2007年寧波市東海杯初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷第2試

1、2007年寧波市東海杯初二數(shù)學(xué)競(jìng)賽試卷第2試（考試時(shí)間：2007 年 12 月 16 日 9 : 3 0 11: 3 O）一、選擇題:（每題 6 分，共 30 分在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的）1.已知長(zhǎng)度為 10cm 的線段 AB,以AB 為直徑向上作半圓，記該半圓的周長(zhǎng)為6；將 AB兩等分，分別以其一半線段為直徑向上作半圓，記該兩個(gè)半圓的周長(zhǎng)之和為C2；再將AB 三等分，分別以其三分之一線段為直徑向上作半圓，記該兩個(gè)半圓的周長(zhǎng)之和為C3；如此繼續(xù)，記 k 等分時(shí)各半圓周長(zhǎng)之和為Ck，那么隨著等分?jǐn)?shù) k 的增加，各半圓周長(zhǎng)之和 Ck的數(shù)值（）A .越來(lái)越大B .越來(lái)越小C .不變

2、D .無(wú)法判斷2桌上放著 6 張撲克牌，全部正面朝下。你已被告知其中有兩張且只有兩張是老K,但是你不知道老 K 在哪個(gè)位置。你隨便取了兩張并把它們翻開，會(huì)出現(xiàn)下面兩種情況：（1）兩張牌中至少有 I 張是老 K; （2）兩張牌中沒有 I 張是老 K。比較這兩種情況的可能性，可知（）A . （1）的可能性大 B . （2）的可能性大 C .兩者一樣.D .無(wú)法比較3 .有兩面可繞一立軸轉(zhuǎn)動(dòng)的立式鏡，我站在這兩面鏡手前的一個(gè)點(diǎn)上，這個(gè)點(diǎn)位于鏡面夾角的角平分面上。若兩鏡面的夾角為50,我將可以看到自己的鏡像數(shù)為（）A . 10 B . 8 C . 6 D . 44 .如圖，平行四邊形的每一個(gè)頂點(diǎn)都用直

3、線與兩條對(duì)邊的中點(diǎn)相連。這些直線所圍成圖形的面積是原平行四邊形面積的（）A .四分之一B .六分之一C .八分之一D .十分之一5.有一位作家，被一個(gè)稀奇古怪的困難弄得寢食不安。他寫作品寫得越是接近結(jié)尾，就寫得越慢。他著手寫一部作品的時(shí)候，每天的完成量同余下要寫的頁(yè)數(shù)成比例。例如，對(duì)于某一本書來(lái)說(shuō)，他寫第一頁(yè)用了10 天時(shí)間，但寫最后一頁(yè)卻要用50 天時(shí)間。這本書的頁(yè)數(shù)與他寫完的天數(shù)分別為（）（每當(dāng)余下要寫的頁(yè)數(shù)與所用的天數(shù)不是整數(shù)時(shí)，總是用進(jìn)一法化為大于它且最接近它的那個(gè)整數(shù)）A . 8, 130 B . 7, 125 C . 6, 120D.5, 115二、填空題（每題 6 分，共 30

4、分）6 如圖所示，矩形被一些線段分割成若干塊，其中有些線段的長(zhǎng)度已知。如果這些小塊可以拼成一個(gè)正方形，那么這個(gè)正方形的周長(zhǎng)為。（此題有誤）7數(shù)字 3 可以有四種方式表達(dá)為 1 個(gè)或幾個(gè)正整數(shù)的有序和3，1+2，2+1，1+1+1，那么對(duì)于一般的正整數(shù) n，如此表達(dá)方式的個(gè)數(shù)為。8. 如圖，半徑分別為 r 與 R 的兩圓相交（R r），那么兩圓不重疊部分的面積的差是，9. 某種產(chǎn)品以液劑與粉劑兩種形式出售。一項(xiàng)市場(chǎng)調(diào)查表明：1-接受調(diào)查的消費(fèi)者不用粉劑；32-接受調(diào)查的消費(fèi)者不用液劑；7427 位接受調(diào)查的消費(fèi)者既用液劑，也用粉劑；11接受調(diào)查的消費(fèi)者根本不用這種商品。5接受調(diào)查的消費(fèi)者的人數(shù)為

5、。10. 張斌賣起布來(lái)了，他自定零售價(jià)比批發(fā)價(jià)高40%。但他發(fā)現(xiàn)，由于他所用的米尺不準(zhǔn)確，他只賺了 39%。張斌賣布時(shí)所用尺的1 “米”比較標(biāo)準(zhǔn)的 1 米多了。（第 6題）（第 8題）三、解答題（每題 15 分，共 60 分）不管等分?jǐn)?shù)為多少,各個(gè)半圓的周長(zhǎng)之和始終為5n o11小陳駕車從巴黎出發(fā)，在公路上勻速前進(jìn)。不久，他經(jīng)過(guò)一個(gè)“里程碑”實(shí)上應(yīng)叫“千米碑” ） ，上面是個(gè)兩位數(shù)。一小時(shí)后，他又經(jīng)過(guò)一個(gè)里程碑，上面是與他前同樣的兩個(gè)數(shù)碼，但左右順序相反。又過(guò)一小時(shí)，他經(jīng)過(guò)第三個(gè)里程碑，上面是 個(gè)三位數(shù)，是在上述兩個(gè)數(shù)碼 （ 順序或逆序 ）中間再夾一個(gè)零。請(qǐng)問(wèn)小陳的車速是多少12.若點(diǎn) P 為

6、已知相交兩圓的一個(gè)交點(diǎn)，試過(guò)點(diǎn) P 作一不包含公共弦的直線1（公共弦是指兩圓交點(diǎn)間的連線段 ），使其被兩圓截出相等的兩條線段。13.王明、李宏和趙亮參加同樣系列的測(cè)試。在每一項(xiàng)測(cè)試中，三人的成績(jī)均為兩兩相異的正整數(shù) x，y, z。每人所得的成績(jī)總和如下：王明20 分，李宏 10 分，趙亮 9 分。若李宏在代數(shù)測(cè)試中名列第一，那么幾何測(cè)試中誰(shuí)列第二位 ?14. 現(xiàn)有一臺(tái)天平,一個(gè) 2 克的砝碼和一個(gè) 7 克的砝碼,要求只使用這臺(tái)天平三次,將一 包重 140 克的食鹽分成 90 克和 50 克。此外,為了便于減少誤差,每次分離食鹽時(shí), 規(guī)定重量是整數(shù)千克。請(qǐng)你設(shè)計(jì)盡可能多的方案,說(shuō)明基本理由。參考

7、答案及評(píng)分意見一、選擇題 （每題 6 分,共 30 分）1. C（當(dāng)然，事2.A我們把這 6 張牌用 1 到 6 這些數(shù)字編號(hào)，并且假定 5 號(hào)牌和 6 號(hào)牌就是那兩張老 K?，F(xiàn)在,我們列出從 6 張牌中取出兩張的所有不冋組合，總共有15 種這樣的組合：1 2,2 3,3 4,4 5,5 61 3, 2 4,3 5,4 61 4, 2 5,3 61 5, 2 61 6注意在這 15 對(duì)牌中有 9 對(duì)包含老 K（5 號(hào)牌和 6 號(hào)牌）。既然每對(duì)牌出現(xiàn)的可能性都一樣， 這就意味著，從長(zhǎng)遠(yuǎn)說(shuō)，你每進(jìn)行15 次嘗試就有 9 次至少翻出一張老 K。換句話說(shuō)，至少3.C設(shè)鏡面夾角為a物體 A 在每面鏡子中

8、各有一個(gè)初始鏡像A1和 A1它們?cè)趯?duì)面的鏡子中又會(huì)產(chǎn)生鏡像，的鏡像為 A2,A1的鏡像為 A2 .這樣，一面鏡子就反射出了一系列的鏡 像：A1, A2, A3,，An。另一面鏡子則對(duì)稱地反射出鏡像A1，A2，A,，An這些鏡像依次位于與角平分面所成之夾角為a2a,3,a，na的平面上。其中 na為小于或等于的最大夾角。如果na正好等180于 180那么 An 和 An這兩個(gè)鏡像將重疊， 于是總共產(chǎn)生 2n-1 個(gè)鏡像。如果a在18仝和1 + n2n 個(gè)鏡像。因?yàn)?他 -50 他，所以總共會(huì)得到 643個(gè)鏡像。4.B如圖，聯(lián)結(jié)平行四邊形對(duì)邊的中點(diǎn)，將這個(gè)平行四邊形分成四個(gè)平行四邊形。注意左上角

9、處的平行翻出一張老K 的可能性是 9/15，這個(gè)分?jǐn)?shù)可化簡(jiǎn)為3/5。這當(dāng)然優(yōu)于 1/2，因此本題的答案是：K 的可能性比一張老 K 也翻不出的可能性大。180那么你總共會(huì)得到四邊形 AEPH 四邊形 PQRS 就是所求圖形在 AEPH 中的部分。ABR /注意到 R 是厶 ADB 的兩條中線的交點(diǎn)，因此 A R、P 三點(diǎn)共線，且 AP=3RP類似的推理可用于其他三個(gè)子平行四邊形，最后得到所需結(jié)論為六分之5.D既然當(dāng)他只剩下一頁(yè)要寫完時(shí)，他一天寫1/50 頁(yè)，那么作為一條一般規(guī)律，他每天的寫作量總是余下要寫頁(yè)數(shù)的 1/50。他一開始以每天 1/10 頁(yè)的速度寫作，這意味著這部作品1一共有 5 頁(yè)

10、。寫第一頁(yè)他用了 10 天；第 2 頁(yè)他以每天 4/50 頁(yè)的速度寫完，因此用了 12丄2、2、天；第 3 頁(yè)以每天 3/50 頁(yè)的速度寫完，用了 16 天；第 4 頁(yè)以每天 2/50 頁(yè)的速度寫完，31用了 25 天；寫第 5 頁(yè)用了 50 天。因此總共用了 114 -天，進(jìn)位為 115 天。6二、填空題(每題 6 分，共 30 分)6.48 .容易得到這個(gè)矩形的尺寸是9X16,由此所拼成的正方形的面積為144，它的邊長(zhǎng)為 12,周長(zhǎng)為 48。7.2n-1一個(gè)有序的和 a1+a2+aK=n , ai可以用排成一行的個(gè)1 被個(gè)斜杠7”分割開的形式來(lái)表達(dá)，即 1111/111/111/111其中

11、第 1 部分含 a 個(gè) 1,第 2 部分 含 a2個(gè) 1,第 3部分含 a3個(gè) 1, .，最后的第 k 部分含比個(gè) 1。為了得到所有這樣的表達(dá)形式(對(duì)所有的 K k n)可以將 n 個(gè) I 排成一行，在每相鄰兩個(gè) 1 之間產(chǎn)生的 n-1 個(gè) 空位中，要么放上一個(gè)斜杠，要么不放，這樣就可產(chǎn)生2n-1種不同的表達(dá)形式。&n(Ryz 1,記 N 為測(cè)試的項(xiàng)數(shù)，據(jù)題意(系列測(cè)試）知 N1，且有（x+y+z）N=20+10+9=39。因 x+y+z 3+2+仁 6,（評(píng)分 2 分）知 N 1）。于是兩兩相異的整數(shù) x, y, z 可能為（x，y,z）=（10，2,1） : （9，3，1），（8，4，1），（8，3，2），（7，5，1），（7，4，2）， （6，5，2），（6，4，3）基于王明的總分為 20，只有（8，4, 1）是可能的，（評(píng)分 2 分）刪去其他情況。因此李宏的代數(shù)測(cè)試成績(jī)?yōu)?,4,1 中的最大值 &這樣阿題就轉(zhuǎn)化為填空下列表格，使得每一行都為 8，4，1 這三個(gè)成績(jī)，三列的總和分別為20，10，9王明李宏趙亮代數(shù)8幾何其他學(xué)科20109容易找到問(wèn)題的唯一解（評(píng)分 3 分）王明李宏趙亮代數(shù)481幾何814其他學(xué)科81420109因此趙亮在幾何測(cè)試中位列第二。（評(píng)分 2 分）14 此題有多種答案。若考慮現(xiàn)有砝碼與其不同放置的情況，