第18講時變電磁場(2)

1、第18講 時變電磁場（2）本節(jié)內容：一，坡印廷定理和坡印廷矢量二，時諧場三，復介電常數(shù)與復磁導率 一，坡印廷定理和坡印廷矢量電磁場是一種物質，并且具有能量。交變場中電場、磁場均隨時間變化，所以電場能量密度、磁場能量密度也必隨時間變化，而空間各點電磁能量密度的變化說明能量發(fā)生了轉移或轉化。電磁能量按照一定的分布形式儲存于空間，并且隨著電磁場的變化在空間傳輸。下面從麥克斯韋方程出發(fā)，導出表征電磁能量守恒和轉換關系的坡印廷定理，以及描述能量轉移情況的電磁能流矢量坡印廷矢量。1，電磁能量守恒坡印廷定理（1）由麥克斯韋第一、二方程： （5.5-1） （5.5-2）（5.5-2）-（5.5-1）得： （5

2、.5-3）而：同理： 由矢量恒等式：上式兩邊積分： 即：即： 坡印廷定理下面解釋一下上式各項的物理意義。由焦耳定律，單位體積內的損耗功率為，顯然右邊第二項為體積V內的損耗功率。左邊為電磁能量的減少率。而體積V內電磁能量的減少不外乎兩種原因，一是損耗掉而轉化為其它形式的能量，另一是轉移到V之外。顯然，式中第一項代表的是通過S流出體積V的功率。若媒質為無耗的（），則，此時，V內功率的減少就等于流出V的表面S的功率。坡印廷定理體現(xiàn)了電磁場中的能量守恒關系。（2）假設電磁場在一有耗的導電媒質中，媒質的電導率為，電場會在此有耗導電媒質中引起傳導電流J=E。根據(jù)焦耳定律，在體積V內由于傳導電流引起的功率損

3、耗是 由麥克斯韋方程式 利用矢量恒等式 利用散度定理上式可改寫為 這就是適合一般媒質的坡印廷定理。 利用矢量函數(shù)求導公式 對于各向同性的線性媒質，即D=E, B=H, J=E, 可知， 同理， 對于各向同性的線性媒質， 坡印廷定理表示如下： 為了說明上式的物理意義，我們首先假設儲存在時變電磁場中的電磁能量密度的表示形式和靜態(tài)場的相同，即。其中，為電場能量密度，為磁場能量密度， 它們的單位都是。另外，引如一個新矢量 電磁能流與坡印廷矢量因為代表經曲面S流出體積V的功率，所以被積函數(shù)代表通過單位面積的功率流，或能流密度矢量。令： 坡印廷矢量（W/m）的方向為能量流動的方向，大小為垂直流過單位面積的

4、功率?？臻g只要有電場和磁場同時存在，就會有能量流通。即使在直流情況下也是如此。據(jù)此，坡印廷定理可以寫成 式右邊第一項表示體積V中電磁能量隨時間的增加率， 第二項表示體積V中的熱損耗功率(單位時間內以熱能形式損耗在體積V中的能量)。 根據(jù)能量守恒定理，上式左邊一項代表單位時間內穿過體積V的表面S流入體積V的電磁能量。因此，面積分左面第一項表示單位時間內流出包圍體積V的表面S的總電磁能量。由此可見，坡印廷矢量S=EH可解釋為通過S面上單位面積的電磁功率。 在靜電場和靜磁場情況下，由于電流為零以及 ，所以坡印廷定理只剩一項S(EH)dS=0。由坡印廷定理可知，此式表示在場中任何一點，單位時間流出包圍

5、體積V表面的總能量為零，即沒有電磁能量流動。由此可見，在靜電場和靜磁場情況下， S=EH并不代表電磁功率流密度。 在恒定電流的電場和磁場情況下， 所以由坡印廷定理可知，V JEdV=-S(EH)dS。因此，在恒定電流場中，S=EH可以代表通過單位面積的電磁功率流。它說明，在無源區(qū)域中，通過S面流入V內的電磁功率等于V內的損耗功率。 在時變電磁場中，S=EH代表瞬時功率流密度，它通過任意截面積的面積分P=S(EH)dS代表瞬時功率。 例5.5-1 內、外半徑分別為a、b的同軸線，加電壓，端接電阻R，導體上有電流，求輸入到電阻的功率。解：輸入到R的功率等于通過任一橫截面的功率，而 而： 這與電路中

6、的結果是一致的，但它揭示了能量傳輸?shù)臋C理。負載消耗的能量是通過同軸線中的內、外導體間電磁場傳輸?shù)模皇峭ㄟ^導體傳輸?shù)?，導體僅起引導作用。例 試求一段半徑為b，電導率為，載有直流電流I的長直導線表面的坡印廷矢量，并驗證坡印廷定理。 解：如圖，一段長度為l的長直導線，其軸線與圓柱坐標系的z軸重合，直流電流將均勻分布在導線的橫截面上，于是有 在導線表面， 因此，導線表面的坡印廷矢量 它的方向處處指向導線的表面。將坡印廷矢量沿導線段表面積分，二，時諧場前面的討論是針對隨時間任意變化的電磁場進行的，在實際問題中，通常只需要研究隨時間作正弦變化的電磁場，這種電磁場稱為時諧場。在線性媒質中，即使是按任意規(guī)

7、律隨時間變化的電磁場，也可按時間展開成傅立葉級數(shù)，因此可看作許多個時諧場的迭加。研究正弦電磁場，可以象正弦交流電路中的相量一樣，引入一個復數(shù)來表示時諧場，從而使分析、計算簡化。復數(shù)a定義為 式中j是虛數(shù) ; a是a的實部, a是a的虛部, 即 設時諧電磁場電場強度矢量E(t)的一個坐標分量為Ex(t), 它的一般表達式為： 1， 正弦電磁場的復數(shù)表示法時變電磁場的任一坐標分量隨時間作正弦變化時，其振幅和初相也都是空間坐標的函數(shù)。 以電場強度為例， 在直角坐標系中， 式中電場強度的各個坐標分量為 角頻率 初相角與電路理論中的處理相似，利用復數(shù)或相量來描述正弦電磁場場量，可使數(shù)學運算簡化：對時間變

8、量t進行降階(把微積分方程變?yōu)榇鷶?shù)方程)減元(消去各項的共同時間因子)。例如因此，我們也把，稱為的復數(shù)形式。給定函數(shù)，有唯一的復數(shù)與之對應； 反之亦然。由于所以，采用復數(shù)表示時，正弦量對時間t的偏導數(shù)等價于該正弦量的復數(shù)形式乘以j，即 同理，電場強度矢量也可用復數(shù)表示為 式中稱為電場強度的復振幅矢量或復矢量，它只是空間坐標的函數(shù)，與時間t無關。這樣我們就把時間t和空間x、y、z的四維(x, y, z, t)矢量函數(shù)簡化成了空間(x, y, z)的三維函數(shù)，即 若要得出瞬時值，只要將其復振幅矢量乘以并取實部，便得到其相應的瞬時值： 場量與復振幅具有一一對應的關系，因此，研究電磁場可通過研究其復振

9、幅進行。以后將會看到研究復振幅的好處。（注意如何由瞬時值寫出復振幅或由復振幅求瞬時值）電磁場中的其它物理量，也可用相應的復矢量或標量表示。例 將下列用復數(shù)形式表示的場矢量變換成瞬時值，或作相反的變換。 例 5 將下列場矢量的復數(shù)形式寫為瞬時值形式。 2，復數(shù)形式的麥克斯韋方程組既然電磁場量可用復數(shù)表示，則麥克斯韋方程也可用復數(shù)表示。以第一方程為例： 可見引入復振幅后，可把對時間的微分運算變成代數(shù)運算，從而使計算簡化。同樣，可把其它方程用復振幅表示出來，故復數(shù)形式的麥克斯韋方程組為： 3、復數(shù)形式的坡印廷矢量對正弦電磁場，當場矢量用復數(shù)表示時： 從而坡印廷矢量瞬時值可寫為 它在一個周期T=2/內

10、的平均值為 式中稱為復坡印廷矢量，它與時間無關，表示復功率流密度，其實部為平均功率流密度(有功功率流密度)，虛部為無功功率流密度。 注意式中的電場強度和磁場強度是復振幅值而不是有效值；是E、H的共扼復數(shù)，稱為平均能流密度矢量或平均坡印廷矢量。 類似地可得到電場能量密度、磁場能量密度和導電損耗功率密度的表示式： 今后主要討論簡諧場，所研究的場量一般都是復振幅。為書寫方便，如寫成，和瞬時值符號一樣，應注意根據(jù)情況區(qū)分是瞬時值還是復振幅。如： 由顯然為復振幅 注意：不能由復坡印廷矢量乘再取實部來求的瞬時值。但由它求平均功率很方便，而實際問題中通常關心的是平均功率而非瞬時功率，故復坡印廷矢量具有實用價

11、值。三，復介電常數(shù)與復磁導率 媒質在電磁場作用下呈現(xiàn)三種狀態(tài)：極化、磁化和傳導，它們可用一組宏觀電磁參數(shù)表征，即介電常數(shù)、磁導率和電導率。在靜態(tài)場中這些參數(shù)都是實常數(shù)；而在時變電磁場作用下，反映媒質電磁特性的宏觀參數(shù)與場的時間變化有關，對正弦電磁場即與頻率有關。研究表明：一般情況下(特別在高頻場作用下)， 描述媒質色散特性的宏觀參數(shù)為復數(shù)，其實部和虛部都是頻率的函數(shù)， 且虛部總是大于零的正數(shù)，即 為了說明復介電常數(shù)的虛部反映介質的極化損耗，現(xiàn)在考慮電介質單位體積內的極化功率損耗的時間平均值：可見單位體積的極化損耗與成正比。復介電常數(shù)與復磁導率的幅角稱為損耗角，用，表示損耗角正切：對于具有復介電常數(shù)的導電媒質，考慮到傳導電流J=E, 上式表明，導電媒質中的傳導電流和位移電流可以用一個等效的位移電流代替；導電媒質的電