(完整)空間向量__新高中數(shù)學(xué)教學(xué)教學(xué)教案

1、歡迎閱讀空間向量考綱導(dǎo)讀1 .理解空間向量的概念；掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘.2 . 了解空間向量的基本定理；理解空間向量坐標(biāo)的概念；掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.3 .掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)；掌握用直角坐標(biāo)計算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點間的距離公式.1高考導(dǎo)航理解空間向量的夾角 的概念；掌握 空間向量的數(shù) 量積的概念、 性質(zhì)和運(yùn)算 律；了解空間向量的數(shù)量積的幾何意義；掌握空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)形式；能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線與垂直第1課時空間向量及其運(yùn)算基礎(chǔ)過關(guān)空間向量是平面向量的推廣.在空間，任意兩個向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為平面向量.因此，空間向量的 加減、數(shù)乘向量運(yùn)

2、算也是平面向量對應(yīng)運(yùn)算的推廣.本節(jié)知識點是：1.空間向量的概念，空間向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算和數(shù)量積；(1)向量：具有和的量.2.線性運(yùn)算律(2)向量相等：方向且長度1 1 .(1)加法交換律： a+ b=(3)向量加法法則：1(2)加法結(jié)合律：(a+b)+c=(4)向量減法法則：.(3)數(shù)乘分配律：(a+b)=(5) 數(shù)乘向量法則： .3 .共線向量共線向量：，表示空間向量的有向線段所在的直線互相 或(2)共線向量定理：對空間任意兩個向量a、b(b 0), a/b等價于存在實數(shù)，使.(3)直線的向量參數(shù)方程：設(shè)直線 l過定點A且平行于非零向量 a,則對于空間中任意一點 。，點P在l上等價于

3、 存在t R ,使.4 .共面向量(1)共面向量：平行于 的向量.(2)共面向量定理：兩個向量a、b不共線，則向量 P與向量a、b共面的充要條件是存在實數(shù)對(x,y),使P.共面向量定理的推論： .5.空間向量基本定理(1)空間向量的基底： 的三個向量.(2)空間向量基本定理：如果 a, b, c三個向量不共面，那么對空間中任意一個向量p,存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z,使.空間向量基本定理的推論：設(shè)O, A, B, C是不共面的的四點，則對空間中任意一點巳 都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組 x, y, z ,使.6.空間向量的數(shù)量積(1)空間向量的夾角：.(2)空間向量的長度或模： .a、b,貝U

4、 a b =.(4)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：(a)交換律a b =;(b)分配律 a(b+c) =(3)空間向量的數(shù)量積：已知空間中任意兩個向量空間向量的數(shù)量積的常用結(jié)論：(a) cosa、b> =;(b) a 2=；(c) a b例貝型廚.正體ABCAA1B1C1D1中，點F是側(cè)面CDDiCi的中心，若AF AD xAB yAA ,求 xy 的值._ I解：易求得x y , x y 02變式訓(xùn)練1.在平行六面體abcd AB1clD1中，M為AC與BD的交點，若A1 B1 a,A1D1 b, A1AA. aH- -b + c B. a + b + c2222C. 1a 1b+cD.1

5、a 1b + c2222解：A例2.底面為正三角形的斜棱柱ABC- A1B1C1中，求證：ABi/平面CiBD.證明：記 AB a, AC b, AA1 c,則D為AC的中點,c,則下列向量中與 B1 M相等的向量是()1 - - 1 -AB1a c, DB AB AD a 2b, DCDCCC12bc DB DCa c AB1，.二 ABDB, DC1共面B1 平面 CiBD, AB平面 OBD.變式訓(xùn)練 2:正方體 ABCD- EFGH中，M、N分別是對角線 AC和BE上的點，且 AM = EN.求證：MN /平面FC;(2)求證：MNLAB;(3)當(dāng)MA為何值時，MN取最小值，最小值是多

6、少?解：(1)設(shè)世 MC k,則MN (k 1)BC kBF.EB AC(2) MN AB (k 1)BC AB kBF AB 0.(3)設(shè)正方體的邊長為 a,也即AM 2 AC時MN2'min例3.已知四面體 ABCD中，ABXCD, AC± BD, G、H分別是 ABC和 ACD的重心.求證：(1) AD± BC; (2) GH / BD.證明：(1) AD± BC AD BC 0,因為 AB CD AB CD 0 , AC bd aC bD 0 ,而"Ad BC Cab 前)(BD -DC) 0.所以ADXBC.2 2 -(2)設(shè) E、F各

7、為 BC和 CD 的中點.欲證 GH/ BD,只需證 GH/ EF, GH GA AH = - (EA AF )= - EF .3 3變式訓(xùn)練3:已知平行六面體 ABCDA1B1clD1,E、F、G、H分別為棱A1D1, D1c1,C1c和AB的中點.求證：E、F、G、H四點共面.解：HG HC CG = HC GC1=HC GF FC； = AiF FC； GF = 2EF GF ,所以EF,EG,EH共面，即點 E F、G、H共面.AG=GB，過E、F、G的平面與對角線 AG交于點P,求2B1C1例4.如圖，平行六面體 AG中，AE= 3EA1, AF= FD, _ 1 IAP:PC的值.

8、解：設(shè) AP mAC1AP 3m AG 4 mAE 2mAF3又 E、F、G、P 四點共面，3m m 2m 13.3一 一 一 m . AP ： PC= 3 ： 1619變式訓(xùn)練4:已知空間四邊形 OABC中，M為BC的中點，N為AC的中點，P為OA的中點，Q為OB的中點，若AB= OC,求證 pm QN -1 證明：法一：OM -(OB OC)2- 1 - PM PO OM -(AB OC)故PM法二：PM' QN = ( PQ + QM+ ) (QM+ + MN )QN1 一 一 1 , 一,=1(AB OC) -(OC BA)1 21 2=一(OC AB ) = 04歡迎閱讀歡迎

9、閱讀小結(jié)歸納1 .立體幾何中有關(guān)垂直和平行的一些命題，可通過向量運(yùn)算來證明.對于垂直，一般是利用a±b a b= 0進(jìn)行證明.對于平行，一般是利用共線向量和共面向量定理進(jìn)行證明.2 .運(yùn)用向量求解距離問題，其一般方法是找出代表相應(yīng)距離的線段所對向量，然后計算這個向量對應(yīng)的模.而 計算過程中只要運(yùn)用好加法法則，就總能利用一個一個的向量三角形，將所求向量用有模和夾角的已知向量表示出來，從而求得結(jié)果.3 .利用向量求.夾角(線線夾角、線面夾角、面面夾角)有時也很方便.其一般方法是將所求的角轉(zhuǎn)化為求兩個向量的夾角，而求兩個向量的夾角則可以利用公式cos 0= a ba|b4.異面直線間的距離

10、的向量求法：已知異面直線11、12, AB為其公垂線段，C、D分別為11、12上的任意一點，n為與AB共線的向量，則|aB i = lCD nl|n|5 .設(shè)平面a的一個法向量為3,點P是平面a外一點，且PoC a,則點P到平面a的距離是d= 1Pp n|n|第2課時空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算基礎(chǔ)過關(guān)設(shè) a (ai,a2,a3) , b (b1,b2,b3)(1) aib=(2) a =.(3) a b=(4) a " b ; a b設(shè)Aa1，山2), B區(qū),與)則 AB =, | AB | .AB的中點M的坐標(biāo)為典型例題例 1.若 a = (1,5, 1), b= (-2,3,5)(1)若

11、(ka+b)/(a 3b),求實數(shù) k 的值;(2)若(ka+b)，(a 3b),求實數(shù) k 的值;(3)若ka b取得最小值，求實數(shù) k的值.1解：(1) k - 3，/c、，106(2)k ；3k 27變式訓(xùn)練1.已知。為原點,向量uurOAuur3,0,1 ,OBuur1,1,2 ,OCuuu uur uuu uurOA, BC / OA,求 AC .uuuruuu解:設(shè) OC x, y,z ,BCi,y1,zuuur OCuuu uur OA, BC /uuurOCuuuOA0,uuur uuuBC OA3x3xz 0, 1,y 1,z 23,0,1z 0, 1 3 , 1 0, 2.

12、解此方程組,7x ,y101,z2110110uuurOC7 . 21,1, 一1010uuurACuuurOCuuuOA3711,1, °1010例2.如圖,直三棱柱 ABCAiBiCi底面ABC中,CA= CB= 1,bCA90，棱 AA1是的中點.求BM的長;(2)求 cos BA, Cb1 的值;求證：A1B C1N .解:以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系xyz .(2)依題意得 B (0, 1 , 0), M (1 ,0,BM、(1 0)2 (0 1)2 (1 0)2.3.2, M、N 分別 A1B1、A1A依題意得 A1 (1, 0, 2), B (0, 1,0), C (0

13、,0, 0), B1 (0, 1, 2).cos BA) ,CB1BA1 CB1而CB1- 3010(3)證明：依題意得 C1 (0,0, 2),一 1 1 一N(2,2,2), A1B1 1(1,1, 2),C1N(-,-,0).變式訓(xùn)練2.在四麴隹P ABCD中,底面ABCD為矩形，側(cè)棱 PAL底面ABCD, AB=用，BC= 1, PA= 2, E為PD的中點.(1)在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N,使NEX面PAC并求出N點到AB和AP的距離;EC0)、(2)求(1)中的點N到平面PAC的距離.解：(1)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)BDP,則A、B、CD、P、E的坐標(biāo)分別是A(0, 0, 0)、B(/3

14、,0,和C("W,D(0, 1, 0)、P(0, 0, 2)、E(0, 1,1),依題設(shè) N(x, 0, z),則 NE=( x,已，1 z),由于 NE，平面 PAC,NE AP 0Ne AC1x, 2,11x, -, 12z) (0,0,2) 0 z 1 0 c1cz) (,3,1,0) 0, x 2從而AB、AP的距離分別為1 ,、3 Q(2)設(shè)N到平面PAC的距離為d,則d= INANEI |NE|,31(6 刀,1)(|( 6363, 1,0) I 136 21,32.112-12-,0)I2例3.如圖，在底面是棱形的四棱錐P ABCD中，ABC 60 ,PA AC a,

15、PB PD &a ,點 E 在 PD 上，且 PE: ED(2)解:證明PA平面abcd ；求以AC為棱，EAC與DAC為面的二面角在PC上是否存在一點F,使BF /平面(1)證明略;的大小;AEC ?證明你的結(jié)論.即點N的坐標(biāo)為(*，0, 1),(3)解角坐標(biāo)系(如圖).由題設(shè)條件，相關(guān)各點的坐標(biāo)為所以AE2131(0, a, a) AC (a, a,0) , AP3 322-33 1(0Aa), PC (2a,2a,a)BP, 31、(a, -a,a),22設(shè)點F是棱PC上的點, i I "PF31PC ( a, 22a,a),其中BFBP PF3(丁(1 1),2a(1

16、),a(1)令BF1AC2AE得3a(1 21-a(1)2a(1解得BF1 -AC 20AE.亦即,F是PC的中點時,BF,AC,AE共面，又BF 平(2)易解得 30 ;以A為坐標(biāo)原點，直線 AD,AP分另IJ為y軸、z軸，過A點垂直于平面 PAD的直線為x軸，建立空間直面AEC ,所以當(dāng)F是PC的中點時，BF /平面AEC .BC= 1,BE= 3, CF= 4.ZE例4.如圖，多面體是由底面為 ABCD的長方體被截面 AEFG所截而得，其中 AB= 4, (1)求EF和點G的坐標(biāo)； (2)求GE與平面ABCD所成的角;(3)求點C到截面AEFG的距離.解：(1)由圖可知：A(1, 0,

17、0), B(1, 4, 0),E(1, 4, 3), F(0, 4,4) EF ( 1,0,1)又 AG EF ,設(shè) G(0, 0,z),則(一1, 0, z)= (-1, 0, 1)，z= 1.-.G(0, 0, 1)(2)平面ABCD的法向量DG (0,0,1).2、21arcsin 21Ge (1,4,2),設(shè)GE與平面ABCD成角為 ，則DG GE 2 , 21 cos()2 |DG | |GE |21設(shè) n0，面 AEFG, n0 = (x0, y0, z0)n。* ± AG , n。"，AE ,而 aG = ( 1 , 0, 1), AE = (0, 4, 3)

18、Xo Z0 04y0 3zo 0Xo z。c3r , )3 n。 (z。，zo,z。)yo-z。44取 zo=4,則 n0* = (4, - 3, 4) CF (0,0,4), d |CF n0| 16 41|nol 41即點C到截面AEFG的距離為 曳41.41變式訓(xùn)練4.如圖四棱錐 PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PGL平面ABCD垂足為G, G在AD上，且PG=4, AG 1GD , BGXGC, GB=GC= 2, E是 BC的中點.3(1)求異面直線 GE與PC所成的角的余弦值；(2)求點D到平面PBG的距離； PF ，一(3)若F點是棱PC上一點，且 DF± GC,求的值.FC解：(1)以G點為原點，GB： GC、GP.為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則 B(2, 0, 0), C(0, 2, 0),P(0, 0, 4),故 E(1, 1, 0),GE =(1, 1, 0), PC =(0, 2,