2b b b 產(chǎn)1，. 2a 2b .2,2.橢圓C的方程為士 y2 1 .2(2)設(shè) A xi,y , B X2,y2 ,當(dāng)直線l與x軸不重合時(shí)，設(shè)l的方程：x my 1.x my由X221得m21y1y222 y 2my 10,yy22m m2 21 m2 2T 1, m 2m2 2uuv uuvPA PB5x1 4,y1x25了y2x1x2x1x2

3、42516y型3m2 6 41m2 216716uuv uuv當(dāng)直線l與x軸重合時(shí)，PA PB2 4,o2 ；,025721616一-1b 0離心率等于一，2,試問直線AB的斜率,uuv uuv土 7故PA PB為正值 一1622【典例2】【北京市人大附中 2019屆高三高考信息卷】已知橢圓C y- 1 aa2 b2P 2,3、Q 2, 3是橢圓上的兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程；(2) A, B是橢圓上位于直線PQ兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn).當(dāng)A, B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足 APQ BPQ是否為定值？如果為定值，請(qǐng)求出此定值；如果不是定值，請(qǐng)說明理由【思路引導(dǎo)】(1)由題意列式關(guān)于 a, b, c的方程組，求解可得 a,

4、 b的值，則橢圓C的方程可求;(2)設(shè)直線PA的斜率為k,則PB的斜率為-k, PA的直線方程為y-3=k (x- 2)將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得Xi+2,同理PB的直線方程為y-3=- k (x-2),可得X2+2,從而得出AB的斜率為定值.【詳解】c 1a 2八49解：(1)由題意可得 1 ,解得a= 4, b 2J3 , c=2.a b2,22a b c22.橢圓C的方程為-y- 1 ；16 12(2)設(shè) A (刈，y1)，B (X2, y2),當(dāng)/APQ = /BPQ,則PA、PB的斜率之和為 0,設(shè)直線PA的斜率

5、為k,則PB的斜率為-k,直線PA的直線方程為y- 3=k (x-2),y k x 2聯(lián)立x2 v2x y16 123,得(3+4k2) x2+8k(3 2k) x+4 (3 2k) 248=0.18k 2k 33 4k2同理直線PB的直線方程為y-3=- k (x-2),可得x2 28k 2k 33 4k28k 2k 33 4k2x1x2_ 2-16k122-， x13 4kx248k3 4k2y1y2kx123kx2 2 3kxi x24kkABx1 x2x1 x2x1x216k2 123 4k24k48 k3 4k2 AB的斜率為定值一2【典例3】【陜西省咸陽市2020屆高三模擬檢測(cè)】已

6、知點(diǎn)Q是圓M：(x J5)2 y2 36上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N (后0),若線段QN的垂直平分線 MQ于點(diǎn)P.(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程(II)若A是軌跡E的左頂點(diǎn)，過點(diǎn) D (-3, 8)的直線l與軌跡E交于B, C兩點(diǎn)，求證：直線 AB、AC的斜 率之和為定值.【思路引導(dǎo)】(I )線段QN的垂直平分線交MQ于點(diǎn)P,所以|PN |PQ,則|PM |PN | PM | PQ為定值，所 以P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓，結(jié)合題中數(shù)據(jù)求出橢圓方程即可；(n)設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到韋達(dá)定理，寫出 kAB kAC化簡(jiǎn)可彳#定值.【詳解】解：(I )由題可知，線段 QN的垂直平分線交 MQ于點(diǎn)P, 所

7、以 PN PQ ,則 PM PN PM PQ 6 2/5,所以P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)的橢圓， 22設(shè)該橢圓方程為冬冬1(a b 0), a2 b2則2a 6,c 石，所以b2 4 ,22可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為 土匕 1.94(n)由(I)可得，過點(diǎn)D的直線l斜率存在且不為0,故可設(shè)l的方程為y kx m k 0B x,yI ,C X2,y2y kx m222由 x2 y2得 4 9k x 18kmx 9m 36 0,1942_.2_2_.2218km 4 4 9k2 9m2 36 144 9k2 m2 4 0XiX218km2X1X24 9k9m2 364 9k2y1、2 y x2 3y

8、2 X13而 kABkACX13X2 3X13X23kx1m x2 3kx2 mxi 3X13X2 32kxi x23k m x1 x26 mx1x2 3 x1 x22k29m2 3624 9k23k m18km24 9k26m9m2 364 9k218km4 9k283 m 3k由于直線l過點(diǎn)D3,8 ,所以 3km 8,1所以kABkAC（即為7E值）3?夕 ？夕_1【典例4】【河北省保定市2019屆局三4月第一次模擬】 已知橢圓?2+額=1(?> ?> 0)的右焦點(diǎn)？?與1物線? = 4?勺焦點(diǎn)重合，且其離心率為 2。(1)求橢圓？酌方程；(2)已知與坐標(biāo)軸不垂直的直線？咬于

9、？?，？砌點(diǎn)，線段？?舛點(diǎn)為？問？?(？效坐標(biāo)原點(diǎn))是否為定值？請(qǐng)說明理由.【思路引導(dǎo)】(1)由拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，得到橢圓半焦距，再由離心率求得？由？?= /?，?求得？則橢圓方 程可求；(2)由題意可知，直線？的斜率存在且不為 0,設(shè)？的方程為？?= ?,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，化為關(guān)于？?勺一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得？?勺坐標(biāo)，再由斜率公式求得 ？?砌斜率，可得？?？?為 定值.解：(1)拋物線？ = 4？勺焦點(diǎn)為(1,0), 橢圓？的半焦距為？= 1,又橢圓的離心率？= ？= 1, .？= 2,則？?= V？2？- ？= v3.橢圓？勺方程為？2+ ？32= i(2)由題

10、意可知，直線 ？的斜率存在且不為0,設(shè)？的方程為？= ？,？= ？+？ ？聯(lián)立3？+ 4？)_ 12 = 0 得(3 + 4？)？+ 8？+？ 4？2 - 12 = 0.？> 0即只需?2 < 4？ + 3.設(shè)？?(？,？)，的7？,？),r r -8?則？+?=3+后6?+?= ?+ ?) + 2? = 3+4?2.的的-4?3?, Y 3+4?2 ,3+4?2)3?3+4?2- - - ? ? 4?一3+4?234?32匕 1(a 73, b 0)與圓 O： b.,.?乎 4【典例5】【江西省吉安市2019屆高三下學(xué)期第一次模擬】已知橢圓22x y 3有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，點(diǎn) P

11、、F1、F2分別是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn)、左焦點(diǎn)、右焦點(diǎn)，三角形PF1F2面積的最大值是B(1)求橢圓C的方程；(2)若點(diǎn)P在橢圓第一象限部分上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作圓O的切線11,過點(diǎn)。作OP的垂線|2,求證：11, l2交點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為定值.【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)橢圓與圓有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，以及橢圓和圓的對(duì)稱性，三角形PF1F2面積的最大值是 J3 ,可以求出a,b,c的值，得到橢圓的方程.(2)設(shè)出P,Q,H坐標(biāo)，根據(jù)面積相等及勾股定理得到OH , PQ,OP,OQ之間的等量關(guān)系，得到點(diǎn) P,Q之間的坐標(biāo)關(guān)系，再由OP OQ,將Q點(diǎn)坐標(biāo)用P點(diǎn)坐標(biāo)表示出來，即可證明Q點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對(duì)值為定值.【詳解

12、】(1)依題意b ,31 ，2cb2L，解得、3(2)設(shè)點(diǎn)P（X0,y0）,由幾何知識(shí)得到:所以|OH |2又因?yàn)镺P代入上式得:1 ,所以橢圓C的方程是22， 2Q（X1,y1）,則 3X0 4y 0PQOH OP OQOP|2 OQ|2?1|PQfOQ ,所以X0X1PQ1|0?|21 lOQI1,y0yiXi1-2 X02V0122、。小2X012V2X0所以y； 12,即Vi2*3為定值.12,設(shè)直線11與圓Q的切點(diǎn)為H ,OP2 OQ-2 +V。1-2-X12V1V0V1X02V。2X02X0【典例6】【湖南省郴州市2019屆高三第三次質(zhì)量檢測(cè)】且橢圓過點(diǎn)(.2,1).(1)求橢圓C

13、的標(biāo)準(zhǔn)方程;22X0y0y2 3 3X22c32cX037 X034 13X212，2 y b21（a0)的離心率e ,2(2)設(shè)直線l與C交于M , N兩點(diǎn)，點(diǎn)D在C上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若指ujuv ONLUIV , _OD，判斷四邊形OMDN的面積是否為定值？若為定值，求出該定值；如果不是，請(qǐng)說明理由【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)的坐標(biāo)，建立方程組求解橢圓的方程;(2)寫出四邊形的面積表達(dá)式，結(jié)合表達(dá)式的特征進(jìn)行判斷解：(1)因?yàn)闄E圓C的離心率e詆，所以2.a2 b22b2.21.因?yàn)辄c(diǎn)V2,1在橢圓C上，所以二1 . a b2 a由2a2b22解得92b2所以橢圓2C的標(biāo)準(zhǔn)方程

14、為42匕1.2(2)當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),直線 MN的方程為X 1或x 1,此時(shí)四邊形OMDN的面積為J6當(dāng)直線l的斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程是聯(lián)立方程組y2X4kx2 y22k224kmx 2m 4 08 4k2X1X24 km2m242kX1X22 ,2kyy2kXiX22m2m2 .1 2kMNJ k22.2； 4k2 2 m22k2點(diǎn)O到直線MN的距離是,uuuv uuv uuv /口由 OM ON OD，得Xd4km2k2yD2m1 2k2 .因?yàn)辄c(diǎn)D在曲線C上，所以有4km21 2k2422m21 2k2，整理得1 2k2 2m2.1由題意，四邊形OMDN為平行四邊形，所以四邊形

15、OMDN的面積為SoMDNMNd 二還邈二Im1 2km1 k22k2 m22由 1 2k2 2m2,得 S omdn而，故四邊形OMDN的面積是定值,其定值為6 .2【典例7】【北京市大興區(qū)2019屆高三4月一?！恳阎獧E圓C：2 ay21 一/ 1(a b 0)的離心率為,M橢圓C的上頂點(diǎn)，F(xiàn)l, F2是橢圓C的焦點(diǎn)，MF1F2的周長(zhǎng)是6.(I )求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(II )過動(dòng)點(diǎn)P (1, t)作直線交橢圓 C于A, B兩點(diǎn)，且|PA|=|PB|,過P作直線1,使l與直線AB垂直， 證明：直線1恒過定點(diǎn)，并求此定點(diǎn)的坐標(biāo).【思路引導(dǎo)】(I )由題得到關(guān)于a,b,c的方程組，解方程組即得橢

16、圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n)當(dāng)直線AB斜率存在，設(shè) AB11的直線方程為y t k x 1 ,進(jìn)一步求出直線的方程為y 1 x 1 ,k4，1j ，所以直線1恒過定點(diǎn) 一,0 .當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線 AB的方程為x 1 ,此時(shí)直線1為x軸，也過 41,0 .綜上所述直線1恒過點(diǎn)1,0 .44【詳解】解：(I )由于M是橢圓C的上頂點(diǎn)，由題意得 2a 2c 6, 1 c 1又橢圓離心率為一，即 2 a 2解得a 2, c 1,又 b2 a2 c2 3,22所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程1 .43(n)當(dāng)直線AB斜率存在，設(shè) AB的直線方程為y t k x 1 ,_ 2212,得13x 4y聯(lián)立 yy t

17、3 4k2 x28kt k x 4 t k 2 12 0,由題意,設(shè) A x1，y1 ,x2,y2 ,則 x1x28k t23 4k因?yàn)镻APB,所以P是AB的中點(diǎn).8k t k24k3 4kt 0 又l AB, l的斜率為直線l的方程為y1k1x k把代入可得:所以直線l恒過定點(diǎn)-，0 .4當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，直線AB的方程為x 1 ,此時(shí)直線l為x軸，也過 -,04綜上所述直線l恒過點(diǎn) -,0 .4【典例8】【2020屆吉林省遼源市田家炳高級(jí)中學(xué)友好學(xué)校第六十八屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考】已知橢圓22C: xr yr 1(a b 0)的離心率a2 b2X 22e ,左、右焦點(diǎn)分別為 Fi、F

18、2,拋物線y 24j2x的焦點(diǎn)F恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)(1)求橢圓C的方程;(2)已知圓M ： x2 y22、一的切線3l (直線l的斜率存在且不為零) 與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，那么以AB為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說明理由【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)與橢圓的頂點(diǎn)公式求解即可22(2)設(shè)直線l的方程為y kx m,聯(lián)立直線與橢圓的方程，列出韋達(dá)定理，并根據(jù)直線l與圓M :x y0即可.,uur uur相切得出k,m的關(guān)系式，代入證明oa OB(1)因?yàn)闄E圓c的離心率e 滅,所以9 2 a因?yàn)閽佄锞€y2 4j2x的焦點(diǎn)F(J2,0)恰好是該橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)2

19、X 9所以aJ2,所以c 1,b 1.所以橢圓C的方程為一y 1.2(2)因?yàn)橹本€l的斜率存在且不為零.故設(shè)直線l的方程為y kx m.2k224kmx 2m 2 0,y kx m,由x22 消去y，得萬y 1，所以設(shè) A x1，yi ,B x2,y2 ,則 xi x24km2k2 1,xx22m2 22k2 1所以 y1y2kx1m kx2m 2 k x1x2 km x1 x2m2 2k22k2 1uuu uuu所以 OA OB x1x2 y1y23m2 2k2 22 k2 1因?yàn)橹本€l和圓M相切，所以圓心到直線l的距離d|m |1 k2222整理，得m - 1 k ,3 uuu uur將代

20、入彳導(dǎo)OA OB 0,顯然以AB為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn) 0(0,0)綜上可知，以AB為直徑的圓過定點(diǎn)(0,0).【針對(duì)訓(xùn)練】1.12020屆福建省福鼎一中高三第二次質(zhì)檢】2 x 過點(diǎn)C(0,1)的橢圓與 a1(a b 0)的離心率為橢圓與x軸交于兩點(diǎn)A(a,0)、B( a,0)，過點(diǎn)C的直線l與橢圓交于另一點(diǎn) D，并與x軸交于點(diǎn)P ,直線AC 與直線BD交于點(diǎn)Q.(1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)點(diǎn)P異于點(diǎn)B時(shí)，求證：CuP OQv為定值.【思路引導(dǎo)】(1)先求出橢圓方程，當(dāng)直線 l過橢圓右焦點(diǎn)時(shí)，寫出直線 l的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點(diǎn) D的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式即可求得線段CD的長(zhǎng)；（2

21、）設(shè)出直線l的方程，并和橢圓聯(lián)立方程，求得點(diǎn) D的uuu uuur坐標(biāo)，并求出點(diǎn)P坐標(biāo)，寫出直線AC與直線BD的方程，并解此方程組，求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)，代入OP OQ即可證明結(jié)論【詳解】（1）由已知得b ic 號(hào)得a 2, a 22橢圓的方程為y2 1 ,4橢圓的右焦點(diǎn)為F J3,0 ,此時(shí)直線l的方程為y3x1,37x2 8 J3x 0 ,解得 x10, x2834y2 4|CD |1 k2 x1 x2167 ；（2）當(dāng)直線1與工軸垂直時(shí)與題意不符，所以直線I與#軸不垂直，即直線的斜率存在,解得看期=設(shè)直線I的方程為f。且也。：）代入橢圓的方程，化簡(jiǎn)得1一4人代入直線I的方程，得小二1 二 ，7

22、*4比十1讓 l-4k2所以，的坐標(biāo)為（一一）4K1 必* -1.一 x12k又直線AC的方程為一y 1 ,直線BD方程為y (x 2),22 4kx 4k聯(lián)立解得，即Q( 4k, 2k+1),y 2k 1而P的坐標(biāo)為 1,0kuuuOPUUUT 1(4k,2k 1) 4uur 即OPUULTOQ為定值.2.【河北省示范性高中2019屆高三下學(xué)期2X4月聯(lián)考】已知橢圓C1 :勺 ay2 1(a b 0)的離心率為, b322橢圓 c2：2_ _y_3a2 3b21(a b 0)經(jīng)過點(diǎn),3 .32 , 2(1)求橢圓Ci的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)設(shè)點(diǎn)M是橢圓C1上的任意一點(diǎn)，射線 MO與橢圓C2交于點(diǎn)N

23、,過點(diǎn)M的直線l與橢圓C1有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線l與橢圓C2交于A,B兩個(gè)相異點(diǎn)，證明：4NAB面積為定值.【思路引導(dǎo)】(1)根據(jù)橢圓的離心率和把過的點(diǎn)代入橢圓方程，根據(jù)得到的式子求出a,b,c.(2)當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，易得VNAB的面積，當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)為y kx m,與橢圓C1相切,得到k和m的關(guān)系，再由直線l和橢圓聯(lián)立方程組，得到X1X2、XX2,利用弦長(zhǎng)公式表示出AB ,再得到ONv和MOv的關(guān)系，由O到AB的距離，得到N到AB的距離，從而計(jì)算出VNAB的面積.得到結(jié)論為定值.(1)解:因?yàn)镃1的離心率為立, 3所以解得3b2.將點(diǎn)2X3a22-yr 1,整理得3b11,2

24、1.4a 4bOQ ,0 k聯(lián)立，得a2 1, b222 y.x 1故橢圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為13(2)證明：當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),占八、M為1,0或 1,0 ,由對(duì)稱性不妨取M 1,03,0 .2(1)知橢圓C2的方程為y2 3X 1代入橢圓C2的方程得y1所以 S NAB - MN AB 2當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為kxm,將y kx m代入橢圓C1的方程22得 13kx 6kmx3m2 10,由題意得26km4 1 3k23m2整理得3m2 1 3k2.kxm代入橢圓C2的方程,3k22x 6kmx23m0.X1,y1B X2,y2則x,6 km2， x1x21 3k23m2 32，

25、1 3k所以ABk2x12x24x1 x21 k22 3 3k2 1 m23k2 12x6.1 k23 mx0,y0 ,N X3, y3uuuvuuuvONMO，則可信x3x0, y3y。.因?yàn)?2x03y02x 2Ty322,x03y0122 x0y021'3解得 乖(x/3舍去)，uuvuuuv所以O(shè)N 雜MO ,從而NM又因?yàn)辄c(diǎn)O到直線l的距離為d所以點(diǎn)n到直線i的距離為73所以 S NAB 1 73 1 d AB2綜上，NAB的面積為定值近點(diǎn) 1 OM .mL， 31m小k2 ,1石i'嗎亞旦2 .1 k23 m3_6.33 .【山東省泰安市 2020屆模擬】圓O： x

26、2+y2 = 9上的動(dòng)點(diǎn)P在x軸、y軸上的射影分別是 P1, P2,點(diǎn)M滿uuuv 2 uuv 1 uuuv足 OMOP1 OP2 .33(1)求點(diǎn)M的軌跡C的方程;(2)點(diǎn)A (0, 1), B (0, - 3),過點(diǎn)B的直線與軌跡 C交于點(diǎn)S, N,且直線AS、AN的斜率kAs, kAN存在，求證：kAS?kAN為常數(shù).【思路引導(dǎo)】(1)設(shè)P(x°, y°), M (x, y),根據(jù)向量關(guān)系，用M的坐標(biāo)表示P的坐標(biāo)后，將 P的坐標(biāo)代入圓的方程可得M的軌跡方程;(2)設(shè)出直線SN的方程y kx 3并代入橢圓方程，利一一，1用韋達(dá)定理以及斜率公式得kAS *an為常數(shù)一.2

27、【詳解】(1)設(shè) P (x。，y。)，M (x, y),則 OR = ( xo, 0), OP2 = ( 0, y。)，uuuv 由OMx2x。32 uuu/ 1 uuuvOP1 OP2 .得3x。x233y13y。y。3y2代入xo2+yo2=9,所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為 4(2)當(dāng)SN的斜率不存在時(shí)，AS, AN的斜率也不存在，故不適合題意;當(dāng)SN的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為 k則直線SN的方程為y=kx-3代入橢圓方程整理得(1+4k2) x2-24kx+32 = 0, >0? k2>224 k僅 S (x1 y1) N (x2, y2), 則 x1+x2= 21 4k32 x1x

28、2= 2 ,1 4k2貝 U kAS?kAN = y1- x1y2 1 kx1 4 kx2 4x2x1x2,2k x1x2 4k x1 x216x1x2,23224 k “k 2 4k 2 161 4k21 4k2321 4k2故kAS?kAN為常數(shù)一.232k2 96k2 16 64k2324.【2020湖北省武漢市模擬】 如圖，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓2y2>1 ( a b 0)的焦距等于其長(zhǎng)半b軸長(zhǎng)，M , N為橢圓C的上、下頂點(diǎn)，且|MN | 2百(1)求橢圓C的方程;(2)過點(diǎn)P 0,1作直線l交橢圓C于異于M ,N的A, B兩點(diǎn)，直線AM , BN交于點(diǎn)T .求證：點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為定

29、值3.【思路引導(dǎo)】(1)由| MN | 2石得b 底,再根據(jù)焦距等于其長(zhǎng)半軸長(zhǎng)可求a, c ,故可得橢圓的方程(2)設(shè)直線方程為 y kx 1, A x1, y1 , B x2, y2 ,【詳解】解：(1)由題意可知：2c a,2b 2向，又a2 b2 c2 ,_22有b 樞c 1,a 2,故橢圓C的方程為：1 ,43(2)由題意知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為 y kx 1,用A,B的橫坐標(biāo)表示T的縱坐標(biāo)，再聯(lián)立l的方程和橢圓的方程，消去 y得4k2 38kx 8 0 ,利用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)T的縱坐標(biāo)后可得所求的定值設(shè) A Xi,yi ,B X2,y2 ( xix2 0),聯(lián)立直線方程和橢圓方程得

30、y kx23x 4y12. 一 22,消去y得4k 3 x 0XiX28k-"X24k2 3_8 4k2且有3Xi又 lBN ：y23y 工、,3l AM：yyiXiX2、,3yiX2Xiy2<:-3XiXiX2kX2 i .3y；3kxx2 (i 工 3)x2(i 3)x (i ,3)X2.32 kxix2xi x2. 3 Xi x2kX,X2 (i3)x2(i . 3)Xi2kxiX2 2(i.3)X2(i3 xi x23 xi x2. 3 X)x2xix2故點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為3.5 .【山東省聊城市20i9屆高:模】已知以橢圓24 i(a b b20)的焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的

31、四邊形恰好是面積為 4的正方形.(i)求橢圓E的方程；(2)直線l： y kx m(km 0)與橢圓E交于異于橢圓頂點(diǎn)的 A, B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線 AO與 橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為C點(diǎn)，直線l和直線AO的斜率之積為i,直線BC與x軸交于點(diǎn)M .若直線BC ,AM的斜率分別為K, k2,試判斷ki 2k2是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由【思路引導(dǎo)】(1)由題意可得到a2 4,求解即可得出橢圓方程;222a b c(2)先設(shè) a xi,yi Xiyi0 , B X2,y2 X2y20 ,則 CX1, yi , kAO£'根據(jù) kAO k 1，得ki ,卜2,進(jìn)而

32、可求出ki 2k2的值，得出結(jié)論b c所以 a2 4,解得222a b cX1到k ,聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，表示出 yi(i)因?yàn)闄E圓的兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形恰好是面積為4的正方形,224 一， ，、， x yc .所以橢圓E的方程為242(2)設(shè) A x，vKy0 , B X2,y2 X2y20 ,則 CXi, yi , kAOyXi因?yàn)閗AO k ，所以kyi22X y一 I . 一 一 22一 2一聯(lián)立 42 ，消 y ,得 12kx 4kmX 2m 4 0,y kX m所以XiX24kmi 2k2YiY2k xi x22m2mi 2k2所以kiyiy2XiX22k

33、2x,直線BC的方程為：y yiyi2x,Xi，令y 0,由y1 0,得xyi4x1，所以 M 3x1,0 , k2 x1 3xi所以ki2 k22yi2 4t 0.所以ki 2k2為定值0.2y,八工 1(a b 0),右焦 b22 x6.【安徽省淮北市、宿州市 2019屆高三第二次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】已知橢圓C：-2a點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0),且點(diǎn)(2,后在橢圓C上.(1)求橢圓C的方程及離心率；(2)過點(diǎn)F的直線交橢圓于 A,B兩點(diǎn)(直線不與x軸垂直)，已知點(diǎn)A與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，證明：直線PB恒過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo).【思路引導(dǎo)】(1)由題意得到關(guān)于 a,b,c的方程組，求解方程組確定a,b

34、,c的值即可確定橢圓方程和橢圓的離心率；(2)設(shè)PXi,yi, BX2,y2, Ax1，y1，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，由題意可得kAFkFB,結(jié)合韋達(dá)定理和直線斜率的定義得到 m與k的關(guān)系，代入直線 PB的方程即可證得直線過定點(diǎn).【詳解】± 2 1222(1)由已知得r 1 2 2 ,解得22a b c %2c 222.橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程1 ,84.橢圓C的離心率e -a22:2(2)設(shè) P 為，必，B x2,y2 ,則 A Xi, Vi ，可設(shè)PB的直線方程為yy聯(lián)立方程x28kx m. 一 _2整理得 2 k 122x 4kmx 2m 8 0x1 x2 2 k24km二，xx2 122m2 822k2 1Q kAFkFB ,y12 x1y2X2 2'整理得，2kxix2 m k x1 x2 4m 03yi 1 3y2 1yi 1 y2 12m 84km2k 2 m k 2 4m 0 ,解得 m 4k, 2k 12k 1 PB的直線方程為：y kx 4k k x 4 ,直線PB恒過定點(diǎn)4,0 .為Fi , F2,其離心率為,過F2的直線l與C交于A,