(完整版)三年級(jí)奧數(shù)等差數(shù)列求和習(xí)題及答案

1、計(jì)算(三)等差數(shù)列求和知識(shí)精講一、定義：一個(gè)數(shù)列的前 n項(xiàng)的和為這個(gè)數(shù)列的和。二、表達(dá)方式：常用 Sn來表示。三：求和公式：和 (首項(xiàng) 末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)2, 8n (a1 an) n 2。對(duì)于這個(gè)公式的得到可以從兩個(gè)方面入手： (思路 1)1 2 3 L 98 99 10011 4100%4(2l499 4 234 484 L 4 454 451)101 50 5050共5H101(思路2)這道題目，還可以這樣理解：和二1234L9899100+ 和 100999897L3212 倍和101101101101L101101101即，和 (100 1) 100 2 101 50 5050。四、中項(xiàng)定理

2、：對(duì)于任意一個(gè)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列，中間一項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均數(shù)，也等于首項(xiàng)與末項(xiàng)和的一半；或者換句話說，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘 以項(xiàng)數(shù)。譬如： 4 8 12 L 32 36 (4 36) 9 2 20 9 1800, 題中的等差數(shù)列有 9項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第5項(xiàng)的值是20,而和恰等于20 9； 65 63 61 L 5 3 1 (1 65) 33 2 33 33 1089, 題中的等差數(shù)列有 33項(xiàng)，中間一項(xiàng)即第17項(xiàng)的值是33,而和恰等于33 33。例題精講：例1 :求和：(1) 1+2+3+4+5+6 =(2) 1+4+7+11+13=(3) 1+4+7+11 + 13+ 85=分析：弄清楚一

3、個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)，末項(xiàng)和公差，從而先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式求項(xiàng)數(shù)，再根據(jù)求和公式求和。例如(3)式項(xiàng)數(shù)=(85-1 ) + 3+1=29和=(1+85) X 29+ 2=1247答案：(1) 21(2) 36(3) 1247例2 ：求下列各等差數(shù)列的和。(1) 1+2+3+4+-+199(2) 2+4+6+- +78(3) 3+7+11+15+-+207分析：弄清楚一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)，末項(xiàng)和公差，從而先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式求項(xiàng)數(shù)，再根據(jù)求和公式求和。例如(1)式=(1+199) X 199+2=19900答案：(1) 19900(2) 1160(3) 5355例3： 一個(gè)等差數(shù)列2, 4, 6, 8, 10, 12,

4、14,這個(gè)數(shù)列的和是多少？分析：根據(jù)中項(xiàng)定理，這個(gè)數(shù)列一共有 7項(xiàng)，各項(xiàng)的和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)，即為：8 7 56答案：56例4:求1+5+9+13+17+401該數(shù)列的和是多少。分析：這個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)是1 ,末項(xiàng)是401,項(xiàng)數(shù)是(401-1 ) +4+1=101,所以根據(jù)求和公式, 可有：和=(1+401) X 101 + 2=20301答案：20301例5:有一串自然數(shù)2、5、8、11、，問這一串自然數(shù)中前61個(gè)數(shù)的和是多少？分析：即求首項(xiàng)是 2,公差是3,項(xiàng)數(shù)是61的等差數(shù)列的和，根據(jù)末項(xiàng)公式：末項(xiàng) =2+ (61-1 ) X 3=182根據(jù)求和公式：和 =(2+182) X 61 + 2

5、=5612答案：56121個(gè)數(shù)；第二排3個(gè)數(shù)；第三排5個(gè)例6：把自然數(shù)依次排成“三角形陣"，如圖。第一排 數(shù)；求：(1)第十二排第一個(gè)數(shù)是幾？最后一個(gè)數(shù)是幾？(2) 207排在第幾排第幾個(gè)數(shù)？(3)第13排各數(shù)的和是多少？分析：整體看就是自然數(shù)列，每排的個(gè)數(shù)的規(guī)律是1,3,5 , 7.即為奇數(shù)數(shù)列若排數(shù)為n(n>2de自然數(shù))，則這排之前的數(shù)共有(n-1 ) (n-1)個(gè)。(1)第十二排共有23個(gè)數(shù)。前面共有(1+21) X 11 + 2=121個(gè)數(shù)，所以第十二排的第一個(gè)數(shù)為122,最后一個(gè)數(shù)為122+ (23-1 ) X 1=144(2)前十四排共有196個(gè)數(shù)，前十五排共有

6、225個(gè)數(shù)，所以207在第十五排，第T 五排的第一個(gè)數(shù)是 197,所以207是第(207-197=10)個(gè)數(shù)(3)前十二排共有144個(gè)數(shù)，所以第十三排的第一個(gè)數(shù)是145,而第十三排共有25 個(gè)數(shù)，所以最后一個(gè)數(shù)是145+ (25-1 ) X 1=169,所以和=(145+169) X 25+2=3925答案：(1) 122; 144(2)第十五排第10個(gè)數(shù)(3) 3925例7： 15個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和是1995,其中最大的奇數(shù)是多少？分析：由中項(xiàng)定理，中間的數(shù)即第8個(gè)數(shù)為：1995 15 133,所以這個(gè)數(shù)列最大的奇數(shù)即第15個(gè)數(shù)是：133 2 (15 8) 147。答案：147。例8：把210拆

7、成7個(gè)自然數(shù)的和，使這 7個(gè)數(shù)從小到大排成一行后，相鄰兩個(gè)數(shù)的差都是5,那么，第1個(gè)數(shù)與第6個(gè)數(shù)分別是多少？分析：由題可知：由210拆成的7個(gè)數(shù)必構(gòu)成等差數(shù)列，則中間一個(gè)數(shù)為210+7=30,所以, 這 7 個(gè)數(shù)分別是 15、20、25、30、35、40、45。即第1個(gè)數(shù)是15,第6個(gè)數(shù)是40。答案：第1個(gè)數(shù)：15;第6個(gè)數(shù)：40。例9：已知等差數(shù)列15, 19, 23,443求這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和的差是 多少？分析：公差=19-15=4項(xiàng)數(shù)=(443-15) + 4+1=108倒數(shù)第二項(xiàng)=443-4=439奇數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列為：15, 23,31439,公差為8,和為(15+439

8、) X 54-2=12258 偶數(shù)項(xiàng)組成的數(shù)列為：19, 27, 35443,公差為8,和為( 19+443) * 54 + 2=12474 差為 12474-12258=216答案：216例10：在1100這一百個(gè)自然數(shù)中，所有能被9整除的數(shù)的和是多少？分析：每9個(gè)連續(xù)數(shù)中必有一個(gè)數(shù)是9的倍數(shù)，在1100中，我們很容易知道能被 9整除的最小的數(shù)是9 9 1,最大的數(shù)是99 9 11,這些數(shù)構(gòu)成公差為 9的等差數(shù)列，這個(gè)數(shù)列一 共有：11 1 1 11項(xiàng)，所以，所求數(shù)的和是：9 18 27 L 99 (9 99) 11 2 594.也可以從找規(guī)律角度分析.答案：594例11： 一串?dāng)?shù)按下面的規(guī)

9、律排列：1、2、3、2、3、4、3、4、5、4、5、6問：從左面第一個(gè)數(shù)起，前105個(gè)數(shù)的和是多少？分析：這些數(shù)字直接看沒有什么規(guī)律，但是如果3個(gè)一組，會(huì)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)數(shù)列：6,9,12,15即求首項(xiàng)是6,公差是3,項(xiàng)數(shù)是105+3=35的和末項(xiàng)=6+3 X (35-1) =108和=(6+108 ) X 35+2=1995答案：1995例12:在下面12個(gè)方框中各填入一個(gè)數(shù)，使這12個(gè)數(shù)從左到右構(gòu)成等差數(shù)列，其中10、16已經(jīng)填好，這12個(gè)數(shù)的和為 。笙臣匿囹團(tuán)回回店的臣回國(guó)分析：由題意知：這個(gè)數(shù)列是一個(gè)等差數(shù)列， 又由題目給出的兩個(gè)數(shù) 10和16知：公差為2, 那么第一個(gè)方格填26,最后一個(gè)

10、方格是4,由等差數(shù)列求和公式知和為： (4 26) 12 2 180。答案：180。本講小結(jié)：1.一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)的和為這個(gè)數(shù)列的和，我們稱為 。2. 求和公式：和(首項(xiàng) 末項(xiàng))項(xiàng)數(shù)2 , Sn (a1 an) n 2。3. 對(duì)于任意一個(gè)奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，各項(xiàng)和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)。練習(xí)：1.求和：(1) 1+3+5+7+9=(2) 1+2+3+4+ 21 =(3) 1+3+5+7+9+ 39=分析：弄清楚一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)，末項(xiàng)和公差，從而先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式求項(xiàng)數(shù)，再根據(jù)求和公式求和。答案：(1) 25(2) 231(3) 4002 .求下列各等差數(shù)列的和。(1) 1+2+3+-+100(2) 3+6

11、+9+- +39分析：弄清楚一個(gè)數(shù)列的首項(xiàng)，末項(xiàng)和公差，從而先根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式求項(xiàng)數(shù)，再根據(jù)求和公式求和。答案：(1) 5050(2) 2733 . 一個(gè)等差數(shù)列4,8,12,16,20,24,28,32, 36這個(gè)數(shù)列的和是多少 ？分析：根據(jù)中項(xiàng)定理，這個(gè)數(shù)列一共有9項(xiàng)，各項(xiàng)的和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)數(shù)，即為：20X9=180答案：1804 .所有兩位單數(shù)的和是多少？分析：即求首項(xiàng)是 11,末項(xiàng)是99的奇數(shù)數(shù)列的和為多少。和=(11+99) X 45+2=2475答案：24755 .數(shù)列1、5、9、13、,這串?dāng)?shù)列中，前91個(gè)數(shù)和是多少？分析：首項(xiàng)是1,公差是4,項(xiàng)數(shù)是91,根據(jù)重要公式，可得：末項(xiàng)=

12、1+ (91-1 ) X 4=361和=(1+361) X 91 + 2=16471答案：164716 .如圖，把邊長(zhǎng)為1的小正方形疊成“金字塔形”圖，其中黑白相間染色。如果最底層有15個(gè)正方形，問：“金字塔”中有多少個(gè)染白色的正方形，有多少個(gè)染黑色的正方形？ 一分析：由題意可知，從上到下每層的正方形個(gè)數(shù)組成等差數(shù)列，其中 a1 1, d 2, an 15,所以 n (15 1 2 1 8 ,所以，白色方格數(shù)是：123L8(18)8 2 36黑色方格數(shù)是：123L7(1 7)72 28。答案：287 . (2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011) 2008 分析：

13、根據(jù)中項(xiàng)定理知：2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2008 7,所以原式2008 7 2008 7。答案：7。8 .把248分成8個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和，其中最大的那個(gè)數(shù)是多少？分析：公差為2的遞增等差數(shù)列。平均數(shù)：248+8=31,第 4 個(gè)數(shù)：31-1=30;首項(xiàng)：30-6=24;末項(xiàng)：24+ (8-1 ) X 2=38。即：最大的數(shù)為38。答案：389 .求從1到2000的自然數(shù)中，所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。分析：解法1:可以看出，2, 4, 6,，2000是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，1, 3, 5,， 1999也是一個(gè)公差為2的等差數(shù)列，且項(xiàng)數(shù)均為100

14、0,所以：原式=(2+2000)X 1000+ 2- (1+1999) X 1000+2=1000 解法2:注意到這兩個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相等，公差相等，且對(duì)應(yīng)項(xiàng)差1,所以1000項(xiàng)就差了 1000個(gè)1,即原式=1000 X 1=1000 答案：100010 .在1100這一百個(gè)自然數(shù)中，所有不能被9整除的數(shù)的和是多少？分析：先計(jì)算1100的自然數(shù)和，再減去能被9整除的自然數(shù)和，就是所有不能被9整除的 自 然 數(shù) 和 了1 2 L 100 (1 100) 100 2 5050,9 18 27 L 99 (9 99) 11 2 594 ,所有不能被 9整除的自然數(shù)和： 5050 594 4456.如果直接計(jì)算不能被 9整除的自然數(shù)和，是很麻煩的，所以先計(jì)算所有 1100的自然數(shù)和，再排除掉能被9整除的自然數(shù)和，這樣計(jì)算過程變得簡(jiǎn)便多了。答案：59411 .一個(gè)建筑工地旁，堆著一些鋼管(如圖)，聰明的小朋友，你能算