相似三角形模型分析大全(精)

1、第一部分相似三角形知識要點大全知識點1.相似圖形的含義把形狀相同的圖形叫做相似圖形。(即對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊的比也相等的圖形)解讀：(1)兩個圖形相似，其中一個圖形可以看做由另一個圖形放大或縮小得到.(2)全等形可以看成是一種特殊的相似，印不僅形狀相同，大小也相同.(3)判斷兩個圖形是否相似，就是看這兩個圖形是不是形狀相同，與其他因素?zé)o關(guān).例1.放大鏡中的正方形與原正方形具有怎樣的關(guān)系呢分析：要注意鏡中的正方形與原正方形的形狀沒有改變.解：是相似圖形。因為它們的形狀相同，大小不一定相同.例2.下列各組圖形：兩個平行四邊形：兩個圓：兩個矩形：有一個內(nèi)角80°的兩個等腰三角 形：兩個正五邊

2、形：有一個內(nèi)角是100°的兩個等腰三角形，其中一定是相似圖形的是(填 序號).解析：根據(jù)相似圖形的定義知，相似圖形的形狀相同，但大小不一定相同，而平行四邊形、矩形、等腰三 角形都屬于形狀不唯一的圖形，而圓、正多邊形、頂角為100°的等腰三角形的形狀不唯一，它們都相似.答 案：.知識點2.比例線段對于四條線段a,b,c,d ,如果其中兩條線段的長度的比與另兩條線段的長度的比相等，即色=£ (或 b da:b=c:d)那么這四條線段叫做成比例線段，簡稱比例線段.解讀：(1)四條線段a,b,c,d成比例，記作色=£ (或a:b=c:d),不能寫成其他形式，即比

3、例線段 b d有順序性.(2)在比例式， = £ (或a:b二c:d)中，比例的項為a, b, c, d,其中a, d為比例外項，b,c為比例內(nèi)項，d b d是第四比例項.(3)如果比例內(nèi)項是相同的線段，即或a:b=b:c,那么線段b叫做線段和的比例中項。 h c(4)通常四條線段a,b,c,d的單位應(yīng)一致，但有時為了計算方便，a和b統(tǒng)一為一個單位，c和d統(tǒng)一為另 一個單位也可以，因為整體表示兩個比相等.例3.已知線段a=2cm, b二6mm,求.b分析：求人即求與長度的比，與的單位不同，先統(tǒng)一單位，再求比. b3例4.已知a, b, c, d成比例，且a=6cm, b=3dm, d

4、= dm,求c的長度.2分析：由a, b,c, d成比例，寫出比例式a:b=c:d,再把所給各線段a, b, d統(tǒng)一單位后代入求c. 知識點3.相似多邊形的性質(zhì)相似多邊形的性質(zhì)：相似多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等.解讀：(1)正確理解相似多邊形的定義，明確“對應(yīng)”關(guān)系.(2)明確相似多邊形的“對應(yīng)”來自于書寫，且要明確相似比具有順序性.例5.若四邊形ABCD的四邊長分別是4, 6, 8, 10,與四邊形ABCD相似的四邊形ABC仙的最大邊長為 30,則四邊形ABCD的最小邊長是多少分析：四邊形ABCD與四邊形ABCD相似，且它們的相似比為對應(yīng)的最大邊長的比，即為!，再根據(jù)相似 3多邊形對應(yīng)

5、邊成比例的性質(zhì)，利用方程思想求出最小邊的長.知識點4.相似三角形的概念對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊之比相等的三角形叫做相似三角形.解讀：(1)相似三角形是相似多邊形中的一種；(2)應(yīng)結(jié)合相似多邊形的性質(zhì)來理解相似三角形；(3)相似三角形應(yīng)滿足形狀一樣，但大小可以不同：(4)相似用“s”表示，讀作“相似于”；(5)相似三角形的對應(yīng)邊之比叫做相似比.注意：相似比是有順序的,比如ABCs/ABG,相似比為k,若ABCsAABC,則相似比為若兩個三角形的相似比為1,則這兩個三角形全等，全等三 k角形是相似三角形的特殊情況。若兩個三角形全等，則這兩個三角形相似；若兩個三角形相似，則這兩個三角形不一定全等.例6.如

6、圖，已知ADEs/iABC, DE=2, BC=4,則和的相似比是多少點D, E分 別是AB, AC的中點嗎注意：解決此類問題應(yīng)注意兩方面：(1)相似比的順序性，(2)圖形的識別., 一DE AD AE -DE 2 T解：因為ADEsaABC,所以=,因為=一=一， BC AB AC BC 4 2 An at i所以=_,所以D, E分另“是AB. AC的中點.AB AC 2知識點5.相似三角的判定方法(1) 定義：對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似：(2) 平行于三角形一邊的直線極其他兩邊(或其他兩邊的延長線)所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.(3) 如果一個三角形的兩個角分別與另一個三角

7、形的兩個角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形相似.(4) 如果一個三角的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形 相似.(5) 如果一個三角形的三條邊分別與另一個三角形的三條邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似.(6) 直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形與原三角形都相似.例7.如圖，點D在AABC的邊AB上，滿足怎樣的條件時，4ACD與AABC相似試分別加以列舉.分析：此題屬于探索性問題，由相似三角形的判別方法可知，4ACD與aABC已有公共角NA,要使此 兩個三角形相似，可根據(jù)相似三角形的判別方法尋找一個條件即可.解：當(dāng)滿足以下三個條件之一時，ACDs/jBCAn

8、 ac條件一： =一- Z1 = ZB;條件二：Z2=ZACB;條件三：，即ACJADAB.AC AB知識點&相似三角形的性質(zhì)(1) 對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等：(2) 對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比:(3) 相似三角形周長之比等于相似比；面積之比等于相似比的平方.例 8.如圖，已知ADEs/XABC, AD=8, BD=4, BC=15, EC=7(1) 求DE、AE的長；(2) 你還能發(fā)現(xiàn)哪些線段成比例.分析：此題重點考查由兩個三角形相似，可得到對應(yīng)邊成例，即. = BC AB AC例9.已知ABCsaABC-二二， ZXABC的周長為20cm,面積為40c

9、m 344求（1） ABG的周長；（2） ZkABCi的面積.分析：根據(jù)相似三角形周長之比等于相似比：面積之比等于相似比的平方求解.易求出ABG的周長為30cm; ABG的面積90cm之第二部分一、相似三角形判定的基本模型認識（-）A字型、反A字型（斜A字型）e （平行）（二）8字型、反8字型:*（平行）相似三角形模型分析大全/AM c（不平行）A上（蝴蝶型）（不平行）（三）母子型（四）一線三等角型:（六）雙垂型:A二、相似三角形判定的變化模型bI + = a b c 8字型拓展共享性.了一線三等角的變形一線三直角的變形第三部分相似三角形典型例題講解母子型相似三角形例1:如困，梯形48CD中，

10、AD/BC,對角線47、劭交于點0,然勿交以延長線于£求證：oc2=oaoe.例2：已知：如圖，中，點£在中線4?上，ZDEB=ZABC.求證：(1) DB? =DEDA； (2) ZDCE = ZDAC.例 3:已知：如圖，等腰48。中，AB=AC. AD1BC 于CG/AB, 8G 分別交 4?、AC 于 E、F.求證：BE? =EFEG.相關(guān)練習(xí)：1、如圖，已知力。為的角平分線，用為力。的垂直平分線.求證：fd2=fbfc.2、已知：AD是RtZABC中NA的平分線，ZC=90° , EF是AD的垂直平分線交AD于M, EF、BC的延長線 交于一點No求證：

11、（1）ZiAMEsNMD; ND?=NC NB3、已知：如圖，在aABC 中，ZACB=90° , CD_LAB 于 D, E 是 AC 上一點，CF_LBE 于 F。 求證：EB DF=AE DB5. 已知：如圖，在RtZV18C中，NU90° , 832, AC=49 P是斜邊彳8上的一個動點，PD1AB,交邊47于點。(點。與點4 C都不重合)，£是射線外上一點，且N分次N4設(shè)4P兩點的距離為x, 4BEP的面枳為y.(1)求證：A42PE;(2)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3)當(dāng)8£P與48C相似時，求ABEP的面枳.雙垂型(第2

12、5題圖)1、如圖，在AABC中，ZA=60° , BD、CE分別是AC、AB上的高 求證：(1) AABDAACE： (2) AADEAABC： (3)BC=2EDD2、如圖，已知銳角ABC, AD、CE分另“是BC、AB邊上的高，ZkABC和4BDE的面積分別是27和3, DE=6'E, 求：點B到直線AC的距離。A共享型相似三角形1、ZkABC是等邊三角形，D、B、C、E在一條直線上，NDAE=120°,已知BD=1, CE=3,求等邊三角形的邊 長.A2、已知：如圖，在RtZ?18C中，AAC, N以后45° .求證：(1) AABEsACD;(2)

13、 BC? = 2BE CD .一線三等角型相似三角形例1:如圖，等邊中，邊長為6,。是8c上動點，Z£P/60°(1)求證：ABDEsXCFD(2)當(dāng)B歸,FU3時，求BE例2： （1）在A48C中，AB = AC = 59 BC = 8,點、P、。分別在射線C8、AC上（點尸不與點C、 點8重合），且保持NAPQ=NABC.若點尸在線段C8上（如圖），且8尸=6,求線段C0的長；若BP = x, CQ = y9求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（2）正方形A8C。的邊長為5 （如下圖），點尸、。分別在直線C8、0c上（點尸不與點C、點8重 例3：已知在梯形力及

14、力中，AD"BC, AD<BC,且47=5, AB=DC=2.（1）如圖8, P為4?上的一點，滿足N8怨=/4求證：求力P的長.(2)如果點。在47邊上移動(點P與點4。不重合)，且滿足n8/E=n4 PE交魚線BC于懸E, 同時交直線，C于點。,那么當(dāng)點0在線段0C的延長線上時，設(shè)4P=x, CO=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定 義戰(zhàn)：當(dāng)CE=1時，寫出/4P的長.例4：如圖，在梯形A8C。中，AD BC , AB = CD = BC = 6, AD = 3 .點M為邊BC的中點,以 M為頂點作NEM/= N8,射線ME交腰A8于點E,射線板交腰CO于點尸，聯(lián)結(jié)

15、EF .(1)求證：AMEFsABEM :(2)若BEM是以8M為腰的等腰三角形，求族的長；(3)若EF LCD,求8E的長.相關(guān)練習(xí)：1、如圖，在48C中，AB=AC = 89 8c=10,。是8c邊上的一個動點，點E在AC邊上，且 ZADE=ZC.(1)求證：RABMXDCE：A(2)如果8O = x, AE=y9求y與x的函數(shù)解析式，并寫出自變量工的定義域； / (3)當(dāng)點。是的中點時，試說明然是什么三角形，并說明理由.2、如圖，已知在48C中，AFAO6, 8c5,。是48上一點，B2, E是宓上一動點，聯(lián)結(jié)。E,并作ZDEF = ZB,射線爐交線段4C于£(1)求證：ADB

16、Es AECF;(2)當(dāng)尸是線段47中點時，求線段州的長；(3)聯(lián)結(jié)昕 如果田7與。紀(jì)相似，求&?的長.B E C3、已知在梯形48CD中，ADBC, ADVBC,且8C =6, AADX,點E是的中點.(1)如圖，P為8c上的一點，且止2.求證：XBE/XCPD;(2)如果點P在8c邊上移動(點P與點8、C不重合)，且滿足N£PeNC,所交直線切于點£同 時交直線4?于點例那么當(dāng)點打在線段 緲的延長線上時，設(shè)gx,y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)的定義 域：9當(dāng)Smh = wS ,口時，求仍的長A DA D4、如圖，已知邊長為3的等邊AA8C,點尸在邊8c上

17、，W = 1,點石是射線8A上一動點，以線段石尸為邊向右側(cè)作等邊AEFG,直線石G,bG交直線AC于點M，N,(1)寫出圖中與兇石廠相似的三角形：(2)證明其中一對三角形相似：(3)設(shè)8E = x，MN = y,求卜與之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍;(4)若AE = 1,試求GMV的面積.一線三直角型相似三角形備用圖例1、已知矩形ABCD中，CD=2, AD=3,點P是AD上的一個動點，且和點A,D不重合，過點P作尸石，CP, 交邊AB于點E,設(shè)尸O = x,AE=y ,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍。An 2例2、在AA8C中，NC = 90°,AC=4,8C =