30.4 第2課時(shí)實(shí)際問題中二次函數(shù)的最值問題

1、30.4 二次函數(shù)的應(yīng)用二次函數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié) 第2課時(shí) 實(shí)際問題中二次函數(shù)的最值問題第三十章 二次函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.分析實(shí)際問題中變量之間的二次函數(shù)關(guān)系.（難點(diǎn)）2. 能應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決圖形中最大面積問題.（重點(diǎn))3.能應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決商品銷售過程中的最大利潤(rùn)問題.（重點(diǎn)）4.弄清商品銷售問題中的數(shù)量關(guān)系及確定自變量的取值范圍. （難點(diǎn)）導(dǎo)入新課導(dǎo)入新課情境引入如圖所示，要用長(zhǎng)20m的鐵欄桿，圍成一個(gè)一面靠墻的長(zhǎng)方形花圃，怎么圍才能使圍成的花圃的面積最大？如果花圃垂直于墻的一邊長(zhǎng)為xm，花圃的面積為ym2，那么yx(202x)試問：x為何值時(shí)，才能使y的值最

2、大？同學(xué)們，你們會(huì)算嗎？思考：在日常生活中存在著許許多多的與數(shù)學(xué)知識(shí)有關(guān)的實(shí)際問題.解決生活中面積的實(shí)際問題時(shí)，你會(huì)用到了什么知識(shí)？商品買賣過程中，作為商家追求利潤(rùn)最大化是永恒的追求.那怎么獲取最大利潤(rùn)呢？二次函數(shù)與幾何圖形面積的最值一例1 用總長(zhǎng)為60m的籬笆圍成矩形場(chǎng)地，矩形面積S隨矩形一邊長(zhǎng)l的變化而變化.當(dāng)l是多少時(shí)，場(chǎng)地的面積S最大？解:根據(jù)題意得S=l(30-l),即 S=-l2+30l (0l30).因此，當(dāng) 時(shí)， S有最大值 301522( 1)bla 2243022544(1)acba 也就是說，當(dāng)l是1 15m時(shí)，場(chǎng)地的面積S最大.講授新課講授新課變式1 如圖，用一段長(zhǎng)為6

3、0m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)32m，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？xx60-2x問題2 我們可以設(shè)面積為S，如何設(shè)自變量？問題3 面積S的函數(shù)關(guān)系式是什么？問題4 如何求解自變量x的取值范圍？墻長(zhǎng)32m對(duì)此題有什么作用？問題5 如何求最值？最值在其頂點(diǎn)處，即當(dāng)x=15m時(shí)，S=450m2.問題1 變式1與例題有什么不同？設(shè)垂直于墻的邊長(zhǎng)為x米，Sx(602x)2x260 x.0602x32，即14x30.變式2 如圖，用一段長(zhǎng)為60m的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)18m，這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是多少？xx60-2

4、x問題1 變式2與變式1有什么異同？問題2 可否模仿變式1設(shè)未知數(shù)、列函數(shù)關(guān)系式？問題3 可否試設(shè)與墻平行的一邊為x米？則如何表示另一邊？答案：設(shè)矩形面積為Sm2,與墻平行的一邊為x米，則26013022xSxxx 問題4 當(dāng)x=30時(shí)，S取最大值，此結(jié)論是否正確？問題5 如何求自變量的取值范圍？0 0 x 18. 18.問題6 如何求最值？由于30 30 1818，因此只能利用函數(shù)的增減性求其最值.當(dāng)x=18時(shí)，S有最大值是378. 不正確.變式3 用總長(zhǎng)度為24m的不銹鋼材料制成如圖所示的外觀為矩形的框架，其橫檔和豎檔分別與AD，AB平行.設(shè)AB=x m,當(dāng)x為多少是，矩形框架ABCD的面

5、積最大，最大面積是多少？22444(3)12,33xSxx 解：40,3a 當(dāng)x=3時(shí)，S有最大值，且S最大=12m2.ADBC 實(shí)際問題中求解二次函數(shù)最值問題，不一定都取圖象頂點(diǎn)處，要根據(jù)自變量的取值范圍.通過變式1與變式2的對(duì)比，希望同學(xué)們能夠理解函數(shù)圖象的頂點(diǎn)、端點(diǎn)與最值的關(guān)系，以及何時(shí)取頂點(diǎn)處、何時(shí)取端點(diǎn)處才有符合實(shí)際的最值.知識(shí)要點(diǎn)二次函數(shù)解決幾何面積最值問題的方法1.求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍；2.配方變形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.檢查求得的最大值或最小值對(duì)應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi). 例2 某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣出300件，市場(chǎng)調(diào)查

6、反映：每漲價(jià)1元，每星期少賣出10件；每降價(jià)1元，每星期可多賣出18件，已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，如何定價(jià)才能使利潤(rùn)最大？每件漲價(jià)x元，則每星期售出商品的利潤(rùn)y元，填空：2030020+x300-10 xy=(20+x)(300-10 x)建立函數(shù)關(guān)系式：y=(20+x)(300-10 x),即：y=-10 x2+100 x+6000.利用二次函數(shù)解決銷售問題中的最值問題二6000典例精析 自變量x的取值范圍如何確定？營(yíng)銷規(guī)律是價(jià)格上漲，銷量下降，因此只要考慮銷售量就可以，故300-10 x 0，且x 0,因此自變量的取值范圍是0 x 30.漲價(jià)多少元時(shí)，利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是多少？y=-10

7、 x2+100 x+6000，當(dāng) 時(shí),y=-1052+1005+6000=6250.10052 ( 10)x 即定價(jià)65元時(shí)，最大利潤(rùn)是6250元.w=12+2(x1)804(x1) =(10+2x)(844x) =8x2+128x+840 =8(x8)2+1352. 例3 一工藝師生產(chǎn)的某種產(chǎn)品按質(zhì)量分為9個(gè)檔次.第1檔次（最低檔次）的產(chǎn)品一天能生產(chǎn)80件，每件可獲利潤(rùn)12元.產(chǎn)品每提高一個(gè)檔次，每件產(chǎn)品的利潤(rùn)增加2元，但一天產(chǎn)量減少4件.如果只從生產(chǎn)利潤(rùn)這一角度考慮，他生產(chǎn)哪個(gè)檔次的產(chǎn)品，可獲得最大利潤(rùn)？解：設(shè)生產(chǎn)x檔次的產(chǎn)品時(shí)，每天所獲得的利潤(rùn)為w元，則當(dāng)x=8時(shí)，w有最大值，且w最大=

8、1352.答：該工藝師生產(chǎn)第8檔次產(chǎn)品，可使利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為1352.知識(shí)要點(diǎn)求解最大利潤(rùn)問題的一般步驟（1）建立利潤(rùn)與價(jià)格之間的函數(shù)關(guān)系式：運(yùn)用“總利潤(rùn)=總售價(jià)-總成本”或“總利潤(rùn)=單件利潤(rùn)銷售量”（2）結(jié)合實(shí)際意義，確定自變量的取值范圍；（3）在自變量的取值范圍內(nèi)確定最大利潤(rùn)：可以利用配方法或公式求出最大利潤(rùn)；也可以畫出函數(shù)的簡(jiǎn)圖，利用簡(jiǎn)圖和性質(zhì)求出.1.如圖1，用長(zhǎng)8m的鋁合金條制成如圖的矩形窗框,那么最大的透光面積是 .28m32.如圖2，在ABC中， B=90 ,AB=12cm,BC=24cm,動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB向B以2cm/s的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)B重合），動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始BC

9、以4cm/s的速度移動(dòng)（不與點(diǎn)C重合）.如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，那么經(jīng)過 秒，四邊形APQC的面積最小.圖1ABCPQ圖23當(dāng)堂練習(xí)當(dāng)堂練習(xí)3. 某廣告公司設(shè)計(jì)一幅周長(zhǎng)為12m的矩形廣告牌，廣告設(shè)計(jì)費(fèi)用每平方米1000元，設(shè)矩形的一邊長(zhǎng)為x(m),面積為S(m2). (1)寫出S與x之間的關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，使獲得的設(shè)計(jì)費(fèi)最多，并求出這個(gè)費(fèi)用.解： （1）設(shè)矩形一邊長(zhǎng)為x，則另一邊長(zhǎng)為（6-x),S=x(6-x)=-x2+6x,其中0 x6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;當(dāng)x=3時(shí)，即矩形的一邊長(zhǎng)為3m時(shí)，矩形面積最大，為9m2.這時(shí)

10、設(shè)計(jì)費(fèi)最多，為91000=9000（元）4.某種商品每件的進(jìn)價(jià)為20元，調(diào)查表明：在某段時(shí)間內(nèi)若以每件x元（20 x 30)出售，可賣出（30020 x）件，使利潤(rùn)最大，則每件售價(jià)應(yīng)定為 元.255.進(jìn)價(jià)為80元的某件定價(jià)100元時(shí)，每月可賣出2000件，價(jià)格每上漲1元，銷售量便減少5件，那么每月售出襯衣的總件數(shù)y(件）與襯衣售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為 .每月利潤(rùn)w（元）與襯衣售價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式為 .(以上關(guān)系式只列式不化簡(jiǎn)）. y=2000-5(x-100)w=2000-5(x-100)(x-80)6. 某種商品每天的銷售利潤(rùn)y（元）與銷售單價(jià)x(元）之間滿足關(guān)系：y=ax2+bx-75.其圖象如圖.（1）銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該種商品每天的銷售利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？（2）銷售單價(jià)在什么范圍時(shí)，該種商品每天的銷售利潤(rùn)不低于16元？xy516O7解：(1)由題中條件可求y=-x2+20 x-75-10,對(duì)稱軸x=10,當(dāng)x=10時(shí)，y值最大，最大值為25.即銷售單價(jià)定為10元時(shí)，銷售利潤(rùn)最大，25元；(2)由對(duì)稱性知y=16時(shí)，x=7和13.故銷售單價(jià)在7 x 13時(shí)，利潤(rùn)不低于16元.課堂小結(jié)課堂小結(jié)最 大 利潤(rùn) 問 題建立