初二數(shù)學(xué)多邊形及其內(nèi)角和教案

1、第06講多邊形及其內(nèi)角和適用學(xué)科初中數(shù)學(xué)適用年級初中二年級適用區(qū)域蘇教版課時(shí)時(shí)長分鐘120分鐘知識(shí)點(diǎn)1. 多邊形2. 多邊形的對角線3. 多邊形的內(nèi)角和與外角和4. 平面鑲嵌密鋪教學(xué)目標(biāo)1. 了解多邊形的概念；了解多邊形的內(nèi)角和與外角和公式；2. 了解四邊形的不穩(wěn)定性；3. 會(huì)用多邊形的內(nèi)角和與外角和公式解決計(jì)算問題教學(xué)重點(diǎn)1.多邊形的內(nèi)角和公式的推導(dǎo)；2利用多邊形的內(nèi)角和公式求多邊形的邊數(shù)、角度數(shù)、外角度數(shù)等；3.多邊形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用 .教學(xué)難點(diǎn)1多邊形內(nèi)角和性質(zhì)的應(yīng)用 .2.鑲嵌問題綜合運(yùn)用多邊形內(nèi)角和等知識(shí)教學(xué)過程、復(fù)習(xí)預(yù)習(xí)M.C.埃舍爾(M. C. Escher, 18981972)

2、，荷蘭科學(xué)思維版畫大師，20世紀(jì)畫壇中獨(dú)樹一幟的藝術(shù)家。作品多以平面鑲嵌、循環(huán)等為特點(diǎn)，兼具藝術(shù)性與科學(xué) 性。1957年他寫了一篇關(guān)于鑲嵌圖形的文章，其中評論道："在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，規(guī)那么的平面分割已從理論上研究過了，難道這意味著它只是個(gè)嚴(yán)格的數(shù)學(xué)的問題嗎？按照我的意見，它不是。數(shù)學(xué)家們翻開了通向一個(gè)廣闊領(lǐng)域的大門， 但是他們自己卻從未進(jìn)入該領(lǐng)域。從他們的天性來看他們更感興趣的是翻開這扇門的方式，而不是門后面的花園。"無論這對數(shù)學(xué)家是否公平 ,有一點(diǎn)是真實(shí)的：他們指岀了在所有的常規(guī)的多邊形中，僅僅三角形，正方形，和正六邊形能被用于鑲嵌。但許多其他 不規(guī)那么多邊形平鋪后也能形成鑲嵌

3、，例如有許多鑲嵌就使用了不規(guī)那么的五角星形狀。人們發(fā)現(xiàn)，埃舍爾30年前作品中的視覺模擬和今天的虛擬三維視像與數(shù)字方法是如此相像，而他的各種圖像美學(xué)也幾乎是今天電腦圖像視覺的翻版，充滿電子時(shí)代和中世紀(jì)智性的混合氣息。因此，有人說，埃舍爾的藝術(shù)是真正超越時(shí)代，深入自我理性的現(xiàn)代藝術(shù)。也有人把他稱為三維空間圖畫的鼻祖。在他之前，從未有藝術(shù)家創(chuàng)作岀同類的作品，在他之后，迄今為止也沒有藝術(shù)家追隨他發(fā)現(xiàn)的道路。、知識(shí)講解(1) 多邊形的定義：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形.各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。(2) 多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多

4、邊形的對角線。從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)岀發(fā)，可以畫n 3條對角線，將多邊形分成 n-2個(gè)三角形.n邊形一共有條對角線。(3) 多邊形的內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和為 n 2 180o (n > 2)2 平面鑲嵌 1平面鑲嵌的定義：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一局部完全覆蓋，叫做多邊形覆蓋 平面或平面鑲嵌。2鑲嵌的條件：當(dāng)圍繞一點(diǎn)拼在一起的幾個(gè)多邊形的內(nèi)角加在一起恰好組成一個(gè)周角時(shí)，就 能拼成一個(gè)平面圖形。3能否鑲嵌成一個(gè)平面的關(guān)鍵是看：拼接在同一個(gè)頂點(diǎn)的各個(gè)角的和恰好等于360 °用于判斷幾種多邊形的拼接問題。所以說：在僅用一種正多邊形鑲嵌只有正三角形、正四邊形、正 六邊形可以鑲嵌

5、，而其他的正多邊形不可以?？键c(diǎn)/ 易錯(cuò)點(diǎn) 1注意：各個(gè)角都相等、各個(gè)邊都相等是正多邊形的必備條件，二者缺一不可。如四條邊都 相等的四邊形不一定是正方形， 四個(gè)角都相等的四邊形也不一定是正方形， 只有滿足四邊都相等 且四個(gè)角都相等的四邊形才是正方形 .考點(diǎn)/ 易錯(cuò)點(diǎn) 2內(nèi)角和公式的應(yīng)用：多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；多邊形內(nèi)角和，求其邊數(shù)。外角和定理的應(yīng)用：外角度數(shù)，求正多邊形邊數(shù)；正多邊形邊數(shù)，求外角或外角度數(shù)?？键c(diǎn)/ 易錯(cuò)點(diǎn) 3平面鑲嵌歸納：拼接在同一點(diǎn)的各個(gè)角的和等于360 °；只用正三、四、六邊形可以鑲嵌.其他正多邊形不能鑲嵌； 任意全等的三角形一定可以鑲嵌； 任意全等的四邊形一定

6、可以 鑲嵌。探究正整數(shù)解，得出不同的組合方式：利用代數(shù)式：xn + y m = 360 ° 其中n、m為正多邊形的內(nèi)角度數(shù)，x、y為正整數(shù).正三角形和正方形兩種拼法、正三角形和正六邊形兩種拼法、正三角形和正十二邊形、正四邊形和正八邊形。正五邊形和正十邊形內(nèi)角108 ° +108 ° +144 °可以構(gòu)成 360但不能進(jìn)行平面鑲嵌。二、例題精析【例題1】【題干】 以線段a=7, b=8, c=9, d=11為邊作四邊形，可作A. 個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D.無數(shù)個(gè)【答案】D.解：四條線段組成的四邊形可有無數(shù)種變化.【解析】 根據(jù)四邊形具有不穩(wěn)定性，可知四條線

7、段組成的四邊形可有無數(shù)種變化.【變式1】假設(shè)一個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，變成十五邊形，那么原多邊形的邊數(shù)可能為A.14 或 15 或 16 B.15 或 16C.14 或 16D.15 或 16 或 17【答案】A. 個(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，那么多邊形的邊數(shù)是14，15或16 .【解析】因?yàn)橐粋€(gè)多邊形截去一個(gè)角后，多邊形的邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少 了一條，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和即可解決問題.【變式2】如圖，中多邊形邊數(shù)為12是由正三角形 擴(kuò)展而來的，中多邊形是由正方形“擴(kuò)展而來的，依此類推，那么由正n邊形“擴(kuò)展而來的多邊形的邊數(shù)為【答案】正

8、三邊形擴(kuò)展而來的多邊形的邊數(shù)是12=3 X，正四邊形擴(kuò)展而來的多邊形的30=5X6,正六邊形擴(kuò)展而來的多邊數(shù)是20=4X5,正五邊形 擴(kuò)展而來的多邊形的邊數(shù)為邊形的邊數(shù)為42=6X7，a正n邊形 擴(kuò)展而來的多邊形的邊數(shù)為n n+1n邊形擴(kuò)展而來【解析】首先要正確數(shù)岀這幾個(gè)圖形的邊數(shù)，從中找到規(guī)律，進(jìn)一步推廣正的多邊形的邊數(shù)為 n n+1【例題2】【題干】如下圖，我們可以按照如下方法求一個(gè)多邊形的對角線條數(shù)33 1圖13=0條；圖2向 551圖35=5條；圖244 12) 24=2 條;6 6 14)6 6=9 條.2假設(shè)按以上方法求二十邊形的對角線條數(shù)，可列式子為為，求得該多邊形的對角線條數(shù)【

9、答案】由題意得二十邊形的對角線條數(shù)，可列式子為20 20 120=170。1-X12X (12- 1) =66.212(m【解析】熟記多邊形的邊數(shù)與對角線的條數(shù)之間的關(guān)系式是解決此類問題的關(guān)鍵.【變式1 1 2003年世界女排錦標(biāo)賽上，中國女排以11戰(zhàn)全勝獲得冠軍， 在這次錦標(biāo)賽上共有支球隊(duì)，采用單循環(huán)制即每兩個(gè)球隊(duì)打一場，那么主辦單位共安排了場比賽.【答案】12支球隊(duì)舉行單循環(huán)比賽，那么主辦單位共安排總場數(shù)為:【解析】根據(jù)多邊形對角線的計(jì)算方式可得岀，m支球隊(duì)舉行比賽，假設(shè)每個(gè)球隊(duì)與其他隊(duì)比賽1-1 場，那么兩隊(duì)之間比賽兩場，由于是單循環(huán)比賽，那么共比賽-m m- 12【變式21將六邊形 A

10、BCDEF用對角線將它剖分成互不重疊的4個(gè)三角形，那么各種不同的剖分方法種數(shù)是A. 6B. 8C. 12D. 14【答案】D.v六邊形ABCDEF有6個(gè)頂點(diǎn)，且用對角線將它剖分成互不重疊的4個(gè)三角形，圖2),這種分法有 2種，如圖3,中間是個(gè)四邊形，兩端 2個(gè)三角形，把四邊形加條對角線， 這種分法有6種，故各種不同的剖分方法有14種.【解析】要用對角線將六邊形 ABCDEF剖分成互不重疊的 4個(gè)三角形，通過同一個(gè)頂點(diǎn)作三條對角線，所以有六種作法.從一個(gè)頂點(diǎn)作兩條對角線；中間是個(gè)四邊形， 兩端2個(gè)三角形,把四邊形加條對角線.【例題3】【題干】一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為1800，截去一個(gè)角后，得到的多邊

11、形的內(nèi)角和為()A.1620 °B.1800 °C.1980 °D.以上答案都有可能【答案】D. 1800 - 180=,10/.原多邊形邊數(shù) =10+2=12個(gè)多邊形截去一個(gè)內(nèi)角后，邊數(shù)可能減1,可能不變，可能加 1，二即新多邊形的邊數(shù)可能是11，12，13，/新多邊形的內(nèi)角和可能是 1620° , 1800° , 1980° .【解析】 考查了多邊形的內(nèi)角和與外角和，注意：一個(gè)多邊形截去一個(gè)內(nèi)角后，邊數(shù)可能減1 ,D.90可能不變，可能加1 根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理求岀原多邊 形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵.【變式1】六邊形ABCDEF紙片剪

12、去一個(gè)角/ BGD后，得到B.70 °C.80/ 1 + Z 2+Z 3+Z 4+Z 5=430° ,那么/ BGD=()【答案】B. 六邊形 ABCDEF內(nèi)角和口 =180 乂( 6 - 2) =720，且/ 1 + / 2+Z 3+Z 4+Z 5=430 ,/ GBC+Z C+ Z CDG=720° - 430° =290° /-Z G=360° -(Z GBC+ Z C+Z CDG) =70°.【解析】 此題考查了多邊形的內(nèi)角和公式此題難度不大，注意掌握整體思想的應(yīng)用.【變式2】實(shí)踐與探索: 過四邊形一邊上點(diǎn) P與另外

13、兩個(gè)頂點(diǎn)連線可以把四邊形分成 個(gè)三角形; 過五邊形一邊上點(diǎn)P與另外三個(gè)頂點(diǎn)連線可以把五邊形分成個(gè)三角形； 經(jīng)過上面的探究，你可以歸納岀過n邊形一邊上點(diǎn)P與另外個(gè)頂點(diǎn)連線可以把 n邊形分成個(gè)三 角形用含n的代數(shù)式表示 你能否根據(jù)這樣劃分多邊形的方法來寫岀n邊形的內(nèi)角和公式？請說明你的理由.【答案】 過四邊形一邊上點(diǎn) P與另外兩個(gè)頂點(diǎn)連線可以把四邊形分成4 - 1=3個(gè)三角形； 過五邊形一邊上點(diǎn) P與另外三個(gè)頂點(diǎn)連線可以把五邊形分成5 - 1=4個(gè)三角形； 經(jīng)過上面的探究，你可以歸納岀過n邊形一邊上點(diǎn) P與另外n - 2個(gè)頂點(diǎn)連線可以把n邊形分成 n-2個(gè)三角形用含 n的代數(shù)式表示在 n邊形的任意

14、一邊上任取一點(diǎn)P,連接P點(diǎn)與其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成n - 1個(gè)三角形，這n - 1個(gè)三角形的內(nèi)角和等于n- 1 ?180 °以P為公共頂點(diǎn)的n- 1個(gè)角的和是180 °所以n邊形的內(nèi)角和是n-1 ?180° - 180° n-2 ?180 °【解析】解題關(guān)鍵是將多邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形中解決，在n邊形的任意一邊上任取一點(diǎn)P,連接P點(diǎn)與其它各頂點(diǎn)的線段可以把n邊形分成n -1個(gè)三角形.【例題4】【題干】2021?東城二模假設(shè)一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是外角和的3倍，那么這個(gè)多邊形是A.四邊形B.六邊形C.八邊形D.十邊形【答案】C.解：設(shè)

15、這個(gè)多邊形是n邊形，根據(jù)題意得，n - 2 ?180 =3 X 360解得n=8.多邊形的外角和與邊數(shù)無關(guān)，任何多邊【解析】此題考查了多邊形的內(nèi)角和公式與外角和定理,形的外角和都是 360° .【變式1】如圖，小陳從O點(diǎn)岀發(fā)，前進(jìn)5米后向右轉(zhuǎn)20；再前進(jìn)5米后又向右轉(zhuǎn)20；,，這樣一直走下去，他第一次回到岀發(fā)點(diǎn) O時(shí)一共走了A.60米B.100米C.90米D.120米【答案】c.小陳從O點(diǎn)岀發(fā)當(dāng)他第一次回到岀發(fā)點(diǎn)O時(shí)正好走了一個(gè)正多邊形，.多邊形的邊數(shù)為360°+ 20=18 他第一次回到岀發(fā)點(diǎn)O時(shí)一共走了 18X 5=90米.【解析】主要考查了多邊形的外角和定理任何一個(gè)多

16、邊形的外角和都是360【變式2】一個(gè)凸n邊形的內(nèi)角中，恰有四個(gè)鈍角，那么n的最大值是A.4B.7C.8D.9【答案】B.凸n邊形的內(nèi)角中，恰有四個(gè)鈍角，即外角中有四個(gè)銳角，這四個(gè)角最小，另外的外角接近直角時(shí) n的值最大，360+ 90=4那么：n =4+4 - 1=7，n的最大值是 7 .【解析】此題主要理解在哪種情況下 n的值最大.【例題5】【題干】 正三角形、正方形、正五邊形和正六邊形四種圖形中，能夠單獨(dú)鋪滿平面的有V 4種B. 3種C. 2種D. 1種【答案】B.正三角形的每個(gè)內(nèi)角是60 ；能整除360 ；能密鋪；正方形的每個(gè)內(nèi)角是 90 ； 4個(gè)能密鋪；正五邊形每個(gè)內(nèi)角是180

17、6;- 360°+ 5=108；不能整除360；不能密鋪；正六邊形的每個(gè)內(nèi)角是120；能整除360；能密鋪.360 °【解析】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是：一種正多邊形的鑲嵌應(yīng)符合一個(gè)內(nèi)角度數(shù)能整除【變式1】一幅圖案在某個(gè)頂點(diǎn)處由三個(gè)邊長相等的正多邊形鑲嵌而成的，其中的兩個(gè)分別是正方形和正十二邊形，那么第三個(gè)正多邊形的邊數(shù)是 .【答案】 由于正方形和正十二邊形內(nèi)角分別為90 ° 150，丁 360 ° - 150 ° +90 ° =120°,又正六邊形內(nèi)角為 120°,A第三個(gè)正多邊形的邊數(shù)是6.【解析】圖形鑲嵌成平面的關(guān)鍵

18、：繞一點(diǎn)拼在一起的多邊形內(nèi)角加在一起恰組成一個(gè)周角.【變式2】用正三角形和正方形作覆蓋平面，在拼接點(diǎn)處有m個(gè)正三角形和n個(gè)正方形，那么m=， n =.【答案】 設(shè)用m個(gè)正三角形，n個(gè)正四邊形能進(jìn)行平面鑲嵌由題意，有60m+90n=360,3解得m=6 - n,當(dāng)n=2時(shí)，m=3.故邊長相同的正方形和正三角形共同作平面鑲嵌，在一個(gè)頂2點(diǎn)周圍，有 3個(gè)正三角形和 2個(gè)正方形.【解析】此題主要考查了平面鑲嵌密鋪.四、課堂運(yùn)用【根底】1. 從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)岀發(fā)，可以畫岀m條對角線，它們將六邊形分成n個(gè)三角形那么 m、n的值分別為A. 4，3B. 3，3C. 3，4D. 4，4【答案】C.解：對角線的

19、數(shù)量 =6- 3=3條；分成的三角形的數(shù)量為n-2=4個(gè).【解析】考查多邊形的對角線及分割成三角形個(gè)數(shù)的問題，解答此類題目可以直接記憶：一個(gè)n邊形一個(gè)頂點(diǎn)岀發(fā)，可以連的對角線的條數(shù)是n - 3,分成的三角形數(shù)是 n- 2 .A. 8 條B.9條C.10 條D.11 條【答案】B.v多邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于150 :二多邊形的每個(gè)外角都等于180 - 150 =30 :邊數(shù) n=360, 30=12，二對角線條數(shù) =12 - 3=9 .【解析】此題主要考查了多邊形的外角與對角線的性質(zhì)，求岀邊數(shù)是解題的關(guān)鍵，另外熟記從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)岀發(fā)可作的對角線的條數(shù)公式也很重要.3. 假設(shè)一個(gè)n邊形的所有內(nèi)角

20、與某個(gè)外角的和等于1350,，那么門為 A.七B.八C.九D.十【答案】C. 1350 - 180=7.5因而設(shè)多邊形的邊數(shù)是n,貝U n-2=7,解得n=9.【解析】n邊形內(nèi)角和是n-2 ?180，那么多邊形內(nèi)角和是180:的正整數(shù)倍，而多邊形的外角小于180。，因而用1350。+ 180。，所得數(shù)值的整數(shù)局部與內(nèi)角和除以180。所得數(shù)值相同.4. 多邊形的邊數(shù)由7邊增加到8邊，它的內(nèi)角和增加多少度A. 90 :B. 270 :C. 180 :D. 360 :【答案】C. 8 - 1 ?180 - 7 - 1 ?180=180 .:【解析】 此題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，理解定理是關(guān)鍵.5.

21、 從一個(gè)七邊形的某個(gè)頂點(diǎn)岀發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)七邊形分割成個(gè)三角形.A. 6B. 5C. 8D. 7【答案】B.從一個(gè)七邊形的某個(gè)頂點(diǎn)岀發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，可以把一個(gè)七邊形 分割成7 - 2=5個(gè)三角形.6. 從多邊形一條邊上的一點(diǎn)不是頂點(diǎn)岀發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到2003個(gè)三角形，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為A. 2001B.2005C. 2004D. 2006【答案】C.多邊形一條邊上的一點(diǎn)不是頂點(diǎn)岀發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到2003個(gè)三角形，那么這個(gè)多邊形的邊數(shù)為2003+1=2004 .【解析】多邊形一條邊上的一點(diǎn)不是頂點(diǎn)岀發(fā)，連接各個(gè)頂點(diǎn)得到的三角形個(gè)數(shù)=多邊形的邊

22、數(shù)-1 .7. 一個(gè)凸多邊形的內(nèi)角中，最多有 個(gè)銳角.【答案】 根據(jù)任意凸多邊形的外角和是360 °可知它的外角中，最多有3個(gè)鈍角，那么內(nèi)角中，最多有3個(gè)銳角.【解析】注意每個(gè)內(nèi)角與其相鄰的外角是鄰補(bǔ)角，由于多邊形的外角和是不變的，所以要分析內(nèi)角的情況可以借助外角來分析.8. 現(xiàn)有8個(gè)好友聚會(huì)，每兩人握手一次，共握手 次.【答案】 八邊形的對角線條數(shù)為：8 X 8- 3炮=20 條，邊數(shù)為：8,.八邊形中一共有線段的條數(shù)為：20+8=28 條；【解析】 熟記n邊形對角線的總條數(shù)為： n> 3，且n為整數(shù).29. 假設(shè)凸n邊形的內(nèi)角和為1260。，那么從一個(gè)頂點(diǎn)岀發(fā)引的對角線條數(shù)

23、是 .【答案】凸n邊形的內(nèi)角和為1260， n-2 X 180=1260，得n =9;二9 - 3=6.【解析】考查多邊形的內(nèi)角和定理及多邊形的對角線.10. 1 從n邊形任意一個(gè)頂點(diǎn)岀發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)相鄰頂點(diǎn)除外，得到條線段，可把這個(gè) n邊形分割成個(gè)三角形；2從n邊形的一條邊上任意一個(gè)點(diǎn)岀發(fā)頂點(diǎn)除外，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)左右 兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)除外，得到 條線段，可把這個(gè) n邊形分割成 個(gè)三角形；3 從n邊形的內(nèi)部任意一個(gè)點(diǎn)出發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，得到條線段,可把這個(gè)n邊形分割成個(gè)三角形.【答案】1從n邊形任意一個(gè)頂點(diǎn)岀發(fā)，分別連接這個(gè)頂點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)相鄰頂點(diǎn)除外，

24、得到n- 3條線段，可把這個(gè) n邊形分割成n - 2個(gè)三角形；2從n邊形的一條邊上任意一個(gè)點(diǎn)岀發(fā)頂點(diǎn)除外，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)左右兩個(gè)相鄰頂點(diǎn)除外，得到 n-2條線段，可把這個(gè) n邊形分割成n - 1個(gè)三角形；3 從n邊形的內(nèi)部任意一個(gè)點(diǎn)岀發(fā)，分別連接這個(gè)點(diǎn)與其余各頂點(diǎn)，得到n條線段，可把這 個(gè)n邊形分割成n個(gè)三角形.13 2 1 HHHHI FRR-ffl【解析】此題考查了多邊形的性質(zhì)注意掌握歸納思想的應(yīng)用.【穩(wěn)固】1. 如圖，房間地面的圖案是用大小相同的黑、白正方形鑲嵌而成圖中第1個(gè)黑色形由3個(gè)正方形組成，第2個(gè)黑色形由7個(gè)正方形組成,2個(gè)黑色形由3+1 X 4個(gè)正方形組成，第6個(gè)黑

25、色 J形由3+5 X 4=2：個(gè)正方形組成。那么組成第6個(gè)黑色形的正方形個(gè)數(shù)是A.22B.23C.24D.25【答案】B.第1個(gè)黑色 J形由3個(gè)正方形組成，第3個(gè)黑色形由3+2 X 4=11個(gè)正方形組成，那么第【解析】注意要以第一個(gè)圖形中的正方形的個(gè)數(shù)為基數(shù)，得到相應(yīng)的規(guī)律.2340°，原多邊形邊數(shù)是2. 一個(gè)多邊形截去一個(gè)內(nèi)角后，形成另一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是A.14B.16C.14 或 16D.14，15 或 16【答案】D.多邊形的內(nèi)角和可以表示成n - 2 ?180 °n為且n是整數(shù)，一個(gè)多邊形截去n - 2) ?180°=2340°個(gè)角后，多邊形的

26、邊數(shù)可能增加了一條，也可能不變或減少了一條，根據(jù) 解得：n=15，那么多邊形的邊數(shù)是 14，15或16 .【解析】 此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式，注意要分情況進(jìn)行討論，防止漏解.3. 將一個(gè)長方形剪去一個(gè)角后所得的多邊形的內(nèi)角和為度.A.540B.360C.180D.540 或 360 或 180【答案】D.剪掉一個(gè)角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了 1條，或者不變,當(dāng)截線為經(jīng)過正方形對角2個(gè)頂點(diǎn)的直線時(shí)，剩余圖形為三角形，內(nèi)角和為180°當(dāng)截線為經(jīng)過正方形一組對邊的直線時(shí)，剩余圖形是四邊形，內(nèi)角和360°當(dāng)截線為只經(jīng)過正方形一組鄰邊的一條直線時(shí)，剩余圖形

27、是五邊形，內(nèi)角和為540° .【解析】 考查了多邊形的內(nèi)角和，解決此題的關(guān)鍵是理解剪掉多邊形的一個(gè)角的含義.4. 如圖，在五邊形 ABCDE 中，AE丄 DE，Z BAE=120° / BCD=60° /CDE-Z ABC=30 °(1) 求/ D的度數(shù)；2AB/ CD嗎？請說明理由.【答案】 (1)丁 AE 丄 DE,：/ AED=90 ；而/ A+ / B+/ C+/ D+/ E= ( 5 - 2) X 180=540° / BAE=120°，/ BCD=60°，/ D + / B=540° - 90； - 1

28、20° 60°=270°，v/ CDE-Z ABC=30°.D=150°(2) AB / CD.理由如下：v/ BAE=120°，Z BCD=60°，B+Z C=180° AB / CD.【解析】 考查n邊形的內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角和為n- 2 X80 和平行線的判定.5. 在多邊形邊上或內(nèi)部取一點(diǎn)與多邊形各頂點(diǎn)的連線，將多邊形分割成假設(shè)干個(gè)小三角形，圖給岀了四邊形的具體分割方法，分別將四邊形分割成了2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)小三角形.(1) 請按照上述方法將圖 2中的六邊形進(jìn)行分割，并寫岀每種方法得到的小三角形的個(gè)數(shù);(2

29、) 當(dāng)多邊形為n邊形時(shí)，按上述方法進(jìn)行分割，寫岀每種分法得到的小三角形的個(gè)數(shù).【答案】(1)如下圖:可以發(fā)現(xiàn)所分割成的三角形的個(gè)數(shù)分別是4個(gè)，5個(gè)，6個(gè);(2)結(jié)合兩個(gè)特殊圖形，可以發(fā)現(xiàn)：第一種分割法把 n邊形分割成了( n- 2)個(gè)三角形；第二種分割法把 n邊形分割成了( n - 1)個(gè)三角形；第三種分割法把n邊形分割成了 n個(gè)三角形.【解析】 此題考查了多邊形的對角線，此題要能夠從特殊中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)而推廣到一般.【拔高】1. 連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線， 如圖1,AC、AD是五邊形ABCDE的對角線思考以下問題：(1 )如圖2，n邊形A1A2A3A4An中，過頂點(diǎn)

30、 A1可以畫 條對角線；過頂點(diǎn) A2可以畫.條對角線，過頂點(diǎn) A3可以畫條對角線.(2) 過頂點(diǎn)A1的對角線與過頂點(diǎn) A2的對角線有相同的嗎？過頂點(diǎn)A1的對角線與過頂點(diǎn) A3的 對角線有相同的嗎？(3) 在此根底上，你能發(fā)現(xiàn) n邊形的對角線條數(shù)的規(guī)律嗎？(4) 在此根底上，推導(dǎo)岀 n邊形的內(nèi)角和.【答案】1過頂點(diǎn)A1可以畫n- 3條對角線；過頂點(diǎn) A2可以畫n- 3 條對角線，過頂 點(diǎn)A3可以畫n - 3條對角線;2過點(diǎn)Ai的和過點(diǎn)A2的沒有重復(fù)的，但和過點(diǎn)A3的有重復(fù)的A1A3和A3A1重復(fù)；3n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)不能與它本身及左右兩個(gè)鄰點(diǎn)相連成對角線，故可連岀n- 3條，共2.即卩n邊形的有n

31、個(gè)頂點(diǎn)，應(yīng)為n n - 3條，這樣算岀的數(shù)，正好多岀了一倍，所以再除以對角線條數(shù)的為：n n 324過一點(diǎn)有n - 3條對角線，分成n - 2個(gè)三角形，n邊形內(nèi)角和為180°? n-2【解析】此題考查了多邊形的對角線及多邊形的內(nèi)角和的知識(shí)2. 凸多邊形中，除/ A外，其余各角的和是 1000°這個(gè)多邊形的邊數(shù)是A.6B.7C.8D.9【答案】C.設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)是口.那么n- 2 X 180=1000 +Z A，由于0°v/ Av 180 ；所 以 0；v( n- 2) X 180- 1000；v 180°，整理得 1000v( n - 2) X 18

32、V 1000+180，n 2=6， n=8.即I000 v n - 2v I000+15 5 v n- 2 v 6 5 因?yàn)閚是正整數(shù)，所以18018099【解析】n邊形的內(nèi)角和是n-2 ?180 /因而內(nèi)角和一定是180度的倍數(shù)，而多邊形的內(nèi)角一定大于0,并且小于180度因而內(nèi)角和去掉一個(gè)內(nèi)角的值，這個(gè)值除以180度，所得數(shù)值比邊數(shù)n- 2要大，大的值小于 1 那么用內(nèi)角和于內(nèi)角的和除以 180所得值，加上2,比這個(gè)數(shù)大的 最小的整數(shù)就是多邊形的邊數(shù).3. 如圖，求/ A+Z B+ / C+Z D+Z E+ / F的度數(shù)和.【答案】TZ APC是厶AEP的外角，/ APC= Z A+Z E，

33、Z BOD 是 DOF 的外角，/ BOD= Z D+Z F， Z A+ Z B+Z C+Z D+Z E+Z F=Z B+Z C+Z APC+ / BOD=180°X (4 - 2) =360【解析】此題考查多邊形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì).課程小結(jié)1. 多邊形的性質(zhì)2. 多邊形的對角線3. 多邊形內(nèi)角和與外角和4. 平面鑲嵌問題課后作業(yè)【根底】1. 2021?湛江一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是540°那么這個(gè)多邊形是A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形【答案】B.根據(jù)多邊形的內(nèi)角和得：n- 2 180 =540 ,解得：n=5,那么多邊形是五邊形.【解析】此題比擬容易，主要

34、考查多邊形的內(nèi)角和公式.2. 2021?烏魯木齊某多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，那么此多邊形的邊數(shù)是A. 5B. 6C. 7D. 8【答案】D.解：根據(jù)題意，得：n- 2 X 180=360 , X解得n=8.【解析】解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式和外角和定理，利用方程法求邊數(shù).3. 2006?臨沂多邊形的內(nèi)角中，銳角的個(gè)數(shù)最多有A. 1個(gè)B. 2個(gè)C. 3個(gè)D. 4個(gè)【答案】C.多邊形外角和是 360度，外角中最多有三個(gè)鈍角，如果超過三個(gè)那么和一定大于360度，多邊形的內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，那么外角中最多三個(gè)鈍角，內(nèi)角中就最多3個(gè)銳角.【解析】 此題考查了多邊形的內(nèi)角問題由于內(nèi)角和不

35、是定值，不容易考慮，而外角和是360度不變，因而內(nèi)角的問題可以轉(zhuǎn)化為外角的問題進(jìn)行考慮.4. 從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)岀發(fā)一共可引6條對角線，那么這個(gè) n邊形的內(nèi)角和等于A. 1260 °B. 1440 °C. 1620 °D. 1800 °【答案】A.，.從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)岀發(fā)一共可引6條對角線，.多邊形是 9邊形，內(nèi)角和是9 - 2 ?180=1260°?！窘馕觥空_理解多邊形的邊數(shù)與從一個(gè)頂點(diǎn)發(fā)岀的對角線的條數(shù)之間的關(guān)系，以及對多邊形內(nèi)角和定理的理解與記憶是解決此題的關(guān)鍵.5. 多邊形的內(nèi)角和不可能是以下中的A. 270 °B. 36

36、0 °C. 540 °D. 720 °【答案】A. A、270°180°1 90 °不是180 °的倍數(shù)，不是多邊形的內(nèi)角和；B、360 °80°=2，是180°的倍數(shù)，可能是多邊形的內(nèi)角和；C、540T80 °3，是180°的倍數(shù)，可能是多邊形的內(nèi)角和；D、720 T80 °4，是180 °的倍數(shù)，可能是多邊形的內(nèi)角和.【解析】考查多邊形的內(nèi)角和公式，還需要懂得挖掘此題隱含著邊數(shù)為正整數(shù)這個(gè)條件.6. 如果一個(gè)多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2 倍,那么從這

37、個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)岀發(fā)的對角線的條數(shù)是A. 3B. 6C. 9D. 18【答案】A.設(shè)這個(gè)多邊形有 n條邊，由題意得：n - 2 X 180=360 ,解得：n =6,從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)岀發(fā)的對角線的條數(shù)是6 - 3=4。【解析】 主要考查多邊形的內(nèi)角和外角，以及對角線，關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式.7. 2021?豐南區(qū)一模小亮從A點(diǎn)岀發(fā)前進(jìn)10米，向右轉(zhuǎn)60°又前進(jìn)10米，又向右轉(zhuǎn)60° 這樣一直走下去，當(dāng)他第一次回到出發(fā)點(diǎn)A時(shí)，一共走了多少米A.30米B.60米C.80米D.100米【答案】B.從開始到第一次回到岀發(fā)點(diǎn)，所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個(gè)正六邊形，那么一共走

38、了6X 10=6米.【解析】小亮從開始到第一次回到岀發(fā)點(diǎn)，所經(jīng)過的路線正好構(gòu)成一個(gè)正六邊形，正六邊形的邊長，即可求得周長，即所走的路程.8. 某裝飾市場有四種型號的地磚，準(zhǔn)備用同一型號的正多邊形地磚密鋪.每種地磚的內(nèi)角度數(shù)分別是90° 120° 135° 150°.這些地磚中，可以使用的是 .【答案】90 ° 2=180 120 ° 3=360同一型號的正多邊形地磚密鋪地面可以使用的是內(nèi)角度數(shù) 分別是90 °和 120°的地磚.【解析】此題考查了平面密鋪的知識(shí)，用同一型號的正多邊形地磚密鋪地面時(shí)，對正多邊形的內(nèi)角的

39、度數(shù)的要求是解答此題的關(guān)鍵.9. 4支排球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽參加比賽的每兩支球隊(duì)之間都要進(jìn)行一場比賽，那么總的比賽£2條，邊數(shù)有場數(shù)為場.【答案】如圖，作四邊形 ABC D,易得，對角線有有6條線段，那么比賽場數(shù)有 6場.【解析】用數(shù)學(xué)模型將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為多邊形的邊數(shù)與對角線的問題.10. 求岀以下圖中x的值.【答案】 解：(1)根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到：x+70=x+ (x+10)，解得：x=60.(2) 根據(jù)四邊形的內(nèi)角和是360°得到：(x+10) +x+60+90=360，解得：x=100.(3) 根據(jù)五邊形的內(nèi)角和是(5 - 2) ?180=540° 得

40、到：x+ (x+20) + (x - 10) +x+70=540 ,解得：x=115.【解析】 結(jié)合多邊形的內(nèi)角和公式與外角和的關(guān)系來尋求等量關(guān)系，構(gòu)建方程即可求解.【穩(wěn)固】2倍，求此多邊形的邊數(shù).1. 假設(shè)一個(gè)多邊形的邊數(shù)恰好是從一個(gè)頂點(diǎn)引岀的對角線條數(shù)的【答案】 設(shè)此多邊形有n條邊，由題意，得 n=2 ( n- 3)，解得n=6 .【解析】 根據(jù)“一個(gè)多邊形的邊數(shù)恰好是從一個(gè)頂點(diǎn)引岀的對角線條數(shù)的2倍列岀方程。2. 小明在計(jì)算一個(gè)多邊形的內(nèi)角和時(shí)，由于粗心少計(jì)算了一個(gè)內(nèi)角，結(jié)果得1345。，那么未計(jì)算的內(nèi)角的大小為()A. 80 °B. 85 °C. 95 °

41、D. 100 °17【答案】C.設(shè)多邊形邊數(shù)是 n.依題意有(n - 2) ?180 > 1345，解得：n?9，那么多邊形的36邊數(shù)n=10 ;多邊形的內(nèi)角和是 (10- 2)?180=1440度；那么未計(jì)算的內(nèi)角的大小為1440° - 1345°=95° .【解析】主要考查了多邊形的內(nèi)角和定理，正確確定多邊形的邊數(shù)是解題的關(guān)鍵.3. 某單位的地板由三種邊長相等的正多邊形鋪成，三種多邊形是按1： 1： 1來排列，設(shè)這三種正1 1 1多邊形的邊數(shù)分別為 x，y， z,求的值.x y z【答案】由題意可知：x 2 °80 y 2 a80z

42、2 g80360.o，2i 2i 2=2111=1x y zxyz 2【解析】這三種正多邊形一個(gè)頂點(diǎn)處三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之和正好等于360 °4. ：如圖，四邊形 ABCD中，/ D=90° / B= / C=70°, AE平 分/ BAD,交BC于點(diǎn)E, EF丄AE,交CD于點(diǎn)F.(1) 求/ BAE的度數(shù)；(2) 寫岀圖中與/ AEB相等的角并說明理由.【答案】(1)丁四邊形 ABCD中，/ D=90 ； / B=Z C=70 ；11:丄 BAD=360° -Z B-Z C-Z D=130°, / AE 平分/ BAD,：/ BAE= / BAD=丄 x 130=65 °22'(2 )Z AEB=Z CEF 理由如下：在 ABE 中，Z AEB=180° -Z B-Z BAE=45°,JEF 丄 AE,：Z AEF=90°, ：-Z CEF=180° -Z AEBZ AEF=180° - 45； - 90°=45°,Z AEB=Z CEF【解析】考查了多邊形的內(nèi)角和公式與三角形的內(nèi)角和定理，以及角平分線的定