中考數(shù)學(xué)重難點專題講座第八講動態(tài)幾何與函數(shù)問題(含答案)(2)

1、中考數(shù)學(xué)重難點專題講座第八講動態(tài)幾何與函數(shù)問題【前言】在第三講中我們已經(jīng)研究了動態(tài)幾何問題的一般思路，但是那時候沒有對其中夾雜的函數(shù)問題展開來分析。 整體說來，代幾綜合題大 概有兩個側(cè)重，第一個是側(cè)重幾何方面，利用幾何圖形的性質(zhì)結(jié)合代 數(shù)知識來考察。而另一個則是側(cè)重代數(shù)方面，幾何性質(zhì)只是一個引入 點，更多的考察了考生的計算功夫。 但是這兩種側(cè)重也沒有很嚴(yán)格的 分野，很多題型都很類似。所以相比昨天第七講的問題，這一講將重 點放在了對函數(shù)，方程的應(yīng)用上。其中通過圖中已給幾何圖形構(gòu)建函 數(shù)是重點考察對象。不過從近年北京中考的趨勢上看，要求所構(gòu)建的 函數(shù)為很復(fù)雜的二次函數(shù)可能性略小，大多是一個較為簡單

2、的函數(shù) 式，體現(xiàn)了中考數(shù)學(xué)的考試說明當(dāng)中“減少復(fù)雜性” “增大靈活性” 的主體思想。但是這也不能放松，所以筆者也選擇了一些較有代表性 的復(fù)雜計算題僅供參考?！纠?1如圖所示，直角梯形OABC勺頂點A C分別在y軸正半軸與x軸 負(fù)半軸上.過點B、C作直線1.將直線1平移，平移后的直線1與x軸交 于點D,與y軸交于點E.(1)將直線1向右平移，設(shè)平移距離CD為t (tA0),直角梯形 OABCt直線1掃過的面積(圖中陰影部份)為s, s關(guān)于t的函數(shù)圖象 如圖所示，OM為線段，MN為拋物線的一部分，NQ為射線，且NQ 平行于x軸，N點橫坐標(biāo)為4,求梯形上底AB的長及直角梯形OABC 的面積.（2）當(dāng)

3、2<t<4時，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式.【思路分析】本題雖然不難，但是非常考驗考生對于函數(shù)圖像的 理解。很多考生看到圖二的函數(shù)圖像沒有數(shù)學(xué)感覺，反應(yīng)不上來那個M點是何含義，于是無從下手。其實 M點就表示當(dāng)平移距離為2的時 候整個陰影部分面積為8,相對的，N點表示移動距離超過4之后陰 影部分面積就不動了。腦中模擬一下就能想到陰影面積固定就是當(dāng)D移動過了 0點的時候.所以根據(jù)這么幾種情況去作答就可以了。第二 問建立函數(shù)式則需要看出當(dāng)2<t<4時，陰影部分面積就是整個梯形面 積減去ODE勺面積，于是根據(jù)這個構(gòu)造函數(shù)式即可。動態(tài)幾何連帶 函數(shù)的問題往往需要找出圖形的移動與函數(shù)的變

4、化之間的對應(yīng)關(guān)系， 然后利用對應(yīng)關(guān)系去分段求解。【解】（1）由圖（2）知，M點的坐標(biāo)是（2, 8）由此判斷：AB=2,OA=4；N點的橫坐標(biāo)是4, NQ是平行于x軸的射線，/. CO =411直角梯形 OABC 的面積為：2（AB+OCOA=a（2+4）X4 = 12.（3 分）(2)當(dāng) 2<t<4 時,陰影部分的面積=直角梯形OABC的面積- AODE的面積(基本上實際考試中碰到這種求怪異圖形面積的都要先想是不是和題中所給 特殊圖形有割補關(guān)系)1S =12 -OD OE2ODOE1,OD =4 t2OE =2(4 -t ).12/. S =12 - 2 4 -t 4t )=12

5、4t_2_S=t 8t 4.【例2】已知：在矩形AOBC中，OB = 4, OA = 3.分別以O(shè)B, OA所在直線 為x軸和y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.F是邊BC上的一個k動點(不與B, C重合)，過F點的反比例函數(shù)y = -(kA0)的圖象與AC x邊交于點E.(1)求證：4AOE與ABOF的面積相等；(2)記S = S”ef -S"cf,求當(dāng)k為何值時，S有最大值，最大值 為多少？(3)請?zhí)剿鳎菏欠翊嬖谶@樣的點F,使得將CEF沿EF對折后,C點恰好落在OB上？若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明 理由.【思路分析】本題看似幾何問題，但是實際上 AOE和AFOB這 兩

6、個直角三角形的底邊和高恰好就是 E,F點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，而這 個乘積恰好就是反比例函數(shù)的系數(shù) K。所以直接設(shè)點即可輕松證出結(jié) 果。第二問有些同學(xué)可能依然糾結(jié)這個 EOF勺面積該怎么算，事實 上從第一問的結(jié)果就可以發(fā)現(xiàn)這個矩形中的三個RT面積都是異常好求的。于是利用矩形面積減去三個小 RT面積即可，經(jīng)過一系列 化簡即可求得表達(dá)式，利用對稱軸求出最大值。第三問的思路就是假 設(shè)這個點存在，看看能不能證明出來。因為是翻折問題，翻折之后大 量相等的角和邊，所以自然去利用三角形相似去求解，于是變成一道 比較典型的幾何題目，做垂線就 OK.【解析】(1)證明：設(shè)e(l火)，F(xiàn)d, y2), zAOE與AF

7、OB的面積分別為 S1, S2,kk由題息得yLj y2= /S1，S=S2,即AOE與AFOB的面積相等.k（2）由題意知：E, F兩點坐標(biāo)分別為E-,3 l53到這樣設(shè)點也可以直接用 X去代入,麻煩一點而已）1,111Saecf =EC|_CF = 4 k I 3 k I22.3.4'1 2,S = - k k12=6,，匚1j時，S有最大值.12NxS最大值(3)解：設(shè)存在這樣的點F ,將CEF沿EF對折后,C點恰好落在OB邊上的M點，過點E作ENLOB,垂足為N .1由題意得：EN=AO=3, EM=EC=4 k, 3MF =CF =3k ,4',"ZEMN

8、+/FMB =/FMB +/MFB =90° ,二/ EMN =NMFB又：ENM = . MBF= 90、.ENM s/XMBF（將已知和所求的量放在這一對有關(guān)聯(lián)的三角形當(dāng)中）ENEM/1 .4 11k.12MBMB3 -k4I 12 J9. MB 二一4 1 _9.991 MB2 +BF2 =MF2 ,屋 J = 3.1k 443 4kBF =-214 32，存在符合條件的點F,它的坐標(biāo)為4,21 j32【例3】如圖，在直角梯形 ABC前，AD/BQ ZC= 90 , BC= 16, DC= 12, AD= 21。動點P從點D出發(fā)，沿射線DA的方向以每秒2兩個單 位長的速度運動，

9、動點 Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位 長的速度向點B運動，點巳Q分別從點D, C同時出發(fā)，當(dāng)點Q運動 到點B時，點P隨之停止運動。設(shè)運動的時間為t (秒)。(1)設(shè)BPQ勺面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)t為何值時，以B, P, Q三點為頂點的三角形是等腰三 角形？(3)是否存在時刻t,使得PQLBD若存在，求出t的值；若 不存在，請說明理由。【思路分析】本題是一道和一元二次方程結(jié)合較為緊密的代幾 綜合題，大量時間都在計算上。第三講的時候我們已經(jīng)探討過解決動 點問題的思路就是看運動過程中哪些量發(fā)生了變化，哪些量沒有變 化。對于該題來說，當(dāng)P,Q運動時， BPQ勺高的長度始

10、終不變，即 為CD長，所以只需關(guān)注變化的底邊 BQ即可，于是列出函數(shù)式。第二 問則要分類討論，牢牢把握住高不變這個條件，通過勾股定理建立方 程去求解。第三問很多同學(xué)畫出圖形以后就不知如何下手， 此時不要 忘記這個題目中貫穿始終的不動量一高， 過Q做出垂線以后就發(fā)現(xiàn)利 用角度互余關(guān)系就可以證明 PEQff口ABC混相似的，于是建立兩個 直角三角形直角邊的比例關(guān)系，而這之中只有PE是未知的，于是得解。這道題放在這里是想讓各位體會一下那個不動量高的作用，每一小問都和它休戚相關(guān)，利用這個不變的高區(qū)建立函數(shù)，建立方程組 乃至比例關(guān)系才能拿到全分?！窘馕觥拷猓海?）如圖1,過點P作PMLBC垂足為M則四邊

11、形PDCM 為矩形。/. PM= DC= 12_1”VQB= 16 t, .$= 3X12x(16 t) =96 t（2）由圖可知：CM= PD= 2t , CQ= t 。熱以 B、P、Q三點為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況。PQ2= BQ2由 BP2= BQ2 得:若 PQ= BQ 在 RtAPMCfr, PQ2=t2+122,由得 t2+122=(16-1)2,解得 t =g；若 BP= BQ在 RtAPMEJ, BP2 =(162t)2 十 122。(16 -2t)2 +122 =(16-t)2 即 3t2 32t +144 =0 。由于 = 704V 0 3t2-32t+14

12、4 =0無解，PB- BQ 若 PB= PQ 由 PB2= PQ2 得 t2 122 =（16-2t）2 122整理，得3t2 -64t+256 =0。解得t1=16, t2=16 （舍）（想想看為什 3么要舍？函數(shù)自變量的取值范圍是多少？）綜合上面的討論可知：當(dāng)t =:秒或t=16秒時，以B、P、Q三點為 23頂點的三角形是等腰三角形。(3)設(shè)存在時刻t,使得POL BD如圖2,過點Q作QUADS垂足為 E。由 RtABDlCRtAQPE得號遇即;。仁。解得t所以，當(dāng)t = 9秒時，POL BD)【例4】在 RtzABC中，/C=90° , AC = 3, AB = 5 .點 P從

13、點 C出發(fā)沿CA以每秒1個單位長的速度向點A勻速運動，到達(dá)點A后立刻以原 來的速度沿AC返回；點Q從點A出發(fā)沿AB以每秒1個單位長的速度 向點B勻速運動.伴隨著P、Q的運動，DE保持垂直平分PQ 1|交 PQT點D,交折線QB-BC-CPF點E.點P、Q同時出發(fā)，當(dāng)5/Q到達(dá) 點B時停止運動，點P也隨之停止.設(shè)點P、Q運動的時必 t，t “2X_J(1)當(dāng)1 = 2時，AP =，點Q到ACA距離是*P C(2)在點P從C向A運動的過程中，求 APQ勺面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；(不必寫出t的取值范圍)(3)在點E從B向C運動的過程中，四邊形 QBED否成為直角梯形？若能，求t的值.若不能，請說明理

14、由；(4)當(dāng)DE經(jīng)過點C?寸，請直接寫出t的值.【思路分析】依然是一道放在幾何圖形當(dāng)中的函數(shù)題。但是本題略有不同的是動點有一個折返的動作，所以加大了思考的難度，但是 這個條件基本不影響做題，不需要太專注于其上。首先應(yīng)當(dāng)注意到的是在運動過程中DE保持垂直平分PQ這一條件，然后判斷t可能的范圍.因為給出了 AC和CB的長度，據(jù)此估計出運動可能呈現(xiàn)的狀態(tài).第一問簡單不用多說，第二問做出垂線利用三角形內(nèi)的比例關(guān)系做出函數(shù).第三問尤其注意直角梯形在本題中有兩種呈現(xiàn)方式.DE/QB和PQ/BC都要分情況討論.最后一問則可以直接利用勾股定理或者AQ,BQ勺等量關(guān)系去求解解：(1) 1 , 8 ；5(2)彳乍

15、Q口AC于點F,如圖3,由 AAQQ A ABC bc=J5P=4,得叫人.QFt 455.八 14-S=2(3f 5t，即 S=2 +6t. 55(3)能.當(dāng)DE/QB時，如圖4.DELPQ .PQLQB 四邊形此時/ AQP=90 .由 AAPQa AAB(C 彳# AQAC即%解得t=9. 358如圖5,當(dāng)PQI BC時，此時/APQ =90 .AQ APAB AC '由AAQPaAAB(C得即合3fl.解得t=?538/八 545(4) t =2 或t =-.【注：點P由C向A運動，DE經(jīng)過點C.方法一、連接QC彳QGLBC于點G,如圖6.PC =t,QC2 =QG2 CG2

16、=3(5_t)2 4 -(5 -t)2 55由 PC2=QC2 得 t2 43(5_t)2 +4 _4(5_t)2 解得 t=5. 552方法二、由CQ=CP=AQ,得/QAC=/QCA,進(jìn)而可得55NB =/BCQ 得 CQ =BQ/. AQ =BQ =5 /. t=-2 2 ,點P由A向C運動，DE經(jīng)過點C,如圖7. A2324245(f +(5一切 +4一5(5一切，t 【例5】如圖，在 RtABC 中，/A = 90, AB = 6, AC=8, D, E 分別是邊 AB, AC的中點，點P從點D出發(fā)沿DE方向運動，過點P作PQBC于 Q ,過點Q作QR / BA交AC于R,當(dāng)點Q與點

17、C重合時，點P停止運動.設(shè)BQ = X, QR = y.(1)求點D到BC的距離DH的長；(2)求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量的取值范圍)；(3)是否存在點P,使APR為等腰三角形？若存在，請求出所 有滿足要求的x的值；若不存在，啾明理由.【思路分析】本題也是一明4汽溫弋:一問其實就是重要 暗示，算DH的長度實際上崛(小戲PQ的長,C在構(gòu)建等腰三角形中H Q發(fā)揮重要作用。算DH的方法很多，不用累述。第二問列函數(shù)式，最 重要的是找到y(tǒng)(QR)和x(BQ)要通過哪些量練聯(lián)系在一起.我們發(fā)現(xiàn) RCff口 Q所在的 QRCF口 BA奧相似的，于是建立起比例關(guān)系得出結(jié)果.第三問依然是要分類討論

18、，但凡看到構(gòu)成特殊圖形的情況都要去 討論一下.不同類之間的解法也有所不同，需要注意一下.解：(1) ,:點D為AB中點,1，BD =AB=3 .2；'/DHB =NA=90，,B =/B；/A = Rt/, AB =6, AC =8,.BC = 10.BHD s/Xbac ,3 c 128 二10DH BDAC BC '：QR/AB,QRC =NA = 90，.,-.RQCA ABCRQ QC 二-. AB BC 'y 10 -x6 - 10 '即y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：y = -x + 6.5(3)存在，分三種情況:當(dāng)PQ = PR時，過點P作PM _LQR于

19、M ,；/1 +/2 =90、cos/1 =cosC =810QMQP13-x 62512518 x ;5當(dāng)PQ = RQ時,3 c 12-x 6 二一當(dāng)PR=QR時，則R為PQ中垂線上的點,于是點R為EC的中點,八 1八 1 八. CR = CE = AC =224.7 tanC =QRCRBACA15.二 x = .2綜上所述，當(dāng)x為18或6或15時, 52 PQR為等腰三角形.【總結(jié)】通過以上的例題，大家心里大概都有了底。整體來說這類函數(shù)型動態(tài)幾何題是偏難的，不光對幾何圖形的分析有一定要求，而且還很考驗考生的方程、函數(shù)的計算能力。解決這類問題需要注意 這么幾個點：首先和純動態(tài)幾何題一樣，

20、始終把握在變化中不動的量 將函數(shù)的變量放在同一組關(guān)系中建立聯(lián)系，尤其是找出題中是否有可 以將這些條件聯(lián)系起來的相似三角形組來構(gòu)造比例關(guān)系。 其次要注意 特殊圖形如等腰三角形，直角梯形等的分類討論。第三要注意函數(shù)自 變量的取值范圍，合理篩選出可能的情況。最后就是在計算環(huán)節(jié)認(rèn)真 細(xì)心，做好每一步。第二部分發(fā)散思考【思考11如圖所示，菱形ABCD的邊長為6厘米，NB=60。.從初始時刻開始，點P、Q同時從A點出發(fā)，點P以1厘米/秒的速度沿At Ct B的 方向運動，點Q以2厘米/秒的速度沿At Bt Ct D的方向運動，當(dāng) 點Q運動到D點時，P、Q兩點同時停止運動，設(shè)P、Q運動的時間 為x秒時，4A

21、PQ與4ABC重疊部分的面積為y平方厘米（這里規(guī)定： 點和線段是面積為O的三角形），解答下列問題：(1)點P、Q從出發(fā)到相遇所用時間是秒；(2)點P、Q從開始運動到停止的過程中，當(dāng)APQ是等邊三角形時x的值是秒；A Q(3)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.【思路分析】此題一二問不用多說，第三問是比較少見的分段函數(shù)。需要將x運動分成三個階段，第一個階段是0WXW 3,到3時剛好Q到B.第二階段是3<X< 6, Q從B返回來.第三階段則是再折回去.根據(jù)各個分段運動過程中圖形性質(zhì)的不同分別列出函數(shù)式即可.【思考2】已知直角坐標(biāo)系中菱形 ABCD勺位置如圖，C, D兩點的坐標(biāo)分別 為(4,0)

22、, (0,3).現(xiàn)有兩動點P,Q分別從A,C同時出發(fā)，點P沿線段 AD向終點D運動，點Q沿折線CB響終點A運動，設(shè)運動時間為t 秒.(1)填空：菱形ABCDW邊長是、面積是 、高BE的長是 ；(2)探究下列問題：若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位. 當(dāng)點Q在線段BA上時，求 APQ勺面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，以 及S的最大值；若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度變?yōu)槊棵雓個單位， 在運動過程中，任何時刻都有相應(yīng)的k值，使得4APQ沿它的一邊翻 折，翻折前后兩個三角形組成的四邊形為菱形.請?zhí)骄慨?dāng)t=4秒時的 情形，并求出k的值.【思路分析】依然是面積和時間的函數(shù)關(guān)系，依然是先

23、做垂線， 然后利用三角形的比例關(guān)系去列函數(shù)式。 注意這里這個函數(shù)式的自變 量取值范圍是要去求的，然后在范圍中去求得S的最大值。最后一問 翻折后若要構(gòu)成菱形，則需三角形APQ等腰三角形即可，于是繼續(xù) 分情況去討論就行了?！舅伎?】已知：等邊三角形ABC的邊長為4厘米，長為1厘米的線段MN在 ABC的邊AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B點運動(運動開始 時，點M與點A重合，點N到達(dá)點B時運動終止)，過點M、N分別 作AB邊的垂線，與ABC的其它邊交于P、Q兩點，線段MN運動的時 間為t秒.(1)線段MN在運動的過程中，t為何值時，四邊形MNQP恰為 矩形？并求出該矩形的面積；(2)線段MN在運

24、動的過程中，四邊形 MNQP的面積為S,運動 的時間為t.求四邊形MNQP的面積S隨運動時間t變化的函數(shù)關(guān)系式， 并寫出自變量t的取值范圍.【思路分析】第一問就Q京運玉I特殊圖形那一瞬間的靜止?fàn)?態(tài)，當(dāng)成正常的幾何題去，。因為要成%產(chǎn)形只有一種情況就是 PM=QN所以此時MN1攵%角番的高線垂序平分，不難。第二問也 是較為明顯的分段函數(shù)問題。首先是 N過AB中點之前，其次是N過中點之后同時M沒有過中點，最后是M,N都過了中點，按照這三種情況去分解題目討論。需要注意的就是四邊形始終是個梯形，且高 MN 是不變的，所以PMf口 QN的長度就成為了求面積S中變化的部分。這一類題目計算繁瑣，思路多樣，

25、所以希望大家仔細(xì)琢磨這8個經(jīng)典題型就可以了，中考中總逃不出這些題型的。只要研究透了，面 對它們的時候思路上來的就快，做題自然不在話下了。第三部分 思考題解析【思考1解析】解：(1) 6.8.Q3當(dāng)3< x、6時,當(dāng)6< x<92 xQ1Dy - SA APIA3 x2(3)當(dāng)0& x<3時，(解法一)過Q3作Q3E / CB,則4CQ3E為等邊三角形.1311.3_(x-6> 6M 父_ (2x12)(x6)父.222 32(解法二)如右圖，過點O作0F,Cp3于點F, 0G 3Q3,于點G,過點P3作P3 H，DC交DC延長線于點H .S*A CQP3

26、- 2 S*A COQ31 一內(nèi)匕ACP3 二一 CP3 AC sin602【思考2解析】Q3 G H CO - P3解：(1) 5 , 24,(2)由題意，得24TAP=t, AQ=10-2t. A又 CP3 =x 6g, =2x12 =2(x6),AAQEJ ABE,：QG QABE BA'48 48tG=5124 2 24 , 5, 一S=AP QG=t2+ t( - <t <5).2255 ' 2S = -寮-5)2+6( 5 w t w 5).(這個自變量的范圍很重要) 2522>5 - 一 -當(dāng)t=5時,S最大值為6. 要使AAPQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，只需 APQ a為等腰三角形即可.當(dāng)t=4秒時，點P的速度為每秒1個單位， AP=4.以下分兩種