第17講第四章,二階線性方程的特征理論

1、數(shù)學(xué)物理方程Equations of mathematical physics 姚志遠(yuǎn)南京航空航天大學(xué)航空宇航學(xué)院Z第四章二階線性偏微分方程的分類和總結(jié)1、特征概念 不同類型的方程有不同的特征線，而不同的特征線決定不同的方程?；蛘哒f，不同特征線的方程表現(xiàn)出不同的特性，因此，有必要進(jìn)一步地討論特征線與特征面的理論，簡稱特征理論。弱間斷解 對于一個(gè)具有n個(gè)自變量的二階方程來講，若有一個(gè)函數(shù)u在某個(gè)n維區(qū)間內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且在此區(qū)域內(nèi)除一個(gè)（n-1）維光滑曲面S外，有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并處處滿足方程，同時(shí)u的二階偏導(dǎo)數(shù)在S上的左右極限存在，那么稱這個(gè)函數(shù)u為方程的弱間斷解。 1 二階線性偏微分方程

2、的特征理論和1()f xat它在 =常數(shù)的特征線上為常數(shù)。例如，對弦振動(dòng)方程。其解為2(1)1( )01xxxx2()fxatxat如果在t=0時(shí)取值為其解為2()1)1( )01xatxatu xxat其解在 處為間斷面。1xat2.特征方程12( ,)nx xx其中 及 為已知函數(shù)。 在n維空間 考慮的某個(gè)區(qū)間 上，考慮下面二階線性方程問：在什么條件下一個(gè)超曲面, ( ,1,), ijia b i jn c(2.1)2,11 nnijiii jiijuabucufx xf12( ,)0nx xx(2.2)可以成為方程（2.1）的某個(gè)弱解u的弱間斷面？分類討論分解21212112211212

3、12112211ddddaaa ayxaaaa ayxa(1)在點(diǎn)附近00(,)x y21211220aa a(1.10)(1.9)則(1.8)的積分曲線為兩不相同的實(shí)線。為1( , )x yc2( , )x yc和1( , )x y2( , )x y令 方程(1.4)式化為uAuBuCuD(1.11)作變換11(),()22stst方程(1.11)式化為1111ssttstuuAuBuCuD(1.12)（2）在點(diǎn)00(,)x y任選與1( , )x yc的領(lǐng)域無關(guān)的21211220aa a方程(1.8)有唯一解2( , )x yc1c由于有21211220aa a 因此12111222112

4、21122()()()xxxyyxyyxyxyaaaaaaaa 11120,0aa方程(1.4)式化為1111uAuBuCuD(1.13)作變換101( , )d2Bvue 方程(1.13)式化為222vA uC uD(1.14)（3）在點(diǎn)00(,)x y的領(lǐng)域21211220aa a方程(1.8)有復(fù)函數(shù)解12( , )( , ) i( , )x yx yx yc 首先證明 線性無關(guān)。由于由于將實(shí)部、虛部分開得到(1.16)12( , ),( , )x yx y21112112212(i)xyaaa aa2111212112221112121122)xyyxyyaaaa aaaaa a結(jié)論成

5、立其雅可比行列式為21122122211()0 xyyyxya aaa將代入(1.7)得到 i22221112221112222111212112222)xxyyxxxyyxyyaaaaaaaaaa a 由（1.6)式，方程(1.1)化為 uuAuBuCuD(1.17)3.方程的分類 對于二次型 決定2211122221a la lma m若在點(diǎn)附近00(,)x y21211220aa a稱方程在點(diǎn)為雙曲型的；00(,)x y若在點(diǎn)附近00(,)x y21211220aa a稱方程在點(diǎn)為拋物型的；00(,)x y若在點(diǎn)附近00(,)x y21211220aa a稱方程在點(diǎn)為橢圓型的。00(,)x y例1 弦振動(dòng)方程 其特征為 22220uutx和 xatcxatc作變換 和 xat xat有 解得 20u ()()uF xatG xat例2 特里科米方程 解得 22220uuyxy故 和 x3223y有 其特征方程為 22dd0y yxidd0y yx322i3xyc在橢圓區(qū)域