
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文檔簡(jiǎn)介
1、2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題一、填空題:本題共6小題,每小題4分,共24分,請(qǐng)將答案 寫在答題紙指定位置上.2(1) 極限 lim1 ln(1 x)F=.1(2) 二 x x)e lxdx =設(shè)a 0,f(x) g(x)a,若學(xué):1,而D表示全平面,則0, 其他,I f (x)g(y x)dxdy =D設(shè)A,B均為三階矩陣,E是三階單位矩陣.已知2 0 2AB 2A B, B 0 4 0,貝卩2 0 2(A E) 1=. 設(shè)n維向量 (a,0, ,0,a)T,a 0 ; E為n階單位矩陣,矩陣A E T , BEt ,a其中A的逆矩陣為B,則a . 設(shè)隨機(jī)變量X和丫的相關(guān)系數(shù)
2、為0.5, EX EY 0, EX2 EY22,貝U E(X Y)2=.二、選擇題:本題共 6小題,每小題4分,共24分,下列每小 題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)符合題目要求, 把所選項(xiàng)前的字 母填在題后的括號(hào)內(nèi).丄(1)曲線 y xe"()(A)僅有水平漸近線.(B)僅有鉛直漸近線.(C)既有鉛直又有水平漸近線.(D)既有鉛直又有斜漸近線. 設(shè)函數(shù)f(x)x3 1 (x),其中(x)在x 1處連續(xù),則 (1) 0是f(x)在x 1處可導(dǎo)的()(A)充分必要條件.(B)必要但非充分條件.(C)充分但非必要條件.(D)既非充分也非必要條件 設(shè)可微函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)(X0,y。)取得極
3、小值,則下列結(jié)論正確的是()(A) f(xo, y)在 yyo處的導(dǎo)數(shù)等于零.(B)f (xo, y)在 yyo處的導(dǎo)數(shù)大于零.(C) f(xo, y)在 yyo處的導(dǎo)數(shù)小于零.(D)f (xo, y)在 yyo處的導(dǎo)數(shù)不存在.(4)設(shè)矩陣Bo o 1o 1 o .已知矩陣A相似于B,則秩(A 2E)與秩1 o o(A E)之和等于()(A)2.(B)3.(C)4.(D)5.(5)對(duì)于任意二事件A和B()(A)若 AB,則代B定獨(dú)立.(B)若AB ,則A,B有可能獨(dú)(C)若 AB,則代B定獨(dú)立.(D)若AB ,則A,B 一定不獨(dú) 設(shè)隨機(jī)變量X和丫都服從正態(tài)分布,且它們不相關(guān),則 ()(A) X
4、與Y 定獨(dú)立.(B)( X , Y)服從二維正態(tài)分布(C) X與丫未必獨(dú)立.(D) X+Y服從一維正態(tài)分布.三、(本題滿分8分)設(shè)f(x)丄二 1 ,x -,1).試補(bǔ)充定義f使得f(x)在x sin x (1 x) 22,1上連續(xù).四、(本題滿分8分)2 2 設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足2f 1,又u vg(x, y)2求一2x122fxy,-(x y ),2g2 y五、(本題滿分8分)計(jì)算二重積分其中積分區(qū)域D (x,y)x2 y2.六、(本題滿分9分)設(shè)a 1, f(t) at at在(,)內(nèi)的駐點(diǎn)為t(a).問a為何值時(shí),t(a)最小?并求出最小值.七、(本題滿分9分)設(shè)y
5、 f(x)是第一象限內(nèi)連接點(diǎn)A(0,1),B(1,0)的一段連續(xù)曲線,M(x, y)為該曲線上任意一點(diǎn),點(diǎn)C為M在x軸上的投影,0為坐標(biāo)原點(diǎn).若梯形OCMA的面積與曲邊 三角形CBM的面積之和為1,求f(x)的表達(dá)式.63八、 ( 本題滿分 8 分)設(shè)某商品從時(shí)刻0到時(shí)刻t的銷售量為x(t) kt , t 0,T, (k 0). 欲在T時(shí)將數(shù)量為A的該商品銷售完,試求(1) t時(shí)的商品剩余量,并確定k的值;(2) 在時(shí)間段0,T上的平均剩余量九、 ( 本題滿分 13 分 )設(shè)有向量組 (I) : 1 (1,0,2)T,2 (1,1,3)T ,3 (1, 1,a 2)T 和向量組(II) :1
6、(1,2, a 3)t,2 (2,1, a 6)T,3 (2,1, a 4)T.試問:當(dāng)a為何值時(shí),向量組(I)與(II)等價(jià)?當(dāng)a為何值時(shí),向量組(I) 與(II)不等價(jià)? 十、(本題滿分13分)2111設(shè)矩陣 A121可逆,向量b是矩陣A*的一個(gè)特征向11a1量,是 對(duì)應(yīng)的特征值,其中A*是矩陣A的伴隨矩陣.試求a,b和 的值.十一、 ( 本題滿分 13 分)設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為F(X)是X的分布函數(shù).求隨機(jī)變量Y F(X)的分布函數(shù). 十二、 ( 本題滿分 13 分)對(duì)于任意二事件 A和B, 0 P(A) 1,0 P(B) 1,稱作事件A和B的相關(guān)系數(shù)(1) 證明事件A和B獨(dú)立的
7、充分必要條件是其相關(guān)系數(shù)等于零;(2)利用隨機(jī)變量相關(guān)系數(shù)的基本性質(zhì),證明| | 1.2003年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)四試題解析一、填空題(1)【答案】e22【詳解】方法1 : lim1 ln(1 x)F,屬于1型未定式極限,可以考x 07慮利用重要極限求解.首先湊成重要極限形式:方法2:lim1 ln(1x 0x)x = Xi叫?ln1 ln(1exx)limex (2ln1ln(1 x)Xlimex 02ln(1 x)xe2(注意:ln1 ln(1 x) : ln(1 x)【答案】2(1 2e 1)【分析】對(duì)稱區(qū)間上的定積分,有【詳解】(x x)e%x= xe "Qxxe
8、 dx= xedx+0 2 xe xdx1 ' / 1 1 1 01 1 1 .2 0 xde x 2xe x 00 e xdx =2(1 2e ).【答案】a2【詳解】本題積分區(qū)域?yàn)槿矫?,但只有?dāng)0 x 1,0 y x 1 時(shí),被積函數(shù)才不為零,則二重積分只需在積分區(qū)域與被積函數(shù)不為零的區(qū)域的公共部分商積分即可,因此實(shí)際上只需在滿足此不等式的區(qū)域內(nèi)積分即可.2_21 x 1I f (x)g(y x)dxdy =a dxdy = a od dy2 a0(x 1) Xdx2 a001【答案】010100【詳解】應(yīng)先化簡(jiǎn),從 AB 2A B中確定(A E) 1 .(A E)(B 2E)
9、2E1(A E) (B 2E) E ,0 0 1 所以(A E) 1 =丄(B 2E)= 0 10 .21 0 0【答案】-1【詳解】這里T為n階矩陣,而T 2a2為數(shù),直接通過AB E進(jìn)行計(jì)算并注意利用乘法的結(jié)合律即可.由題設(shè),有AB (ET)(E 丄T)=ET-1TTaaaET1T1(T )t = ET 1T 2a TaaaE1(1 2a -) aTE ,于是有1 2a丄a0,即 2a2a1 0 ,解得a11.已知a 0 ,故a 1 .【答案】6【分析】本題的核心是逆向思維,利用協(xié)方差公式E(XY) cov(X,Y) E(X)E(Y).涉 及 公 式: (1) D(X) E(X2) E(X
10、)2(2) D(X Y) D(X) D(Y) 2cov(X,Y)XYcov(X,Y)D(X) ,D(Y)【詳解】方法1:由方差定義的公式和相關(guān)系數(shù)的定義D(X) E(X2) E(X)22 02,同理 D(Y) 2 ,1 cov(X,Y)xy ,D(X) . D(Y) 2 1.所以 E(X Y)2 D(X Y) E(X Y)2 D(X Y) (EX EY)2方法2:由數(shù)學(xué)期望的線性可加性 E(aX bY) aE(X) bE(Y)得:再利用 E(XY) Cov(X,Y) E X E Y,得由方差定義的公式,有D(X) E(X2) E(X)2 2 0 2,同理D(Y) 2,再由相關(guān)系數(shù)的定義XY C
11、0V(X,丫 )=得,VDTD(y)cov(X,Y) XY DX DY二、選擇題(1)【答案】(D)【分析】按照鉛直、水平、斜漸近線三種情況分別考慮:先考慮是否有水平漸近線:Jim f(x) c,(c為常數(shù)),y c為曲線的一條水平漸近線;若無水平漸近線應(yīng)進(jìn)一步考慮是否存在斜漸近線:k lim $,b lim f (x) kx, y kx b為曲線的一條斜漸近XyXxxxx線;而是否存在鉛直漸近線,應(yīng)看函數(shù)是否存在無定義點(diǎn),且lim y , lim y,貝卩x x°為曲線的一條垂直漸近線.x xqx x0【詳解】1 . lim y極限均不存在,故曲線不存在水平漸近線;x12. lim
12、 ylim e喬x xx1lim( xex所以曲線有斜漸近線3. 在 x1 1 12xl nex_37lim xexlim elim e xx 0x 0x 01處1lim exx 01y xe無 定 義, 且,故x 0為鉛直漸近線.故曲線u2 1 22x)u x 1lim e_ e"1 : u2lim 0u 0 uu 0 uy xe既有鉛直又有斜漸近線,應(yīng)選(D).【答案】(A)【詳解】被積函數(shù)中含有絕對(duì)值,應(yīng)當(dāng)作分段函數(shù)看待,利用f(x) 在x 1處左右導(dǎo)數(shù)定義討論即可.lim f(x) f(1)x 1 x 1 limf(x)f(1)x 1x3 1 2lim(x) lim( x2
13、x 1)(x) 3 (1),x 1 x 1x 1x31x 1x 1 x 1x 1由于f(x)在x 1處可導(dǎo)的充分必要條件是左、右導(dǎo)數(shù)相等,lim(x) lim( x2 x 1)(x)3 (1),所以 故應(yīng)選(A).【答案】(A)【詳解】由函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)&0,丫0)處可微,知函數(shù)f (x, y)在點(diǎn)(x°,y0) 處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在,又由二元函數(shù)極值的必要條件即得f(x,y)在點(diǎn)(X0,y。)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都等于零.從而有選項(xiàng)(A)正確.【答案】(C)【分析】利用相似矩陣有相同的秩計(jì)算,秩(A 2E)與秩(A E)之和等于秩(B 2E)與秩(B E)之和.【詳解】因?yàn)榫?/p>
14、陣A相似于B,又B P1AP,所以1 1 1P 1 A 2E P P 1AP P 12EP B 2E ,于是,矩陣(A 2E)與矩陣(B 2E)相似.同理有 所以,矩陣A E與矩陣B E相似.又因?yàn)橄嗨凭仃囉邢嗤闹龋?而2 0 1 1 0 1秩(B 2E)=S 0103,秩(B E)=S 0001 ,1 0 2 1 0 1所以有秩(A 2E)+秩(A E)=S (B 2E)+秩(B E)=4,故應(yīng)選(C).(5) 【答案】 B 【詳解】本題考查獨(dú)立與互斥事件之間的關(guān)系,事實(shí)上,獨(dú)立與 互斥事件之間沒有必然的互推關(guān)系.當(dāng) P A 0,P B 0 時(shí) , 若 A,B 相 互 獨(dú) 立 , 則 一
15、定 有P AB P A P B 0,從而有 AB .可見,當(dāng) A,B 相互獨(dú)立時(shí), 往往 A,B 并不是互斥的.AB 推不出 P AB P A P B ,因此推不出 A,B 一定獨(dú)立, 排除 (A);若 AB, 則 P AB 0 , 但 P A P B 是 否 為 零 不 確 定 ,P AB P A P B . 因此 (C) , (D) 也不成立,故正確選項(xiàng)為 (B) .(6) 【答案】 C. 【分析】本題考查正態(tài)分布的性質(zhì)以及二維正態(tài)分布與一維正態(tài) 分布之間的關(guān)系.只有 (X,Y) 服從二維正態(tài)分布時(shí),不相關(guān)與獨(dú) 立才是等價(jià)的.有結(jié)論如下: 若X與Y均服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立,則 (X,Y)服
16、從二維正 態(tài)分布.如果X與Y都服從正態(tài)分布,甚至 X與Y是不相關(guān),也并 不能推出(X,Y)服從二維正態(tài)分布. 若X與Y均服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立,則aX bY服從一維正態(tài)分布.若(X,Y)服從二維正態(tài)分布,則 X與Y相互獨(dú)立X與Y不相關(guān).【詳解】只有當(dāng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布時(shí),X與Y不相關(guān)X與Y獨(dú)立,本題僅僅已知 X與Y服從正態(tài)分布,因此,由它們不相關(guān) 推不出X與Y 定獨(dú)立,排除(A);若X與Y都服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立,則(X,Y)服從二維正態(tài)分布,但題設(shè)并不知道X,Y是否獨(dú)立,可排除(B);同樣要求X與Y相互獨(dú)立時(shí),才能推出 X 丫服從一維正態(tài)分 布,可排除(D).故正確選項(xiàng)為(C).三【
17、詳解】為使函數(shù)f(x)在2,1上連續(xù),只需求出函數(shù)f(x)在x 1 的左極限limf(x),然后定義f(1)為此極限值即可.x 1令u 1 x,則當(dāng)x 1時(shí),u 0,所以定義f (1)-,從而有l(wèi)im f(x) - f(1), f (x)在x 1處連續(xù).又x 1f(x)在【2,1)上連續(xù),所以心)在【2,1上連續(xù).四【詳解】由復(fù)合函數(shù)z f (x,y), (x, y)的求導(dǎo)法則,得 從而222 £2 車2 £2 .所以一gg(x2y2)2 (x2y2)f(x2y2)(f22)=x2y2.xyuvuv五【詳解】從被積函數(shù)與積分區(qū)域可以看出,應(yīng)利用極坐標(biāo)進(jìn)行 計(jì)算.作極坐標(biāo)變換
18、:設(shè)x r cos , y r sin,有記 Ae tsintdt,則0e1e td si nte 10e tsint0 0etsi ntdte1 A.因此 a(1 e ) , I2e(1 e )-(1 e2 2).六【詳解】f(t)的駐點(diǎn)即滿足f(t)的一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn),它是關(guān)于a的函數(shù).由f (t) at lna a 0,得唯一駐點(diǎn)求t(a)的最小值,即求函數(shù)t(a) 1匕喧在a 1時(shí)的最小值, In a得唯一駐點(diǎn)a ee.當(dāng)a ee時(shí),Inln a 0,1 InIn a 0 ,從而t (a) 0 ,這時(shí)t(a)單調(diào)遞增;當(dāng)a ee時(shí),InIn a 0,1 InIn a 0,從而t (a)
19、0,這時(shí)t(a)單調(diào)遞減.因此當(dāng)a ee時(shí)t(a)為最小值,此時(shí)t(ee) 1 1為極小值,也是最小 e值.七【分析】梯形OCMA的面積可直接用梯形面積公式計(jì)算得到,曲邊三角形CBM的面積可用定積分計(jì)算,再由題設(shè),梯形OCMA的面積與曲邊三角形CBM的面積之和為 乞1,可得一含有變限積63分的等式,兩邊求導(dǎo)數(shù),可轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程,然后用通解公式計(jì)算即可.【詳解】由題意得SOCMA2 x1 f(x),SCBMxf(t)dt所以|1f(x)1f(t)dtX兩邊關(guān)于化簡(jiǎn),當(dāng)x求導(dǎo)1 12【1 f(x) 2 xf (x) f(x)x 0時(shí),得, 即 1 f (x) xf (x) 2f (x) x
20、2.1f (x) -f(x)x©J 即 dyx ' dxx21x利用一階線性非齊次微分方程dydxP(x)y Q(x)的通解公式所以此方程為標(biāo)準(zhǔn)的一階線性非齊次微分方程,其通解為y=x2曲線過點(diǎn)B(1,0),f (x) ex=x(x1 Cx.= eln故(1)0,代入,故有2 C 0,從而C 2 .所八【詳解】(1)在時(shí)刻t的剩余量y(t)可用總量A減去銷量x(t)得到,y(t) A x(t)=A kt, t 0,T.再T時(shí)刻將數(shù)量為A的該商品銷售完,得A kT 0,即k A .因此,(2)由于y(t)隨時(shí)間連續(xù)變化,因此在時(shí)間段0,T上的平均剩余量,即函數(shù)平均值可用積分 卡
21、:丫水表示(函數(shù)f(x)在a,b上的 平均值記為丄bf(x)dx.).b a a所以,y(t)在0,T上的平均值為1 T1 TA牛-萊公式IAy 1 oy(t)dt=T o(A t)dt(At 2Tt)因此在時(shí)間段0,T上的平均剩余量為-.2九【分析】?jī)蓚€(gè)向量組等價(jià)也即兩個(gè)向量組可以相互線性表示;而兩個(gè)向量組不等價(jià),只需其中一組有一個(gè)向量不能由另一組線 性表示即可.而線性表示問題又可轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)非齊次線性方程組是否有解的問題,這可通過化增廣矩陣為階梯形來判斷.一個(gè)向量1是否可由1, 2, 3線性表示,只需用初等行變換化增廣矩陣 (1, 2, 3 1 )為階梯形討論,而一組向量 1, 2, 3是否
22、可由1, 2, 3 線性表示,則可結(jié)合起來對(duì)矩陣 (1, 2, 3 1, 2, 3)同時(shí)作初等行 變換化階梯形,然后類似地進(jìn)行討論即可.【詳解】矩陣(1, 2, 3| 1, 2, 3)作初等行變換,有1 11 1 22(1,2 ,31 ,2 ,3)=°11 2 112 3a 2a 3 a 6a 4(第一行乘以-1加到第三行,第二行乘以-1加到第三行)1 0 21 110 1 1 211 .0 0 a 1a1 a 1a 1(1)當(dāng) a1時(shí),有行列式123 a 1 0,秩i(1,2,3)3 ,故線性方程組X1 1 X2 2 X3 3i(i 1,2,3)均有唯一解.所以1, 2, 3可由向
23、量組 線性表示.同樣,行列式| 126 0,秩(1, 2, 3)3,故1,2,3可由向量組(II)線性表示.因此向量組(I)與(II)等價(jià).當(dāng)a 1時(shí),有1 0 21 1 1(1 ,2 ,31 ,2,3)0 1 12 1 1 .0 0 02 0 2由于秩(1,2,3 )秩(1, 2,31),線性方程組捲1 X2 2 X3 31無解,故向量1不能由1, 2, 3線性表示.因此,向量組與(II)不等價(jià).【評(píng)注1】涉及到參數(shù)討論時(shí),一般聯(lián)想到利用行列式判斷, 因此,本題也可這樣分析: 因?yàn)樾辛惺絴 1, 2, 3 a 1 , | 1, 2, 36 0,可見(1) 當(dāng)a 1時(shí),秩r( 1, 2, 3)
24、 r( 1, 2, 3)3,因此三維列向量 組1, 2, 3與1, 2, 3等價(jià),即向量組與(II)等價(jià).(2) 當(dāng) a 1 時(shí),秩 r( 1, 2, 3) 2,而行列式 | 2, 3, 1 4 0,可 見r( 1, 2, 3) 2 r( 1, 2, 3, 1) =3 ,因此線性方程組 X1 1 X2 2 X3 3 1無解,故向量1不能由1, 2, 3線性表示.即向 量組與(II)不等價(jià).【評(píng)注2】向量組與(II)等價(jià),相當(dāng)于1, 2, 3與1, 2, 3均 為整個(gè)向量組1, 2, 3, 1, 2, 3的一個(gè)極大線性無關(guān)組,問題轉(zhuǎn)化 為求向量組1, 2, 3, 1, 2, 3的極大線性無關(guān)組,這可通過初等行變換化階梯形進(jìn)行討論.十【分析】題設(shè)已知特征向量,應(yīng)想到利用定義:A*.又與伴隨矩陣A*相關(guān)的問題,應(yīng)利用AA* AE進(jìn)行化簡(jiǎn).【詳解】矩陣A*屬于特征值 的特征向量為,由于矩陣A可逆, 故A*可逆.于是 0 , A 0 ,且A*.兩邊同時(shí)左乘矩陣A ,得*AA A即2 11112 1b11 a 1由此,得方程組由式(1) , (2)解得b 1或b 2 ;由式(1) , (3)解得a 2. 因此
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