方向導數(shù)和梯度.ppt課件

1、實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是實例：一塊長方形的金屬板，四個頂點的坐標是(1,1)，(5,1)，(1,3)，(5,3)在坐標原點處有一個火焰，它使在坐標原點處有一個火焰，它使金屬板受熱假定板上恣意一點處的溫度與該點到原金屬板受熱假定板上恣意一點處的溫度與該點到原點的間隔成反比在點的間隔成反比在(3,2)處有一個青蛙，問這只青蛙處有一個青蛙，問這只青蛙應沿什么方向爬行才干最快到達較涼爽的地點？應沿什么方向爬行才干最快到達較涼爽的地點？問題的本質：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向即問題的本質：應沿由熱變冷變化最驟烈的方向即梯度方向爬行梯度方向爬行問題的提出問題的提出？ ),(00yxPl)

2、,(yxfz ,),(),(00lyxPDyxfz給定一方向過點內是一張曲面，在定義域圖形設二元函數(shù) oyxlP ),(00yxP度度最最小?。垦匮厥彩裁疵捶椒较蛳蚴鞘窍孪缕缕虑仪移缕露榷茸钭疃付?？沿沿什什么么方方向向是是上上坡坡且且坡坡降降？沿沿此此方方向向是是上上升升還還是是下下處處即即曲曲面面在在點點,),(000zyxM化率如何？化率如何？變變沿此方向沿此方向函數(shù)函數(shù)lyxfz ),( 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點在一點P沿某一方向沿某一方向的變化率問題的變化率問題),(yxfz 引射線引射線內有定義，自點內有定義，自點的某一鄰域的某一鄰域在點在點設函數(shù)設函數(shù)lPPUyxPyxfz)(),

3、(),( ).(),(,pUPlyyxxPlx 上的另一點且上的另一點且為為并設并設為為的夾角的夾角軸與射線軸與射線設設 如圖如圖oyxlP xyP |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且當當 沿著沿著 趨于趨于 時，時，P Pl ),(),(lim0yxfyyxxf , z 考慮考慮能否存在？能否存在？沿沿著著x軸軸負負向向、y軸軸負負向向的的方方向向導導數(shù)數(shù)是是 的沿方向則稱這極限為函數(shù)在點存在，時，如果此比值的極限趨于沿著當之比值，兩點間的距離與函數(shù)的增量lPPlPyxPPyxfyyxxf22)()(),(),(.),(),(lim0yxfyyxxflf記為記為定

4、義定義方導游數(shù)方導游數(shù). . ,yxff .,yxff tan),(00 yxfx tan),(00 yxfy xyzo),(000zyxM l),(00yxP.tan),(,),(00yxlflyxfz如圖：的變化率函數(shù)沿方向，的方向導數(shù)的幾何意義二元函數(shù)xyzo4 . 14tan)0 , 0()0 , 0(22lflyxz的方向導數(shù)都等于沿著任何射線點原的圖形是上半錐面，在例：函數(shù)都不存在。都不存在。的兩個偏導數(shù)的兩個偏導數(shù)但是函數(shù)但是函數(shù))0 , 0( ,)0 , 0( yfxff 1)()()()(lim00)0()0(lim2222022220 yxyxyxlf 解解：)(lim00

5、lim) 0 , 0() 0 ,(lim) 0 , 0(02200不不存存在在！xxxxxfxffxxxx 沿恣意方向的方導游數(shù)存在不能保證偏導數(shù)存在沿恣意方向的方導游數(shù)存在不能保證偏導數(shù)存在,反之也然。反之也然。證明證明由于函數(shù)可微，那么增量可表示為由于函數(shù)可微，那么增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yxP是是可可微微分分的的，那那末末函函數(shù)數(shù)在在該該點點沿沿任任意意方方向向 l 的的方方向向導導數(shù)數(shù)都都存存在在，且且有有 其其中中 為為方方向向 l 的的方方向向角角 cosco

6、syfxflf , sincosyfxflf 或或 cos cos )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方導游數(shù)故有方導游數(shù) ),(),(lim0yxfyyxxf .coscos yfxf lfoyx lP xyP 例例 1 1 求求函函數(shù)數(shù)yxez2 在在點點)0 , 1(P處處沿沿從從點點)0 , 1(P 到到點點)1, 2( Q的的方方向向的的方方向向導導數(shù)數(shù). 解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz所所求求方方向向導導數(shù)數(shù) cos2cos lz.22 這這里里方方向向l即即為為1, 1 PQ,22111cos,221

7、11cos2222 xyo11 )1, 2( 2PQ解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方導游數(shù)的計算公式知由方導游數(shù)的計算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx sincos),4sin(2 故故（1）當當4 時時，方方向向導導數(shù)數(shù)達達到到最最大大值值2;（2）當當45 時時，方方向向導導數(shù)數(shù)達達到到最最小小值值2 ;（3）當當43 和和47 時時，方向導數(shù)等于方向導數(shù)等于 0.,),(),(lim0zyxfzzyyxxflf推行可得三元函數(shù)方導游數(shù)的定義推行可得三元函數(shù)方導游數(shù)的定義（ 其其中中222)()()(zyx

8、 ）xyzo P ).,(zzyyxxP x y z ll.coscoscoszfyfxflf設設方方向向 的的方方向向角角為為 ,cos x,cos y,cos zl的的方方向向余余弦弦。是是其其中中l(wèi) cos,cos,cosl),(zyxfu ),(zyxp方向的方向導數(shù)。到處沿從點），（在點：求函數(shù)例),(12311123233QPPxzxyzyxu. 3)1 , 1 , 1(, 5)1 , 1 , 1(, 6)1 , 1 , 1(,2,23,2322 zuyuxuxzzuxyyuzyxxu解：解： ,32cos ,31cos,32)2(122cos,2, 1 , 2222 PQ3113

9、23315326111111),(),(coscoscoszfyfxflf解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故 zyxFFFn , ,2, 6, 4 ,142264222 n方向余弦為方向余弦為,142cos ,143cos .141cos PPyxzxxu22866 ;146 PPyxzyyu22868 ;148 PPzyxzu22286 .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故2122)86(1yxzu )1 , 1 , 1(P?),(:最最快快沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度在在點

10、點函函數(shù)數(shù)問問題題Pyxfz .coscoscoszuyuxulu分析方向導數(shù)公式：的的方方向向余余弦弦。是是其其中中l(wèi) cos,cos,cos zuyuxukzujyuixuGkjil, cos,cos,cos ,coscoscos 及及向向量量引引入入單單位位向向量量： ),cos(),cos( coscoscos.coscoscoslGGlGlGlGkjikzujyuixuzuyuxulu. :1),cos(GlululGGl取最大值，其值為方向導數(shù)時，方向一致時，即和此式表明，當方向. 數(shù)數(shù)值值正正好好就就是是最最大大的的方方向向導導的的模模大大值值的的方方向向，方方向向，即即方方向向

11、導導數(shù)數(shù)取取最最變變化化率率最最大大的的就就是是函函數(shù)數(shù)由由此此得得出出，向向量量GGfG定定義義 設設函函數(shù)數(shù)),(zyxfu 在在區(qū)區(qū)域域 D 內內具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，則則對對于于每每一一點點DzyxP ),(，都都可可定定出出一一個個向向量量kzfjyfixf ， 這這向向量量稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(zyxfu 在在點點),(zyxP的的梯梯度度，記記為為 ),(zyxgradfkzfjyfixf grad是是gradient梯度的縮寫梯度的縮寫222d zuyuxuugra梯梯度度的的模模為為： ugrad kzujyuixu 222d zuyuxuugra最大的方向導

12、數(shù)值是：最大的方向導數(shù)值是： 0 ,d ),(yfxfjyfixfzgraxoyxoyyxfz平平面面上上向向量量：的的區(qū)區(qū)域域，其其梯梯度度是是平平面面上上定定義義域域是是對對于于二二元元函函數(shù)數(shù) ),(yxgradfjyfixf 定定義義 設設函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在平平面面區(qū)區(qū)域域 D 內內具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，則則對對于于每每一一點點DyxP ),(，都都可可定定出出一一個個向向量量jyfixf ，這這向向量量稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(yxP的的梯梯度度，記記為為 ),(yxgradfjyfixf .對于二元函數(shù)對于二元函數(shù)),(yxfz 梯度的

13、性質：梯度的性質：gradfjlgradflflPr0 lfgradfllmax同向時，同向時，與與;gradf lfgradfllmin反反向向時時，與與.gradf (1) (1) 梯度的方向是函數(shù)增長最快的方向梯度的方向是函數(shù)增長最快的方向. . 0 lfgradfl時時，結論結論 三三元元函函數(shù)數(shù)),(zyxfu 在在空空間間區(qū)區(qū)域域 G 內內具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，則則對對于于每每一一點點GzyxP ),(，都都可可定定義義一一個個向向量量(梯梯度度) 此梯度也是一個向量，其方向與獲得最大方導此梯度也是一個向量，其方向與獲得最大方導游數(shù)的方向一致，其模為方導游數(shù)的最大值

14、游數(shù)的方向一致，其模為方導游數(shù)的最大值. zuyuxukzujyuixuugra,d：即即的的法法線線向向量量等等值值面面)0),(),( CzyxfCzyxf的的意意義義梯梯度度與與等等值值面面、等等值值線線 3 . 7 . 8 zuyuxuFFFnzyx,222zyxu zyxkzj yi xnkzj yi xugra2 ,2 ,2222,222d czyxf ),(),(zyxfu 222zyxu 例如：例如： 函數(shù)函數(shù)gradu如下圖如下圖.gradu梯梯度度方方向向為為向向徑徑方方向向2,2,2zyxgradu , , , , 4222322222221222czyxczyxczyx

15、czyx 等量面為：等量面為：),(yxfz 在幾何上在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面oyx2),(cyxf1),(cyxfcyxf ),(等高線等高線),(yxgradfP 梯度與等高線的關系：梯度與等高線的關系： 梯度的方向與過點梯度的方向與過點P的等高線上的法向量的一的等高線上的法向量的一個方向一樣，且指向等高線個方向一樣，且指向等高線(函數(shù)值函數(shù)值)添加的方向添加的方向.又由于沿梯度方向又由于沿梯度方向的方導游數(shù)的方導游數(shù))(21ccc ：等高線等高線平面內的等值線平面內的等值線，它在，它在二元函數(shù)二元函數(shù))( ),( xoyyxfz 為為常常數(shù)數(shù)kkyxfyx,),(),( 面面的

16、的交交線線：軸軸的的柱柱面面與與可可看看做做平平行行于于xoyz ; 0;),(zkyxf處處的的法法線線向向量量為為：在在等等值值線線上上的的點點)0 ,(yxP 0 ,0 ,yxyxffff 或或0 gradflf等高線的畫法等高線的畫法播放播放gradfgradf0 gradflf fgradf方向方向沿沿圖形及其等高線圖形圖形及其等高線圖形函數(shù)函數(shù)xyzsin 例如例如,例例 4 4 求求函函數(shù)數(shù) yxzyxu2332222 在在點點 )2 , 1 , 1 (處處的的梯梯度度，并并問問在在 哪哪些些點點處處梯梯度度為為零零？解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyx

17、gradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(dkjiugra 在在)0 ,21,23(0 P處處梯梯度度為為 .0值值是是多多少少？）處處的的方方向向導導數(shù)數(shù)的的最最大大，在在點點（211.1731225)2 , 1 , 1(d211222 ugra值是值是）處的方向導數(shù)的最大）處的方向導數(shù)的最大，在點（在點（的的變變化化率率是是多多少少？大大？最最大大沿沿哪哪個個方方向向的的變變化化率率最最在在點點梯梯度度，函函數(shù)數(shù)處處的的求求函函數(shù)數(shù)在在點點例例：設設函函數(shù)數(shù)PfPxeyxfzy )0 , 2(,),( .521)0 , 2(d,20 , 2 ,

18、 1)0 , 2(d,0 ,d,22 fgrajifgraxeefgraxeyfexfyyyy解：解：.52 的的變變化化率率是是的的變變化化率率最最大大，最最大大沿沿方方向向函函數(shù)數(shù)jif 1、方導游數(shù)的概念、方導游數(shù)的概念2、梯度的概念、梯度的概念3、方導游數(shù)與梯度的關系、方導游數(shù)與梯度的關系留意方導游數(shù)與普通所說偏導數(shù)的區(qū)別留意方導游數(shù)與普通所說偏導數(shù)的區(qū)別留意梯度是一個向量留意梯度是一個向量小小 結結.),(最最快快的的方方向向在在這這點點增增長長梯梯度度的的方方向向就就是是函函數(shù)數(shù)yxfxfxfxzx )0 , 0()0 ,(lim0)0,0(.|lim0 xxx 同同理理：)0,0

19、(yz yyy |lim0故兩個故兩個偏導數(shù)均不存在偏導數(shù)均不存在. 思索題解答思索題解答討論函數(shù)討論函數(shù)22),(yxyxfz 在在)0 , 0(點處的偏導數(shù)是否存在？方向導數(shù)是否存在？點處的偏導數(shù)是否存在？方向導數(shù)是否存在？思索題思索題沿沿任任意意方方向向 l 的的方方向向導導數(shù)數(shù), )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx 故故沿沿任任意意方方向向的的方方向向導導數(shù)數(shù)均均存存在在且且相相等等. 練練 習習 題題一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù)22yxz 在點在點)2 , 1(處沿從點處沿從點)2 , 1(到點到點 )32 , 2( 的方向的方向導數(shù)為的方向的方向導數(shù)為_._.2 2、 設設xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 則則 )0 , 0 , 0(gradf_._.3 3、 已知場